Phép thử Biến cố Xác suất

5. Nội dung nghiên cứu

2.1.2. Phép thử Biến cố Xác suất

 Phép thử và biến cố

Trong phần này, sách ĐS&GT11CB trình bày ở bài 4. Chúng được chia thành các mục như sau: I. Phép thử; II. Biến cố; III. Phép toán trên các biến cố. Trong mục I. Phép thử có hai mục nhỏ gồm phép thử và không gian mẫu. Để thuận lợi cho việc phân tích phần này, chúng tôi chia chúng thành năm phần như sau: Phép thử, không gian mẫu, biến cố, phép toán trên các biến cố và phần cuối cùng là kết luận.

 Phép thử

Phép thử được sách ĐS&GT11CB trình bày như sau:

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó, … được hiểu là phép thử.

Chẳng hạn, gieo một đồng tiền kim loại ( gọi tắt là đồng tiền), rút một quân bài từ cổ bài tú lơ khơ ( cỗ bài 52 lá) hay bắn một viên đạn vào bia,… là những ví dụ về phép thử.

Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt ghi số ( mặt ngửa, viết tắt là N ) hay mặt kia ( mặt sấp, viết tắt là S) sẽ xuất hiện ( quay lên trên). Đó là ví dụ về

phép thử ngẫu nhiên.

Một cách tổng quát

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Trong các phần trình bày trên được SGVĐS&GT11 giải thích như sau: Khái niệm phép thử không được định nghĩa, chỉ minh hoạ các ví dụ. Giáo viên cần nêu nhiều ví dụ để minh hoạ.

Sau đó, sách ĐS&GT11CB gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và chỉ xét phép thử có hữu hạn các kết quả. Từ những trình bày trên, chúng tôi thấy phép thử ngẫu nhiên

đã được khái niệm như trên. Lê Thị Hoài Châu (2012) viết về hiện tượng ngẫu nhiên như sau:

Trong vô số hiện tượng xảy ra xung quanh ta, có thể phân chúng ra thành hai loại:

- Hiện tượng tất yếu: Là những hiện tượng mà nếu được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau thì chúng cho những kết quả giống nhau. - Hiện tượng ngẫu nhiên: Là hiện tượng mà dù thực hiện trong cùng một

điều kiện như nhau ta vẫn có thể có những kết quả khác nhau. (Lê Thị Hoài Châu (2012), tr7)

Như vậy, phép thử ngẫu nhiên là một phần của hiện tượng ngẫu nhiên mà lý thuyết xác suất nghiên cứu. Chúng tôi nghĩ rằng, nó là một mảng kiến thức rất mới đối với học sinh. Mới ở đây không chỉ vì học sinh mới học xác suất mà mới ở đây là vì tư duy mới của toán học. Từ những lớp trước, học sinh học toán thuộc những hiện tượng tất yếu và bây giờ học xác suất thuộc những hiện tượng ngẫu nhiên thì sẽ có những khó khăn và sai lầm nhất định khi học sinh tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên.  Không gian mẫu

Đầu tiên, sách ĐS&GT11CB giới thiệu hoạt động 1 như sau: Hãy liệt kê các kết quả có thể của phép thử gieo một con súc sắc. Hoạt động này được SGVĐS&GT11 giải thích như sau:

Hoạt động 1 để bổ sung thêm vào các ví dụ về phép thử và không gian mẫu. có thể thực hiện như sau:

Ta kí hiệu k là kết quả “con súc sắc xuất hiện mặt k chấm”, k = 1, 2 ,…, 6. Như vậy, tập hợp các kết quả của phép thử là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Để giải các bài toán tính xác suất, ta phải mô tả không gian mẫu càng cụ thể càng tốt. Nếu có thể liệt kê được các phần tử của nó là tốt nhất. Vì khi đó, các biến cố sẽ được mô tả rõ ràng hơn.

Từ hoạt động trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra khái niệm không gian mẫu như sau: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là ô - mê -ga).

Sau khái niệm trên, sách ĐS&GT11CB đưa ra ba ví dụ và lời giải như sau:

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền. Đó là phép thử với không gian mẫu Ω = {S,N}. Ở đây, S kí hiệu cho “ Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “ Mặt ngửa xuất hiện”.

Ví dụ 2: Nếu phép thử là gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẫu gồm 4 phần tử: Ω = { SS, SN, NS, NN}, trong đó, chẳng hạn, SN là kết quả “ Lần đầu đồng tiền xuất hiện mặt sấp, lần thứ hai đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”, …

Ví dụ 3: Nếu phép thử là gieo một con súc sắc 2 lần, thì không gian mẫu gồm 36 phần tử: Ω = {(i,j)|i,j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, ở đó (i,j) là kết quả “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm” (h.29).

Phần này, SGVĐS&GT11 giải thích như sau:

Khi dạy phần này, giáo viên cần trình bày nhiều ví dụ mô tả khái niệm không gian mẫu để học sinh biết chúng. Khi dạy ví dụ 3 giáo viên có thể kẻ bảng ô vuông để mô tả không gian mẫu.

Qua phần trình bày của sách ĐS&GT11CB và SGVĐS&GT11 chúng tôi trình bày các ý kiến của mình như sau:

 Thứ nhất: Các ví dụ trên dùng kỹ thuật liệt kê và tính chất đặc trưng để mô tả không gian mẫu. Mặc dù SGVĐS&GT11 yêu cầu mô tả không gian mẫu càng cụ thể càng tốt. Từ đó chúng tôi đặt câu hỏi: cách liệt kê sơ đồ cây và cách liệt kê như ở sách ĐS&GT11CB cách nào cụ thể hơn? Chúng tôi lấy ví dụ 2 trong phần trên để so sánh. Để thuận tiện theo dõi chúng tôi trích lại ví dụ 2 và lời giải như sau: “Ví dụ 2: Nếu phép thử là gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẫu gồm 4 phần tử: Ω = { SS, SN, NS, NN}”. Nếu liệt kê theo sơ đồ cây thì được mô hình sau:

Theo sơ đồ này, cứ mỗi lần gieo đồng tiền thì có hai khả năng xảy ra đó là sấp(S) và ngửa(N) và ứng với mỗi khả năng xuất hiện lần thứ nhất thì có hai khả năng sấp(S) hoặc ngửa(N) xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Sơ đồ này chúng tôi thấy nó dễ liệt kê vì mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một đường đi từ gốc đến ngọn như chúng tôi trình bày ở hình sơ đồ cây. Bên cạnh đó, cách liệt kê này giúp chúng ta biết tiến trình của mỗi lần gieo đồng tiền (hoặc tiến trình mỗi cách gieo của hai đồng tiền phân biệt). Ở ví dụ 3 sách ĐS&GT11CB cũng trình bày liệt kê không gian mẫu. Tuy nhiên trong SGVĐS&GT11 có nêu giáo viên có thể kẽ bảng ô vuông để mô tả không gian mẫu.

 Thứ hai: Thông qua các ví dụ trên, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ: Tmtkgm: “Mô tả không gian mẫu  ”. Theo Vũ Như Thư Hương (2005), có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này:

T1: Mô tả không gian mẫu 

Có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. τ1a: − Liệt kê mọi phần tử của không gian mẫu .

θ1a: − Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê mọi phần tử của tập hợp.

Ví dụ về (T1,τ1a) (M1, Ví dụ 1, tr.80)

Không gian mẫu của phép thử « Gieo một con súc sắc » là tập hợp:

Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

τ1b: − Nêu tính chất đặc trưng của mọi phần tử của không gian mẫu.

θ1b: − Biểu diễn tập hợp bằng cách nêu tính chất đặc trưng.

Do đặc trưng và tính chất của luận văn này là nêu lên những khó khăn và sai lầm của học sinh khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên. Trong đó, phép đếm3 là một phần trong luận văn này. Do đó, chúng tôi chia thành ba kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau:

 τliệt kê: − Liệt kê4 mọi phần tử của không gian mẫu Ω.

Công nghệ θliệt kê : − Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê mọi phần tử của tập hợp.  τliệt kê-cây : − Liệt kê bằng sơ đồ cây mọi phần tử của không gian mẫu Ω.

Công nghệ θliệt kê-cây : − Biểu diễn mọi phần tử của tập hợp Ω bằng cách liệt kê sơ đồ cây.

 τt/c đặc trưng : − Nêu tính chất đặc trưng của mọi phần tử của không gian mẫu. Công nghệ θt/c đặc trưng: − Biểu diễn tập hợp bằng cách nêu tính chất đặc trưng.

Trong ba kỹ thuật trên, sách ĐS&GT11CB trình bày kỹ thuật liệt kê ở ví dụ 1 và ví dụ 2. Ở ví dụ 3 được trình bày theo kỹ thuật biểu diễn tính chất đặc trưng.

 Thứ ba: Các kết quả có thể có trong không gian mẫu sẽ được hiểu như thế nào? Trong phần này được SGVĐS&GT11 giải thích như sau:

3

Phép đếm trong luận văn này bao gồm phép đếm liệt kê, liệt kê sơ đồ cây và phép đếm trong đại số tổ hợp.

4

Mỗi kết quả của phép thử được biểu diễn bởi một và chỉ một phần tử của không gian mẫu và ngược lại.

Cần lưu ý rằng, mỗi phép thử đều có không gian mẫu tương ứng. Không gian mẫu được sử dụng để mô tả mọi biến cố gắn liền với phép thử nên có thể nói nó là mô hình toán của phép thử.

Qua phần giải thích ở SGVĐS&GT11, chúng tôi thấy mỗi kết quả của phép thử biểu diễn bởi một và chỉ một phần tử. Trong khi đó, chúng ta biết mỗi phần tử đó được gọi là biến cố sơ cấp. Các biến cố này có tính chất đều nhau. Trong xác suất cổ điển, nếu không gian mẫu có n phần tử thì mỗi kết quả có thể có xác suất là 1/n. Phép thử gieo đồng tiền hoặc gieo súc sắc được sách ĐS&GT11CB hay sử dụng là gieo liên tiếp. Có nhiều loại mô hình toán của phép thử này, đa số tô màu hoặc đánh số. Tuy nhiên, sách ĐS&GT11CB chọn mô hình này mà không giải thích lý do vì sao chọn như vậy? Bên cạnh đó, khi thực hiện phép thử thực nghiệm, chúng tôi nghĩ học sinh sẽ gặp khó khăn khi mô tả các kết quả có thể và kết quả quan sát. Chẳng hạn, khi gieo cùng lúc hai đồng tiền cân đối đồng chất thì có một số học sinh mô tả không gian mẫu

={SS,SN,NN} trong đó S là sấp, N là ngửa. Để vượt qua khó khăn trên, các sách giáo khoa đa số thường đưa ra phương án đánh số, tô màu khác nhau, gieo liên tiếp… Khi đã vượt qua được khó khăn trên thì xuất hiện khó khăn mới. Lê Thị Hoài Châu (2012) đề cập đến khó khăn với vấn đề mô hình hoá thực tế như sau:

Chẳng hạn, ta sẽ gặp vấn đề này khi cần phải làm cho học sinh hiểu mô hình gắn với thực nghiệm tung hai con súc sắc và nghiên cứu tổng số chấm xuất hiện. Một số học sinh nghĩ là các kết quả 6 + 5 và 5 + 6 phải được xem là khác nhau, số khác thì lại

đồng nhất chúng. Sự mập mờ ở đây lớn đến nỗi học sinh có thể nghĩ đến là có nhiều thực tế, tùy theo chỗ hai con súc sắc cùng màu hay khác màu, thế nhưng điều đó có làm thay đổi tổng số chấm đâu. Nguyên nhân là người ta nghĩ rằng mình đang làm việc trên thực tế, nhưng thực ra thì lại đã ở trong một mô hình. Nhiều mô hình có thể gắn với thực tế, nhưng chỉ có một thực tế thôi. Như thế, ta không chỉ làm việc với xác suất mà còn với vấn đề mô hình hóa.

Qua những phân tích trên, chúng tôi thấy có những vấn đề sau:

 Học sinh gặp khó khăn khi làm việc với mô hình hóa trong xác suất. Mà việc mô hình hóa trong xác suất là điều tất yếu phải làm khi dạy và học nó.

 Liệt kê sơ đồ cây rất hiệu quả trong một số bài toán tính xác suất nhưng không gian mẫu trong sách ĐS&GT11CB trình bày, không có cách liệt kê này.

 Không gian mẫu không được định nghĩa rõ ràng, thông qua một vài ví dụ sau đó sách ĐS&GT11CB đưa ra khái niệm. Trong đó, chúng tôi chú ý đến câu “kết quả có thể có của một phép thử” trong không gian mẫu. Từ đó, chúng tôi tự hỏi rằng: Kết quả có thể là kết quả như thế nào? Mỗi kết quả có thể có tính chất ra sao? Chúng tôi thấy sách ĐS&GT11CB và SGVĐS&GT11 không giải thích thỏa đáng các câu hỏi trên.  Biến cố

Sách ĐS&GT11CB trình bày phần biến cố như sau:

Ví dụ 4. Gieo một đồng tiền hai lần. Đây là phép thử với không gian mẫu

Ω = { SS, SN, NS, NN}

Ta thấy sự kiện A: “ Kết quả của hai lần gieo là như nhau” có thể xảy ra khi phép thử được tiến hành. Nó xảy ra khi phép thử được tiến hành. Nó xảy ra khi và chỉ khi một trong hai kết quả SS, SN xuất hiện. Như vậy, sự kiện A tương ứng với một và chỉ một tập con {SS, NN} của không gian mẫu. Chính vì lẽ đó, ta đồng nhất chúng với nhau và viết A = {SS, NN}. Ta gọi A là một biến cố.

Tương tự, biến cố B: “ Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” được viết là

B={SN, NS, NN}.

Ngược lại, tập con C = {SS, SN} là biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề: “ Mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên”.

Các biến cố A, B và C ở trên đều gắn liền với phép thử gieo một đồng tiền hai lần nên ta nói chúng liên quan đến phép thử đã cho.

- Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu. Từ đó, ta có định nghĩa sau đây.

Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Như vậy, một biến cố liên quan đến phép thử là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó của phép thử.

- Cần chú ý rằng biến cố đôi khi được cho dưới dạng một mệnh đề xác định tập hợp như đã thấy trong ví dụ 4 hoặc trong phép thử gieo con súc sắc, biến cố A: “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” được cho dưới dạng mệnh đề xác định tập con A = { 2, 4, 6} của không gian mẫu Ω = { 1, 2, …, 6}.

- Từ nay về sau khi nói cho các biến cố A, B, … mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử.

Tập Ø được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không). Còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.

Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc, biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không, còn biến cố : “ Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6” là biến cố chắc chắn.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A ( hay thuận lợi cho A).

Trong phần này, được SGVĐS&GT11 giải thích như sau:

Khái niệm biến cố rất quan trọng trong toàn bộ chương. Nó được hình thành qua ví dụ 4. Đầu tiên, biến cố liên quan đến phép thử được mô tả bằng lời. Sau đó đồng nhất nó với tập con tương ứng của không gian mẫu. Đây là khâu tế nhị và quan trọng để học sinh có thể dùng các công cụ của lý thuyết tập hợp để nghiên cứu. Từ đó dẫn đến khái niệm biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất hiện đại với không gian mẫu có nhiều hơn đếm được phần tử thì không phải mọi tập hợp con của không gian mẫu đều là biến cố.

Tuy biến cố được hiểu là một tập con của không gian mẫu nhưng không nên máy móc như vậy. Nó có đặc trưng định tính quan trọng là nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được tiến hành. Vì khi thực hiện phép thử, một kết quả cụ thể xuất hiện.

Nó có thể thuộc vào tập A hoặc không. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả đó thuộc A. Kết quả này được gọi là kết quả thuận lợi cho A. Về phương diện toán học người ta đã đồng nhất A với tập hợp các kết quả thuận lợi cho nó.

Từ những trình bày trên, chúng tôi ghi nhận những vấn đề sau:

 Biến cố được sách ĐS&GT11CB định nghĩa là tập con của không gian mẫu. Tuy