5. Nội dung nghiên cứu
2.1.1. Phép đếm trong sách Đại số và giải tích 11
Trong phần này, chúng tôi phân tích chủ yếu các kỹ thuật liên quan đến phép đếm nhằm làm rõ kỹ thuật nào thể chế được ưu tiên và không ưu tiên. Liên quan đến phép đếm, sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS>11CB) có hai bài.
Bài 1: Qui tắc đếm và Bài 2: Hoán vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp. Qui tắc đếm
Trước khi trình bày hai qui tắc đếm cơ bản sách ĐS>11CB có ghi như sau: Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n(A). Người ta cũng dùng kí hiệu |A| để chỉ số phần tử của tập A. Chẳng hạn:
a) Nếu A={a,b,c} thì số phần tử của tập A là 3, ta viết n(A)=3 hay |A|=3.
b) Nếu A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B={2,4,6,8}(tập hợp các số chẵn của A) thì A\B={1,3,5,7,9}.
- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9 - Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4 - Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5
Những phép đếm cơ bản học sinh đã biết từ rất sớm. Đếm số phần tử của tập hợp như trên thì học sinh đã được học lớp 6 và lớp 10. Chúng tôi nghĩ phần này sách ĐS>11CB chỉ ôn tập lại kiến thức cũ cho học sinh để chuẩn bị cho bài học mới. Quy tắc cộng
Trước khi phát biểu quy tắc cộng, sách ĐS>11CB đưa ra ví dụ 1.
Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả ấy?
Và được giải như sau:
Vì các quả cầu trắng hoặc đen được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn. Nếu chọn quả trắng có 6 cách chọn, còn nếu chọn quả đen thì có 3 cách chọn.
Từ ví dụ trên, sách ĐS>11CB đưa ra quy tắc cộng:
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Tiếp đó, sách ĐS>11CB đưa ra hoạt động 1 như sau:
Trong ví dụ 1, kí hiệu A là tập hợp các quả cầu trắng, B là tập hợp các quả cầu đen. Nêu mối quan hệ giữa số cách chọn quả cầu và số phần tử của hai tập A, B. Hoạt động 1 được Sách giáo viên đại số và giải tích 11 giải như sau. Kí hiệu A, B lần lượt là tập hợp các quả cầu trắng, đen, ta có A={1, 2 , 3, 4, 5 ,6}, B={7, 8, 9}. Khi đó, vì n(A)=6, n(B)=3, A B nên n(AB)=n(A)+n(B)=6+3=9, trong đó(AB)là tập hợp các quả cầu trắng và đen.
Từ đó, sách ĐS>11CB đưa ra nhận xét: Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì n(AB)= n(A)+n(B) Sau đó trình bày phần chú ý: quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
Để làm rõ hơn cách phát biểu quy tắc cộng trong phần nhận xét trên sách ĐS>11CB đưa ra ví dụ 2:
Có bao nhiêu hình vuông trong hình 23?
1 c m 1 cm . Hình 23
Và được giải như sau:
Rõ ràng, chỉ có thể có hình vuông cạnh 1cm và 2cm. Kí hiệu A là tập hợp các hình vuông có cạnh là 1cm và B là tập hợp các hình vuông có cạnh 2cm. Vì
A B nên n(AB)=n(A)+n(B)=10+4=14. Vậy có tất cả 14 hình vuông.
Có thể nhằm giảm nhẹ cho học sinh ở ban cơ bản nên ở sách ĐS>11CB không đưa công thức n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB). Tuy nhiên công thức này vẫn có trong sách Bài tập đại số và giải tích 11 dành cho ban cơ bản.
Đến đây, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ Tcộng: Tính số phần tử thỏa quy tắc cộng.
Kỹ thuật:
- : Tính số phần tử thỏa tính chất thứ nhất, tính số phần tử thỏa tính chất thứ 2, sau đó cộng lại.
- : Đặt A là tập hợp các phần tử thỏa tính chất 1 và đặt B là tập hợp các phần tử thỏa tính chất 2. Đếm số phần tử của tập A, B sau đó tính n(AB)=n(A)+n(B) với
Trong phần này, chúng tôi thấy sơ đồ cây xuất hiện ở hình 24. Và cách giải thích trong Sách giáo viên đại số và giải tích 11 như sau: “Ví dụ 3 trong SGK nhằm dẫn đến quy tắc nhân nên khi giảng ví dụ này, giáo viên nên dùng sơ đồ hình cây để học sinh dễ hình dung”. Tiếp sau đó, sách ĐS>11CB đưa ra quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc đó.
Tiếp đó, sách ĐS>11CB đưa ra hoạt động 2:
Và hoạt động trên được Sách giáo viên đại số và giải tích 111 giải thích như sau: Hoạt động 2 nhằm cũng cố thêm ý tưởng về công thức nhân được nêu trong ví dụ 3, được giải như sau: Kí hiệu a, b, c là tên ba con đường từ A đến B; 1, 2, 3, 4 là tên bốn con đường từ B đến C.
Khi đó, tập các cách đi từ A đến C qua B được mô tả như sau:
a1, a2, a3, a4
b1, b2, b3, b4
1Sách giáo viên đại số và giải tích 11 ở đây và trong luận văn này là tên của sách giáo viên đại số và giải tích 11 ban cơ bản.
c1, c2, c3, c4.
Vậy có 3.4 = 12 cách đi từ A qua B đến C.
Đến đây, chúng tôi thấy không còn sơ đồ cây nữa. Thay vào đó là liệt kê theo thứ tự từ điển. Và từ đó trở về sau công thức nhân sẽ ưu tiên sử dụng thay cho hai cách liệt kê trên. Chẳng hạn, sang ví dụ 4 đề bài và lời giải như sau.
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số điện thoại gồm: a) Sáu chữ số bất kì ?
b) Sáu chữ số lẻ ?
Giải
a) Vì mỗi số điện thoại là một dãy gồm sáu chữ số nên để lập một số điện thoại, ta cần thực hiện sáu hành động lựa chọn liên tiếp các chữ số đó từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Có 10 cách chọn chữ số đầu tiên.
Tương tự, có 10 cách chọn chữ số thứ 2;
...
Có 10 cách chọn chữ số thứ sáu.
Vậy theo quy tắc nhân, số các số điện thoại gồm sáu chữ số là
10.10.10.10.10.10=106=1 000 000 (số).
b) Tương tự, số các số điện thoại gồm sáu chữ số lẻ là 56
= 15 625 (số).
Có thể ở ví dụ 4, số cách chọn quá lớn không phù hợp với liệt kê, nhưng các bài tập ở sách giáo khoa được giải trong Sách giáo viên đại số và giải tích 11
(SGVĐS>11) tất cả đều dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Điều này cũng được thể hiện ở phần mục đích yêu cầu trong SGV là: Nắm được quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải toán.
Từ các ví dụ trên, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ Tnhân: Tính số các phần tử thỏa quy tắc nhân.
Các Kỹ thuật tham chiếu:
- : Tính số phần tử của k hành động liên tiếp tương ứng với mỗi hành động là m1, m2, …, mk phần tử. Sau đó, tính tích của chúng.
- + : Đặt tập hợp A1, A2, …, Ak tương ứng với mỗi hành động trong k hành động. Đếm số phần tử của mỗi tập hợp. sau đó sử dụng công thức n(A1 x A2 x … x Ak) = n(A1)x n(A2)x … x n(Ak).
- : Liệt kê2 tất cả các phần tử, sau đó đếm số phần tử.
- : Liệt kê tất cả các phần tử theo sơ đồ cây. Sau đó, đếm số phần tử.
Trong các kỹ thuật trên, sách ĐS>11CB ưu tiên kỹ thuật . Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Hoán vị
Trước khi định nghĩa hoán vị, sách ĐS>11CB đưa ra ví dụ 1 và lời giải như sau:
Ví dụ 1. Trong trận đấu bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải đá luân lưu 11m. Mỗi đội đã chọn năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt.
Lời giải:
Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Để tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, … và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự tên năm cầu thủ. Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, … và B đá quả cuối cùng. Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:
Cách 1: ABCDE.
Cách 2: ACBDE.
Cách 3: CABED.
Sau đó, sách ĐS>11CB đưa ra nhận xét: Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ. Từ đó, dẫn dắt vào định nghĩa hoán vị.
ĐỊNH NGHĨA
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Để vận dụng định nghĩa vừa nêu, sách ĐS>11CB đưa hoạt động 1: “Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.” Chúng tôi thấy rằng: Ở hoạt động này, số các hoán vị nhỏ, rất phù hợp để học sinh làm bài bằng cách liệt kê hoặc liệt kê sơ đồ cây. Và bài giải ở sách giáo viên đại số và giải tích 11(SGVĐS>11) viết có 3!=6 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.
Thông qua ví dụ 1 và hoạt động 1, sách ĐS>11CB đã đưa ra nhận xét sau: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
Tiếp sau đó, sách ĐS>11CB đưa vào ví dụ 2 và lời giải như sau:
Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ngồi?
Giải. Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên bốn bạn và viết ABCD để mô tả cách sắp xếp như hình 27.
A B C D
a) Cách thứ nhất: Liệt kê.
Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDAB, DACB, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Như vậy có 24 cách, mỗi cách cho ta một hoán vị tên của của bốn bạn và ngược lại.
b) Cách thứ 2: Dùng quy tắc nhân.
- Có bốn cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
- Sau khi đã chọn một bạn, còn ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ hai.
- Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ ba.
- Bạn còn lại xếp vào chỗ thứ tư.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là 4.3.2.1 = 24 (cách).
Tiếp sau đó là, kí hiệu Pn là số các hoán vị n phần tử. Ta có định lí sau đây. ĐỊNH LÍ
Và chứng minh bằng cách dùng quy tắc nhân. Sau đó, sách ĐS>11CB đưa ra chú ý. Kí hiệu n(n-1)(n-2)…2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có: Pn = n!.
Để giúp học sinh ứng dụng định lí vừa nêu trên, sách ĐS>11CB đưa ra hoạt động 2 với nội dung: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội gồm mười người được xếp thành hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? Ở hoạt động này được SGVĐS>11 giải rất ngắn gọn. Có 10! cách.
Trong phần này, chúng tôi thấy có kiểu nhiệm vụ Thoán vị: Tính số các hoán vị của n phần tử.
Các kỹ thuật tham chiếu:
- : Liệt kê tất cả các phần tử của hoán vị n phần tử, sau đó đếm các phần tử đó.
- : Liệt kê tất cả các phần tử của hoán vị n phần tử theo sơ đồ cây, sau đó đếm các phần tử đó.
- : Tính số phần tử của n hành động liên tiếp tương ứng với mỗi hành động là n, n-1, …, 2, 1. sau đó tính tích của chúng.
- : Đặt tập hợp A1, A2, …, An tương ứng với mỗi hành động trong n hành động. Đếm số phần tử của mỗi tập hợp. Sau đó sử dụng công thức n(A1 x A2 x … x An) = n(A1)x n(A2)x … x n(An)=n(n-1) … .2.1
- : Sử dụng công thức tính số hoán vị của n phần tử Pn=n!
Trong các kỹ thuật trên sách ĐS>11CB có trình bày kỹ thuật liệt kê, kỹ thuật quy tắc nhân và kỹ thuật hoán vị. Qua đó, chúng tôi thấy thiếu vắng kỹ thuật sơ đồ cây. Chỉnh hợp
Trước khi đưa ra định nghĩa chỉnh hợp, sách ĐS>11CB đưa ra ví dụ 3.
Một nhóm học tập có 5 bạn A,B,C,D,E. Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: Một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế.
Và được giải như sau: Ta có bảng phân công sau đây.
Quét nhà Lau bảng Sắp bàn ghế A A C … C D E … D C E …
Từ đó, sách ĐS>11CB đưa ra định nghĩa: Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây.
ĐỊNH NGHĨA:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
Sau đó, sách ĐS>11CB đưa ra hoạt động 3: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho. Với hoạt động này SGVĐS>11 đưa ra lời giải: Có 2
4
A vectơ.
Trước khi nêu định lí tính số các chỉnh hợp, sách ĐS>11CB làm như sau:
Trở lại ví dụ 3, ngoài cách tính số phân công trực nhật bằng phương pháp liệt kê, ta còn có một cách khác là sử dụng quy tắc nhân. Để tạo nên mọi cách phân công, ta tiến hành như sau:
- Chọn một bạn từ 5 bạn để giao việc quét nhà. Có 5 cách.
- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại để giao việc lau bảng. Có bốn cách.
- Khi đã có các bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn tiếp một bạn từ ba bạn còn lại để sắp bàn ghế. Có 3 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là:
5.4.3=60 cách.
Nói cách khác, ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn.
Rồi từ đó, sách ĐS>11CB đưa ra kí hiệu, định lí và chứng minh định lí như sau: Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1<=k<=n).
Định lí
Chứng minh. Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau:
Chọn một trong n phần tử đã cho xếp vào vị trí thứ nhất. Có n cách.
Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n-1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai. Có n-1 cách.
…
Sau khi đã chọn k-1 phần tử rồi, chọn một trong n-(k-1) phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k. Có n-k+1 cách.
Từ đó theo quy tắc nhân, ta được Ank n(n1)(n2)...(nk1).
Trong phần này, chúng tôi thấy sách ĐS>11CB rất quan tâm cách chứng minh mạch lạc công thức số các chỉnh hợp thông qua qui tắc nhân. Điều này cũng làm tương tự như cách chứng minh công thức số các hoán vị. Cách liệt kê chỉ mô tả một vài chỉnh hợp chứ không liệt kê để đếm tất cả các chỉnh hợp.