dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (PH & GQVĐ).
Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là giáo viên thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống có vấn đề, khai thác được những nội dung bài học một cách triệt để, có những sáng tạo trong xây dựng những bài toán. Mỗi một bước thực hiện là học sinh đã phải trãi nghiệm qua hàng loạt kiến thức khi được huy động và họ phải phân tích, chọn lựa để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn.
Từ việc nghiên cứu phương pháp dạy học PH & GQVĐ giáo viên xác lập một quy trình giải toán để học sinh phát triển được năng lực HĐKT,
đó là:
Bước 1:Tạo tình huống gợi vấn đề
+ Đưa học sinh vào tình huống gợi vấn đề. + Phân tích tình huống đó.
+ Dự đoán vấn đề nảy sinh và đạt mục đích, xác minh tính đúng đắn.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
+ Phân tích mối quan hệ giữa dữ kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm. + Đề xuất, lựa chọn hướng giải quyết và tìm tòi lời giải.
+ Thực hiện lời giải.
+ Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải.
+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội). + Xét khả năng ứng dụng của nó.
+ Vận dụng vào tình huống mới.
Tất cả những vấn đề đó đều đòi hỏi học sinh phải có một năng lực trí tuệ nhất định, năng lực HĐKT thích hợp mới giải quyết được yêu cầu đặt ra.
Ví dụ 17: Dạy giải bài tập
CMR trong mọi tam giác ABC ta có:
Sin2A+sin2B +sin2C=2 +cosAcosBcosC (*)
Bước1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
+ Đưa Học sinh vào tình huống gợi vấn đề GV nêu ra ba bài tập nhỏ:
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, C = 300 Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC
Bài 3 : Cho tam giác ABC đều.
Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC + Phân tích tình huống:
So sánh giá trị sin2A+sin2B+sin2C và cosAcosBcosC trong 3 bài tập trên.
Dự đoán vấn đề: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC
Bước 2: Giải quyết vấn đề
+ Phân tích mối quan hệ giữa dự kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm. - Điều kiện đã cho: A, B, C là các góc của một tam giác
- A + B + C = π và vấn đề cần giải quyết: Chứng minh rằng: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC (0 < A,B,C < π)
Đối với các tam giác đặc biệt ở bài 1, 2, 3 vấn đề được đặt ra có tính đúng đắn.
Hướng 1: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về đẳng thức đúng.
Hướng 2: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích).
Hướng 3: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng).
+ Thực hiện lời giải Trình bày lại 3 cách giải
Bước 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả
+ Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải; kiểm tra 3 cách chứng minh, từ đó nêu rõ cách nào tối ưu hơn.
+) Khẳng định lại vấn đề dự đoán là chính xác. Kiểm tra lại dữ kiện đã cho xem đã sử dụng hết chưa? Có thể phát biểu lại bài toán như thế nào?
(Cho A + B + C = π, chứng minh rằng: sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC )
+ Xét khả năng vận dụng kết quả trên để giải bài toán: “Cho tam giác ABC có: Sin2A + sin2B + sin2C = 2. CMR tam giác đó là tam giác vuông”
Vận dụng vào tình huống mới.
Dự đoán vấn đề mới: Trong tam giác ABC có: Cos2A + cos2B + cos2C = 2 + 2 sinAsinBsinC.
Ví dụ 18: Dạy học phát hiện khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn.
“Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A; vẽ đường cao AH. Chứng minh CH.CB = CA2”
GV có thể chỉ dẫn để học sinh vẽ đường tròn đường kính AB tâm O và yêu cầu học sinh tính . qua CO và R = AB (Hình vẽ).
C
H
B
A
Hình 1.3
Học sinh tính được CA2 = CO2 - R2 ⇒ = CO2 - R2. Từ đó học sinh có thể phát biểu và chứng minh mệnh đề tổng quát sau: Nếu từ điểm C bất kỳ vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A, B thì ta có hệ thức = CO2 - R2 .
Ta sẽ có khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn.
Ví dụ 19: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong y= ; y=
Bước 1: Nêu tình huống gợi vấn đề Công thức tính diện tích của hình phẳng?
Giao điểm của 2 đường cong có toạ độ (± ; 1) nên diện tích của hình phẳng cần tính bằng:
S = 2( - ) dx (Hình vẽ)
Hình 1.4
Bước 2: Giải quyết vấn đề
-Tính I1= dx bằng cách như thế nào? Hướng 1: Đổi biến số: x= 2sint ta được I1=dx= 4cos2t.dt =2( t+ sin2t) =2( + )
x - y 1 2 N M O A
- Tính I2= dx = . Vậy S = 2 ( I1+ I2)= + .
Hướng 2: Thay cho việc tính I1 ta thấy các giao điểm của phương trình đường tròn y= với đồ thị hàm bậc hai y = là M( ;1) và N(- ; 1).
- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong đó là phần nào?
- Vậy kiến thức cần sử dụng tiếp theo nữa là gì?
Gọi O(0; 0), A(2; 0) thì tanMOA∧ = nên MAO∧ = 300. Sh.quạt= (đvdt). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn OM và (P) y= là:
( x - ) dx = - = . Vậy S = + .
Bước 3: Kiểm tra và vận dụng kết quả
Học sinh nhận xét hai cách giải quyết vấn đề.
Nếu thay đường tròn bởi elip thì kết quả như thế nào? Ta có bài toán sau:
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong: y = + và y =