5.2.1. Bộ lọc Kalman tuyến tính
Một bộ lọc tuyến tính nói chung trong miền thời gian xử lý các tín hiệu đầu vào thay đổi theo thời gian để tạo ra các tín hiệu đầu ra. Hầu hết các bộ lọc thực hiện trong hệ thống điện tử tương tự, xử lý tín hiệu số, hoặc hệ thống cơ học. Khái niệm chung của bộ lọc tuyến tính đó là thống kê, phân tích dữ liệu và kỹ thuật cơ học giữa các lĩnh vực công nghệ.
Nguyễn Xuân Tiến
91
Hình 5.1. Bộ lọc Kalman ước lượng giám sát thực tế
Trong hình 5.1, đường màu xanh thể hiện quan sát thực tế, đường màu đỏ thể hiện quan sát ước lượng. Trên hình ta thấy đường màu đỏ bám rất sát đường màu xanh. Điều này thể hiện ước lượng bộ lọc Kalman cho kết quả gần đúng với kết quả quan sát thực tế. Số lượng mẫu lấy trên một đơn vị thời gian càng lớn thì kết quả ước lượng của bộ lọc Kalman càng chính xác.
Nguyễn Xuân Tiến
92
Ước lượng ưu tiên trạng thái hiện tại Ước lượng ưu tiên ma trận hiệp phương
sai trạng thái
Ước lượng giám sát
Phép đo l i dư thừa
Cập nhật
Ước lượng sau khi cập nhật trạng thái
hiện tại
Hình 5.2 Sơ đồ tiến tr nh thực hi n của bộ lọc Kalman
Mô hình nhiễu với hai biến trạng thái được mô phỏng ứng dụng bộ lọc Kalman để ước lượng giám sát thực tế.
Kết quả mô phỏng hiển thị quan sát thực tế và quan sát ước lượng. Các đặc tính mô hình
X(t) = A * X(t-1) + V(t) y(t) = C * X(t) + N(t)
A là ma trận chuyển đổi trạng thái C là ma trận đầu ra
Nguyễn Xuân Tiến
93 V : nhiễu tiến trình
N : nhiễu quan sát
Hình 5.3. Mô h nh thông thường mô phỏng sự ước lượng trạng thái tiến tr nh ngẫu nhiên của bộ lọc Kalman.
Hình 5.4. Tiến tr nh ngẫu nhiên
Tiến trình ngãu nhiên là một chu i các biến thời gian gọi là chu i thời gian hay là một hàm số ngẫu nhiên được chọn ra từ khoảng của các giá trị thay đổi liên tục.
Một trường hợp đặc biệt là khi thời gian là một tập hợp rời rạc,các quá trình ngẫu nhiên có thể được định nghĩa trên các chiều không gian cao hơn bằng cách
Nguyễn Xuân Tiến
94
gắn một biến ngẫu nhiên đa chiều vào từng điểm của tập chỉ số tương đương mới việc sử dụng một tập chỉ số đa chiều.
Hình 5.5. Cấu tạo bộ lọc Kalman
Sơ đồ khối bộ lọc gồm các bộ tăng ích, bộ tạo trễ, bộ chia và bộ nhân ma trận
Tiến trình cải tiến có phƣơng trình :
Biểu diễn thành phần y(k) không thể được dự đoán tại thời điểm k-1.
Mặt khác, nó biểu diễu sự cải tiến, tính mới lạ mà y(k) mang tới hệ thống tại thời điểm không đổi k-1. Tiến trình này có một số đặc tinh quan trọng.
Nguyễn Xuân Tiến
95 Tiến trình cải tiến có trị trung bình không
Vì hệ thống thời gian bất biến, các phương trình động học l i ước đoán là phương trình động học đồng nhất.
Vì
Chúng ta chọn
Do đó, giá trị trung bình của l i ước đoán bằng 0 và cuối cùng, tiến trình cải tiến có trị trung bình không.
5.2.2. Bộ lọc Kalman mở rộng
Bộ lọc Kalman mở rộng tương đối giống với bộ lọc tuyến tính, ước lượng trạng thái hiện tại, vị trí và vận tốc dựa trên phép đo nhiễu.
Nguyễn Xuân Tiến 96 Vị trí trước + Ước lượng l i Ước đoán Vị trí ước đoán + Ước lượng l i Phép đo vị trí Cập nhật Vị trí mới + Ước lượng l i
Sơ đồ thuật toán thực hiện của bộ lọc Kalman mở rộng
Nguyễn Xuân Tiến
97
Hình 5.7. Bộ lọc Kalman mở rộng ước lượng trạng thái B
Một bộ lọc tuyến Kalman tuyến tính về trung bình hiện tại và hợp phương sai được xem như là bộ lọc Kalman mở rộng (EKF).Đôi khí, chúng ta có thể tuyến tính hóa ước lượng xung quanh ước lượng hiện tạisử dụng đạo hàm từng phần của tiến trình và các hàm đo lường để tính toán các ước lượng thậm chí trong bề mặt của các quan hệ phi tuyến tính .
Nguyễn Xuân Tiến
98
Hình 5.9. Ước lượng vị trí
Trong quá trình mô phỏng, các đường mô tả các trạng thái khác nhau được tạo ra. Sau đó sử dụng mô hình bộ lọc Kalman để ước lượng. Ở đây, luận văn trình bày mô hình hóa cường độ d ng điện, vận tốc rotor, và vị trí rotor biến thiên trong 1.5 giây. Bộ lọc Kalman mở rộng thực hiện tính toán và xuất ra kết quả rất gần đường thực tế. Điều này mở ra những ứng dụng bộ lọc Kalman mở rộng trong nhiều lĩnh vực khác.
Nguyễn Xuân Tiến
99
Hình 5.10. Đường phác họa
Khác với bộ lọc tuyến tính, bộ lọc Kalman mở rộng thường không phải là ước lượng tối ưu( tất nhiên sẽ tối ưu nếu cả phép đo và mô hình chuyển đổi trạng thái tuyến tính). Ngoài ra, nếu như ước lượng trạng thái khởi đầu sai hoặc nếu mô hình hóa tiến trình sai, bộ lọc có thể phân kỳ nhanh chóng. Vấn đề khác với bộ lọc Kalman mở rộng là ma trận hiệp phương sai ước lượng có xu hướng đánh giá thấp ma trận hiệp phương sai thực tế và do đó những rủi ro không nhất quán trong thống kê.
Bộ lọc Kalman mở rộng có thể được sử dụng rộng rãi các thuật toán ước lượng trong hệ thống phi tuyến tính.
5.2.3. Bộ lọc Kalman bám tín hiệu
Mô hình Simulink đưa ra một ví dụ làm thế nào mà bộ lọc Kalman được thực hiện trong Simulink. Mô hình được cấu hình với tiến trình Gauss liên kết với bộ lọc Kalman. Để sử dụng trực tiếp mô hình, chỉ cần cung cấp các thông số mô hình bao gồm các thông số của tiến trình Gauss, đó là mâ trận không gian A, B, C, D, trạng
Nguyễn Xuân Tiến
100
thái ban đầu, x0 và ma trận hiệp phương sai Q và R và các thông số tương tự cho bộ lọc Kalman.
Bộ lọc Kalman cũng có thể được sử dụng như một khối mô hình chuẩn hóa được kết nối nối với bất kỳ hệ thống khác.
Hình 5.11. Ước lượng đi n áp đầu ra.
Hình 5.11 cho ta thấy giá trị ước lượng đầu ra bộ lọc Kalman gần đúng với giá trị điện áp thực. Giá trị quan sát được cách xa giá trị thực. Chứng tỏ rằng, giá trị quan sát được sai lệch nhiều hơn giá trị ước lượng đầu ra bộ lọc Kalman.
Dự đoán vị trí và vận tốc của tàu đang di chuyển.
Tàu xuất phát tại vị trí x = 0 và di chuyển dọc theo trục X với vận tốc thay đổi xung quanh tốc độ 10m/s.
Chuyển động của tàu có thể được miêu tả bởi các tập phương trình khác nhau :
% $$ \dot{x}_1 = x_2, x_1(0)=0$$ %
Nguyễn Xuân Tiến
101 Ở đó x_1 là vị trí và x_2 là vận tốc của tàu W là nhiễu tiến trình do điều kiện đường
Vấn đề đặt ra là : sử dụng phép đo vị trí để ước lượng vận tốc thực tế
Giải pháp : Bởi vì máy móc không hoàn hảo, điều kiện thời tiết, các phép đo của chúng ta bị nhiễu vì thế vận tốc liên tục từ hai phép đo vị trí liên tiếp không được chính xác. Chúng ta sẽ sử dụng bộ lọc Kalman khi chúng ta cần độ chính xác và ước lượng nhanh vận tốc theo thứ tự ước đoán vị trí tàu trong tương lai.
Hình 5.12. Kết quả ước lượng vị trí dùng bộ lọc
Trên hình vẽ là phép đo các vị trí thực tế, đầu ra ước lượng Kalman và phép đo vị trí. Đường vị trí thực, đường giá trị đo được và đường giá trị ước lượng vị trí trùng khít với nhau. Do vậy, giá trị ước lượng bộ lọc Kalman có thể coi là chính xác.
Trên hình vẽ là phép đo các vị trí thực tế, đầu ra ước lượng Kalman và phép đo vị trí.
Nguyễn Xuân Tiến
102
Hình 5.13. Kết quả ước lượng vận tốc dùng bộ lọc
Đường vận tốc ước lượng lấy mẫu liên tiếp cách rất xa so với vị trí thực. Vì thế, giá trị này không có ý nghĩa trong việc xác định vân tốc thực tế. Đường vận tốc ươc lượng trung bình chạy và đường vận tốc ước lượng bởi bộ lọc Kalman bám sát đường vận tốc thực. Tuy nhiên, đường vận tốc ước lượng bởi bộ lọc Kalman bám sát hơn đường vận tốc trung bình chạy. Vì vậy, bộ lọc Kalman cho kết quả chính xác hơn. Cũng vì thế ta có thể kết luận phương pháp ước lượng bằng bộ lọc Kalman tốt hơn các phương pháp truyền thống trên.
Giá trị vận tốc được lấy từ phép đo hai vị trí liên tiếp.
Vận tốc tức thời là giá trị trung bình của 5 mẫu đo liên tục vận tốc tức thời để xác định được vận tốc một cách chính xác nhất . Thực tế nhìn vào đường phổ ước lượng ta thấy rằng giá trị thực tế và giá trị ước lượng không chênh lệnh nhau quá nhiều và gần như chồng khít với giá trị thực tế.
Nguyễn Xuân Tiến
103
Hình 5.14. Biểu diễn trạng thái thực tế và trạng thái ước lượng
Hình 5.15. Thể hi n vị trí thực tế và vị trí ước lượng tốt nhất ở đầu ra bộ lọc Kalman
Với hình 5.14 và 5.15, ta nhận thấy rằng, với các trạng thái khác nhau, bộ lọc Kalman cho kết quả bám là khác nhau. Trạng thái 4 là trạng thái bộ lọc Kalman hoạt động tốt nhất. Trạng thái 2 và trạng thái 3 có tín hiệu không đều nên khả năng ước lượng của bộ lọc Kalman cũng giảm. Nhưng nhìn chung, giá trị ước lượng của bộ lọc Kalman vẫn dao động quanh trạng thái thực tế. Với tất thể hiện ở trên, giá trị
Nguyễn Xuân Tiến
104
ước lượng của bộ lọc Kalman chính xác hơn các phương pháp ước lượng bám truyền thống.
Nguyễn Xuân Tiến
105
KẾT LUẬN
M i ngày trên thế giới có hàng ngàn công nghệ mới được phát mình, hàng triệu người đang sử dụng ứng dụng GPS m i ngày, do đó nhu cầu của con người là không giới hạn. Quá trình đo chính xác vị trí và phát triển nâng cao độ chính xác định vị ứng dụng bộ lọc Kalman đang ngày càng phát triển mạnh mẽ. Cùng với sự phát triển của các hệ thống vệ tinh khác như Galileo, Glonass thì hệ thống GPS đang ngày càng được hoàn thiện và là bệ phóng dẫn đầu về công nghệ dẫn đường vệ tinh.
Tất cả luận văn của em tập trung chính vào lý thuyết về bộ lọc Kalman cùng với đó là các ứng dụng của bộ lọc Kalman trong việc bám tín hiệu GPS. Thực chất của việc bám đó là đo các nhiễu để từ đó dự đoán và ước lượng vị trí. Thực tế c n rất nhiều khó khăn nhưng suốt thời gian qua em n lực và cố gắng hết mình để thực hiện luận văn với nội dung nghiên cứu tốt nhất. Em đã tăng thêm được nhiều kiến thức rất tổng quan về hệ thống GPS cùng các tín hiệu , kiến trúc, hoạt động của hệ thống GPS. Những ứng dụng trên thực tế của GPS và đặc biệt quan trọng đó là một quá trình xử lý không thể thiếu cho bất kỳ hệ thống viễn thông nào đó là sử dụng bộ lọc. Bộ lọc Kalman với những ưu điểm trong việc tối ưu hóa nhiễu và được ứng dụng trong hệ thống GPS tạo ra bước đột phá trong công nghệ.
Trong quá trình làm luận văn, dù đã cố gắng nhưng cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn!
Cuối cùng, em xin được gửi lời cám ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Trung và PGS. TS. Nguyễn Thúy Anh, thầy cô đã giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này!
Nguyễn Xuân Tiến
106
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Kai Borre - Dennis M. Akos - Nicolaj Bertelsen - Peter Rinder - Søren Holdt Jensen – A Software-Defined GPS and Galileo Receiver - A Single-Frequency Approach.
[2]. http://www.navcen.uscg.gov/pubs/gps/sigspec/ - GPS SPS Signal Specification, 2nd Edition (June 2, 1995).
[3]. Development and Testing of an L1 Combined GPS-Galileo Software Receiver (URL: http://www.geomatics.ucalgary.ca/graduatetheses) by Florence Macchi January 2010.
[4]. http://en.wikipedia.org/wiki/GPS_signals.
[5]. Kalman filtering: Theory and Practice using Matlab - second edition- Mohinder S.Grewal- California State University at Fullerton and Angus P.Andrews- Rockwell Science Center.