Tôi sẽ đưa ra một số cảm tính vật lý cho việc tại sao bộ lọc Kalman lại tối ưu. Ta quay lại thảo luận ở phần trước. Nhắc lại rằng từ việc bám hai tầng g-h ở tại thời điểm n chúng ta có hai ước tính vị trí mục tiêu. Vị trí đầu tiên là yn, dựa trên phép đo thực hiện tại thời điểm n. Vị trí thứ hai là sự dự đoán x*n,n-1 dựa trên các phép đo trước. Bộ lọc Kalman kết hợp hai ước lượng tạo ra ước lượng được lọc x*n,n cho vị trí mục tiêu tại thời điểm n.Ước lượng x*n,n sẽ có sự khác nhau nhỏ nhất:
(2.5)
Phương trình 2.5 cho sự ước lượng kết hợp tốt có thể thu được nhờ việc kiểm tra một vài trường hợp đặc biệt. Sự xem xét đầu tiên là trường hợp yn và x*n,n-1 có độ chính xác bằng nhau. Để làm cho sự kiểm tra này dễ hiểu hơn với những gì chúng ta biết, tôi sử dụng sự ví dụ trước đó, đó là chúng ta giả thuyết rằng yn và x*n,n-1 đại
Nguyễn Xuân Tiến
40
diện cho hai ước lượng độc lập của trọng số thu được từ hai phạm vi có độ chính xác bằng nhau. Nếu một phạm vi cho ước lượng trọng số 110 lb, trọng số khác cho 120 lb, chúng ta muốn sử dụng cho ước lượng trọng số kết hợp tốt nhất là cái nào? Bạn có thể lấy trung bình hai ước lượng trọng số là 115 lb. Nếu như phương sai của hai ước lượng bằng nhau:
(2.6)
Do đó trong hình 1.2-3 sự ước lượng được kết hợp x*n,n đặt chính xác trong khoảng giữa hai ước lượng.
Bây giờ chúng ta xét trường hợp x*n,n-1 có độ chính xác hơn nhiều so với ước lượng yn. Vì ở trường hợp này VAR(x*n,n-1) << VAR(yn) theo xấp xỉ gần đúng thì:
(2.7)
Do đó ương lượng x*n,n xấp xỉ gần bằng với x*n,n-1 vì thế độ chính xác của x*n,n-1 tốt hơn nhiều độ chính xác của yn. Hình 1.2-3 là sự ước lượng được kết hợp x*n được đặt gần với sự ước lượng x*n,n-1.
Phương trình 2.5 có thể được để trong dạng thức của bộ lọc bám g-h Kalman. Có thể viết lại 2.5 như sau:
(2.8) ( 2.9) Hằng số gn:
(2.10)
Do đó, chúng ta đã đưa ra một trong các phương trình bám Kalman cho việc cập nhật vị trí mục tiêu. Phương trình cho thông số bộ lọc bám là :
Nguyễn Xuân Tiến
41
(2.11)