5. Nội dung nghiên cứu
2.2. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao
Trong phần này, chúng tôi đưa ra so sánh cách trình bày giống và khác nhau của hai bộ sách giáo khoa rồi từ đó phân tích chúng.
Cấu trúc chương trình
Sách đại số và giải tích 11 nâng cao (ĐS>11NC) trình bày xác suất ở chương II. Gồm các bài như sau:
A. Tổ hợp Gồm ba bài:
Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết). Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (5 tiết). Bài 3. Nhị thức Niu-tơn ( 2 tiết ).
B. Xác suất Gồm ba bài:
Bài 4. Biến cố và xác suất của biến cố ( 3 tiết ). Bài 5. Các quy tắc tính xác suất ( 4 tiết).
Bài 6. Biến ngẫu nhiên rời rạc ( 4 tiết ). Câu hỏi và bài tập ôn tập chương II ( 2 tiết )
Theo cấu trúc chương trình trên, chúng tôi có những so sánh như sau:
Khác nhau: Sách ĐS>11NC trình bày thêm bài biến ngẫu nhiên rời rạc. Bên cạnh đó, cách phân bố tiết dạy một số bài cũng khác nhau.
Giống nhau: Cả hai bộ sách trên đều trình bày đại số tổ hợp trước phần xác suất.
Phép đếm
Phép đếm được sách ĐS>11NC trình bày hai bài. Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản và Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Cách trình bày này so với sách
ĐS>11CB là như nhau. Chúng tôi muốn phân tích thêm xem các kỹ thuật đếm trong sách ĐS>11NC gồm những kỹ thuật nào và kỹ thuật nào được ưu tiên.
Quy tắc cộng được sách ĐS>11NC khái niệm như sau:
Giả sử một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách.
Sau đó, mở rộng quy tắc cộng cho nhiều phương án. Chúng tôi thấy quy tắc cộng được trình bày gần giống sách ĐS>11CB.
Quy tắc nhân
Trước khi vào quy tắc nhân, sách ĐS>11NC đưa ra ví dụ 3 và lời giải như sau:
Ví dụ 3. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Giải
Với mỗi cách đi từ nhà An đến nhà Bình sẽ có 6 cách đi tiếp từ nhà Bình đến nhà Cường. Vì có 4 cách đi từ nhà An đến nhà Bình nên có cả thảy 4.6=24 cách đi từ nhà An qua nhà Bình đến nhà Cường.
Rồi từ đó, phát biểu quy tắc nhân và mở rộng quy tắc nhân. Sau đó, đưa ra ví dụ 4 và giải như sau:
Biển số xe máy của tỉnh A ( nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự thứ hai thuộc tập {1, 2,…, 9 }, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0, 1, …, 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên. Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại. Theo quy tắc nhân, ta có tất cả
26.9.10.10.10.10 = 2 340 000 ( biển số xe)
Chúng tôi thấy, ở ví dụ 3 liệt kê sơ đồ cây rất thuận lợi và sẽ được làm như sau: Gọi A, B, C, D là tên các đường từ nhà An đến nhà Bình và 1, 2, 3, 4, 5, 6 là tên đường từ nhà Bình đến nhà Cường. Khi đó, số đường đi từ nhà An đến nhà Cường được mô tả bởi sơ đồ cây sau:
Dựa vào sơ đồ trên ta thấy có tất cả 24 đường đi từ nhà An đến nhà Cường. Trên sơ đồ này, chúng tôi nghĩ học sinh rất dễ làm và dễ hình thành nên quy tắc nhân nhưng không được sách ĐS>11NC trình bày. Còn những ví dụ sau, số rất lớn lúc này sơ
đồ cây dùng vẫn được nhưng không thuận lợi bằng quy tắc nhân. Nói chung, mong muốn ở SGVĐS>11NC là học sinh biết vận dụng và phối hợp hai quy tắc đếm cơ bản trong việc giải các bài toán tổ hợp đơn giản.
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Cả hai bộ sách giáo khoa đại số và giải tích 11 đều liệt kê một vài trường hợp sau đó đưa ra công thức tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Các kỹ thuật ưu tiên theo từng tên gọi. Liệt kê sơ đồ cây không có trong phần này. Chứng minh các định lí đều dựa vào quy tắc nhân.
Phép thử và biến cố
Phép thử được sách ĐS>11NC khái niệm như sau:
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:
- Kết quả của nó không đoán trước được;
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô – mê – ga).
Sau đó, sách ĐS>11NC giới thiệu các ví dụ như gieo đồng tiền, gieo súc sắc, rồi mô tả không gian mẫu. Mô tả không gian mẫu ở những ví dụ này, sách ĐS>11NC dùng kỹ thuật liệt kê. Chúng tôi thấy, về khái niệm chỉ khác nhau gán tên phép thử T. Còn kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ Tmtkhm: Mô tả không gian mẫu, ở hai bộ sách đều giống nhau.
Biến cố được sách ĐS>11NC khái niệm như sau:
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho
A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu ΩA. Khi đó người ta nói biến cố A
được mô tả bởi tập ΩA.
Biến cố được sách ĐS>11NC trình bày khác với sách ĐS>11CB, sách ĐS>11CB định nghĩa “biến cố là tập con của không gian mẫu”. Do đó, sách ĐS>11NC không đưa bảng các phép toán trên biến cố. Sách ĐS>11NC đưa ra khái niệm biến cố hợp và giao được trình bày trong bài phép tính xác suất. Chúng tôi thấy, cả hai bộ sách chưa định nghĩa rõ ràng biến cố ngẫu nhiên.
Định nghĩa xác suất
Định nghĩa cổ điển của xác suất
Sách ĐS>11NC đưa ra định nghĩa và ví dụ trong phần định nghĩa xác suất như sau:
Định nghĩa
Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và Alàtập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định
bởi công thức P(A)= | | | | A
Như vậy, việc tính xác suất của biến cố A trong trường hợp này được quy về việc đếm số kết quả có thể của phép thử T và số kết quả thuận lợi cho A.
CHÚ Ý.
Từ định nghĩa trên ta suy ra
+ P(Ω) = 1, P( ) = 0
Ví dụ 5: Một vé xổ số có 4 chữ số. Khi quay số, nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả ( kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Bạn An mua một vé xổ số.
a/ Tính xác suất để An trúng giải nhất. b/ Tính xác suất để An trúng giải nhì. Giải.
a/ Số kết quả có thể là 104 = 10 000 và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. Do
đó xác suất trúng giải nhất của An là 10000
1
= 0,0001.
b/ Giả sử số vé của An là abcd. Các kết quả trùng với đúng 3 chữ số của An là abct
(td) hoặc abtd (tc hoặc atcd (tb) hoặc tbcd (ta).
Vì mỗi trường hợp trên đều có 9 khả năng nên có 9+9+9+9 =36 kết quả ở đó vé của
An trúng giải nhì. Do đó xác suất trúng giải nhì của An là 10000
36
= 0,0036.
Ví dụ 6. Một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài chia thành bốn chất: Rô, cơ( màu đỏ), pích và nhép (màu đen). Mỗi chất có 13 quân bài là: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A ( đọc là át). Bốn quân 2 ( gồm 2 rô, 2 cơ, 2 pích, và 2 nhép) làm thành một bộ 2; bốn quân 3 ( gồm 3 rô, 3 cơ, 3 pích, và 3 nhép) làm thành một bộ 3;… ; bốn quân át ( gồm át rô, át cơ, át pích, và át nhép) làm thành một bộ át. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài. Tính xác suất để 5 quân bài đó ta có một bộ bài.
Giải
Số kết quả có thể là C525 . Số kết quả trong đó có một bộ 2 bằng số cách chọn một quân bài trong số 52-4=48 quân bài còn lại (không phải quân 2). Vậy có 48 kết quả trong đó có một bộ 2. Tương tự có 48 kết quả trong đó có một bộ 3; . . . ; có 48 kết quả trong đó có một bộ át. Vì tất cả có 13 bộ, nên số kết quả trong đó có xuất hiện
một bộ là 13.48=624. Do đó, xác suất cần tính là 6245 0,00024
52
C .
Từ những trình bày trên, chúng tôi có những nhận xét sau:
Sách ĐS>11NC đưa ra những ví dụ với những con số rất lớn và xem như chỉ có công cụ đại số tổ hợp mới giải quyết được bài toán xác suất. Hơn nữa, trong phần này
SGVĐS>11NC chỉ mong muốn học sinh biết tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. Do đó, SGVĐS>11NC có giải thích như sau:
Việc tính xác suất của một biến cố theo nghĩa cổ điển quy về việc đếm số phần tử của không gian mẫu và đếm số phần tử của tập hợp con mô tả biến cố đang xét. Việc này có liên quan chặt chẽ đến các kiến thức về tổ hợp đã học ở phần trước. Thành thử học sinh muốn học tốt bài này, giáo viên yêu cầu học sinh nắm chắc phần tổ hợp.
Sách ĐS>11NC không trình bày kỹ thuật liệt kê sơ đồ cây để mô tả không gian mẫu trong một số ví dụ thuận lợi cho kỹ thuật này. Chẳng hạn, “ ví dụ 2. Xét phép thử T là gieo hai đồng xu phân biệt. Nếu dùng kí hiệu S để chỉ đồng xu lật sấp (mặt sấp xuất hiện) và N để chỉ đồng xu lật ngửa thì không gian mẫu của phép thử trên là Ω={SN, SS, NN, NS}.” ( Sách ĐS>11NC trang 70)
Định nghĩa thống kê của xác suất
Trước khi đưa ra định nghĩa, sách ĐS>11NC giới thiệu như sau:
Trong định nghĩa cổ điển của xác suất, ta cần giả thiết có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này đồng khả năng. Nhưng trong nhiều trường hợp, giả thiết đồng khả năng không được thỏa mãn. Chẳng hạn khi gieo con súc sắc không cân đối thì các mặt của con súc sắc không có cùng khả năng xuất hiện. Trong trường hợp đó ta sử dụng định nghĩa sau đây gọi là định nghĩa thống kê của xác suất.
Rồi từ đó, sách ĐS>11NC đưa ra định nghĩa như sau:
Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa cổ điển của xác suất).
Để minh họa cho định nghĩa thống kê của xác suất, sách ĐS>11NC đưa ra các ví dụ và hoạt động sau:
Ví dụ 7. Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5. Buýp-phông (Buffon), nhà toán học người Pháp thế kỷ XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau:
Số lần gieo Tần số xuất hiện mặt ngửa Tần suất xuất hiện mặt ngửa
4040 2048 0,5070
12000
6019 0,5016
24000 12012 0,5005
Ví dụ 8.
Công ty bảo hiểm nhân thọ đã thống kê được trong 100.000 người đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100.000 người phụ nữ 50 tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi 51. Khi đó, xác suất thực nghiệm một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là 0,00568
100000 568
và xác suất thực nghiệm một người phụ nữ 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là
00248 , 0 100000
248 .
Hoạt động 3. Gieo con súc sắc 50 lần. Ghi lại kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm.
Số chấm xuất hiện Tần số Tần suất
1 2 3 4 5 6
Chúng tôi thấy rằng, ví dụ 7 và hoạt động 3 ở trên không toát lên được phần mà sách ĐS>11NC giới thiệu về định nghĩa thống kê của xác suất (giả thiết đồng khả năng không được thỏa mãn). Theo Trần Túy An (2007), trong thực nghiệm của tác giả: Một số học sinh gặp khó khăn trong việc chọn mô hình 3 phần tử hoặc 4 phần tử khi gieo cùng lúc hai đồng xu. Chúng tôi nghĩ, tại sao sách ĐS>11NC không đưa ra hoạt động này nhằm bổ sung cho học sinh hiểu biến cố có thể là như thế nào? Hơn nữa, hoạt động này cho thấy bổ sung cần thiết của thống kê vào định nghĩa xác suất cổ điển. Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), tác giả cho rằng: “Nên đưa những tình huống mà không sử dụng được định nghĩa cổ điển”.
Chúng tôi thấy, có kiểu nhiệm vụ mới mà sách ĐS>11CB không có đó là:
Txstn: Tính xác suất thực nghiệm
xstn
: – Tính tần suất xuất hiện của biến cố.
xstn
: – Định nghĩa thống kê của xác suất. Phép tính xác suất
Sách ĐS>11NC đưa ra hai quy tắc tính xác suất đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất. Phần quy tắc cộng xác suất trình bày tương tự sách ĐS>11CB. Phần quy tắc nhân xác suất với nhiều bài tập khác chứ không dừng lại ở mức kiểm tra hai biến cố độc lập như sách ĐS>11CB.
Sách ĐS>11NC đưa ra khái niệm hai biến cố độc lập, sau đó nhận xét nếu A, B độc lập thì A, B cũng độc lập. Rồi từ đó, đưa ra công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B) với A, B là hai biến cố độc lập rồi sau đó đưa ra các ví dụ như sau:
Ví dụ 7: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt tương ứng là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để:
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt
b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt
c) Có ít nhất một động cơ chạy tốt Giải:
a) Gọi A là biến cố “ Động cơ I chạy tốt”, B là biến cố “ Động cơ II chạy tốt”, C là biến cố “Cả hai động cơ đều chạy tốt”. Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C = AB. Theo công thức(4), ta có: P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,8. 0,7 = 0,56.
b) Gọi D là biến cố “cả hai động cơ chạy không tốt” ta có D=A B. Hai biến cố A và
B độc lập với nhau nên P(D)= P(A).P(B)=(1-P(A)).(1-P(B))=0,2.0,3=0,6
c) Gọi K là biến cố “có ít nhất một động cơ chạy tốt”. Khi đó biến cố đối của K là D Do đó P(K) = 1 – P( D ) = 1 – 0,06 = 0,94.
Chúng tôi thấy, kỹ thuật này ở sách ĐS>11CB không sử dụng.
Kiểu nhiệm vụ và các kỹ thuật
Chúng tôi mô tả lại các kiểu nhiệu vụ và kỹ thuật trong bảng sau: Bảng 2.2. Bảng thống kê kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật sách ĐS>11NC
Kiểu nhiệm vụ Kỹ
thuật Ví dụ
Bài tập
Tổng số
Tmtkgm: Mô tả không gian mẫu
τliệt kê 4 1 6 τliệt kê-cây 0 0 0 τt/c đặc trưng 0 3 3
Txđbc: Xác định biến cố τliệt kê 2 4 6
τliệt kê-cây
τt/c đặc trưng
Ttính xs: Tính xác suất của biến cố
τctđnxs 3 16 19 τctbcđối 2 3 5 τbcđộc lập 1 4 5