Chiếm lĩnh tri thức thông qua những hoạt động thuật giải và tựa thuật giả

- Tìm điều kiện của x.

4x+ 24 x+ 15 x− 63x +=

2.2.4. Chiếm lĩnh tri thức thông qua những hoạt động thuật giải và tựa thuật giả

và tựa thuật giải

2.2.4.1. Lí luận về thuật giải và quy tắc tưa thuật giải. - Thuật giải:

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trưc giác về thuật giải.

“Thuật giải theo nghĩa trưc giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thưc hiện một cách đơn trị, kết thúc một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (input) của một lớp bài toán thành thông tin ra (output) mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [28, tr.376].

Còn theo Vương Dương Minh thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn vị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tư xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn [32, tr.12].

- Quy tắc tưa thuật giải:

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa mang đầy đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lưc trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó chỉ là những quy tắc có thể coi là tưa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thưc hiện được theo một trình tư xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin mô tả lời giải của bài toán đó.

Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tưa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thưc hiện được theo một trình tư xác định nhằm

biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [28, tr.376].

Tư duy thuật giải:

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người phát triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động.

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng: Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chúc cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tư giác tích cưc chủ động và sáng tạo.

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thưc hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thưc hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sư phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tư giác, tích cưc.

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lưa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức tạp vừa sức họ.

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đặt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được nghiên

cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động là nền tảng.

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt động sau:

T1: Thưc hiện các thao tác theo một trình tư xác định phù hợp với một thuật giải.

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thưc hiện theo một trình tư xác định.

T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động. T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.

Hoạt động T1 thể hiện năng lưc thưc hiện thuật giải. Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lưc xây dưng thuật giải. Cả 5 hoạt động trên được gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải.

Như vậy có thể phát biểu rằng: “Tư duy thuật giải là phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thưc hiện và xây dưng thuật giải” (Vương Dương Minh 1996, tr.28).

Ví dụ 1. Thuật giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để học sinh có ý thức về điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, giáo viên yêu cầu học sinh tìm sai lầm trong lời giải của bài toán giải phương trình:

x +1 x + 2- = 4 2

x -1 x +3 x −2x 3 + −

Chuyển các biểu thức chứa ẩn về một vế: 1 2 4 0 2 1 3 2 3 x x x+ − x+ + x x = − + + − . Thu gọn vế trái ta tìm được x = -3.

Nếu học sinh không tìm ra sai lầm của lời giải trên. Giáo viên có thể định hướng: Giá trị x = -3 có phải là nghiệm của phương trình hay không? Vì sao?

Qua ví dụ trên học sinh ý thức được rằng: Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu. Bởi vậy, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, cần chú ý đến yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình:

1 + 2 + 1 = 0

x -1 x - 2 x -3

Giáo viên có thể định hướng học sinh giải phương trình như sau: Giáo viên: Tìm điều kiện xác định của phương trình?

Học sinh: x ≠ 2, x≠1 và x≠3

Giáo viên: Để khử mẫu của phương trình ta cần thưc hiện phép biến đổi nào?

Học sinh: Quy đồng hai vế của phương trình

(x - 2)(x -3) - 2(x -1)(x -3) + (x -2)(x -1) = 0 (x -1)(x - 2)(x -3) (x -1)(x - 2)(x -3) (x -1)(x - 2)(x -3)

từ đó suy ra (x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 3 ) + (x – 1 )(x – 2 ) = 11

Giáo viên: Giải phương trình?

(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x – 3 ) + (x – 1 )(x – 2 ) = 11?(*) Học sinh: Phương trình (*) tương đương với

3x2 -12x = 0 x = 01 3x(x - 4) x = 42     ⇔ ⇔

Giáo viên: Phương trình (*) có tương đương với phương trình (1) đã cho hay không?

Học sinh: Do khử mẫu nên phương trình (*) có thể không tương đương với phương trình (1) đã cho

Giáo viên: Vậy ta cần phải làm gì?

Học sinh: Ta cần thử lại xem x = 0, x = 4 có đúng là nghiệm của phương trình (1) hay không?

Giáo viên: Muốn vậy ta cần phải làm gì?

Học sinh: Chỉ cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện xác định hay không. Ta nhận thấy rằng x = 0, x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (1). Vậy tập nghiệm của phương trình là

{ }0; 4

S =

.

Từ cách dẫn dắt trên giáo viên yêu cầu học sinh khái quát lên thuật giải giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4 (Kết luận ): Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Trong điều kiện ngày nay, sư hiểu biết của con người luôn đổi mới để đáp ứng tốc độ phát triển của xã hội. Tăng cường rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo toán học cần thiết trong thưc tiễn, giải quyết vấn đề với phương pháp hợp

lý, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian, tư duy. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán ở học sinh phổ thông là rất quan trọng và cần thiết, góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học. Tác giả Nguyễn Bá Kim đã khẳng định sư cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải như sau:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được tư động hóa trong những lĩnh vưc hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sư ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tư động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tư động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thưc hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thưc hiện.

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thưc hiện tốt khâu đó.

- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…

- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển các năng lưc trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tư kiểm tra. [11, tr. 382].

Khi dạy học thưc hiện thuật giải, quy tắc tưa thuật giải để nâng cao hiệu quả dạy học hoạt động này chúng ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

2.2.4.2. Một số chú ý khi dạy học sinh chiếm lĩnh tri thức thông qua những hoạt động thuật giải và tưa thuật giải.

a) Luyện tập cho học sinh khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

Ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ, định hướng tìm tòi lời giải, khái quát hóa từ các trường hợp riêng dẫn đến phương pháp chung để giải dạng toán đó. Hoạt động này luyện tập khả năng khái quát hóa một quá trình trên những đối tượng riêng lẻ thành hoạt động trên một lớp đối tượng.

Việc này nhằm mục đích luyện tập khả năng hợp nhất các đối tượng khác nhau thành một nhóm đối tượng theo những thuộc tính chung nào đó. Nếu luyện tập cho học sinh khả năng khái quát hóa có hiệu quả giúp học sinh nhìn nhận bài toán một cách khái quát hơn, toàn diện hơn, dễ dàng nhận thấy các mối liên dễ dàng nhận thấy các mối liên hệ chung giữa các đối tượng, là yếu tố góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

Để hình thành thuật giải đặt ẩn phụ cho các bài toán phương trình mũ giáo viên yêu cầu học sinh làm các ví dụ sau:

Ví dụ 3. Giải phương trình:

1

2 x −2 − x =1

(*) Giáo viên: Đặt t = ?

Học sinh: 2 x t=

Giáo viên: Có cần đặt điều kiện cho t hay không?

Học sinh: t≥

1.

Giáo viên: Chuyển phương trình (*) về theo t? Và giải phương trình theo t?

Học sinh: Ta có t2 – t – 2 = 0 t = -1(l) t = 2(n)    ⇔

Giáo viên: Trở về ẩn x, và kết luận? Học sinh: t = 2 ⇔ x =1⇔ x =1

. Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Ví dụ 4: Giải phương trình:(2− 3) (x+ +2 3)x =14 (**) Giáo viên:Có nhận xét gì về biểu thức(2− 3 2)( + 3)

? Từ đó suy ra được điều gì? Học sinh: (2 3 2)( 3) 1 2 3 1 2 3 − + = ⇒ + = − Giáo viên: Đặt t = ?

Học sinh: t = (2- 3)x

Giáo viên: Có cần đặt điều kiện cho t hay không? Học sinh: t > 0.

Giáo viên: Chuyển phương trình (**) về theo t? Và giải phương trình

theo t? Học sinh: Ta có 1 t + -14 = 0 t ( ) ( ) 2 t = 2 - 3 2 t -14t +1= 0 2 t = 2 + 3       ⇔ ⇔

Giáo viên: Trở về ẩn x, và kết luận?

Với ( ) (2 ) ( )2

2 3 2 3 x 2 3 2

t= + ⇔ − = + ⇔ = −x

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±

2

Qua các ví dụ trên ta thấy rằng ẩn phụ thường dùng là giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khi ta thay ẩn phụ tức là không phải ẩn của bài toán ban đầu với một mong muốn bài toán với ẩn mới dễ giải hơn bài toán đã cho. Việc giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ như là một công việc được tách thành công đoạn dễ thực hiện hơn. Quy trình như sau:

Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn ẩn thích hợp, rồi chuyển bài

toán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ; đặt điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2: Giải bài toán đối với ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện. Bước 3: Trở về tìm ẩn ban đầu.

Bước 4: Kết luận.

b) Luyện tập cho học sinh so sánh những thuật toán khác nhau cùng thưc hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu.

Mỗi bài toán có thể có nhiều hướng giải. Cần luyện tập cho học sinh ý thức và khả năng so sách những thuật toán khác nhau cùng thưc hiện một công việc từ đó chọn lưa phương pháp thích hợp để áp dụng và phát hiện thuật toán tối ưu. Đây cũng là một yếu tố của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sư làm việc với máy tính điện tử.

- Việc luyện tập cho học sinh biết các thuật toán khác nhau cùng thưc hiện một bài toán sẽ giúp học sinh xem xét, so sánh các thuật toán để tìm ra thuật tối tối ưu. Thuật toán tối ưu chỉ mang tính chất tương đối vì có thể phương pháp đó tối ưu với giả thiết này nhưng lại khó khăn đối với giả thiết khác hay đối với bài toán này thì áp dụng được nhưng với bài toán khác thì không. Tùy thuộc vào dữ kiện đề bài mà có thể lưa chọn phương

pháp nào cho phù hợp nhất, tiết kiệm các thao tác nhất khi thưc hiện thuật toán.

Chẳng hạn khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình mũ ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a, b).

Thuật giải ta thưc hiện theo các bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = k. Bước 2: Xét hàm số y = f(x)

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến). Bước 3: Nhận xét:

-Với x = x0⇔

f(x) = f(x0) = k, do đó x = x0 là nghiệm

- Với x > x0⇔

f(x) > f(x0) ⇔

f(x) > k, do đó phương trình vô nghiệm

- Với x < x0⇔

f(x) < f(x0) ⇔

f(x) < k, do đó phương trình vô nghiệm Bước 4: Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Tính chất 2. Nếu hàm f tăng trong khoảng (a, b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a, b) (do đó nếu tồn tại x0

∈

(a, b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)).

Tính chất 3. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì:

f(u) = f(v) ⇔

u = v với ∀u, v∈ (a, b).

Thuật giải ta thưc hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v). Bước 2: Xét hàm số y = f(x)

Bước 3: Khi đó phương trình được chuyển về dạng: u = v.

Ví dụ 5. Giải phương trình :1 8+ 2x =3 5x( )

Cách 1:Sử dụng tính chất 1 để giải.

Giáo viên: Hãy đưa phương trình (5) về dạng

f(x) = k?

Học sinh: Chia hai vế cho3x ≠0

, ta được: 1 8 1 3 3 x x      ÷  ÷  ÷   +  =

Giáo viên: Xét tính đơn điệu của hàm số y =

1 8 3 3 x x      ÷  ÷  ÷   +  ? Học sinh: Hàm số y = 1 8 3 3 x x      ÷  ÷  ÷   +  là hàm nghịch biến. Giáo viên: Kết luận?

Học sinh: Ta có:

- Với x = 2, f(x) = 1 do đó x = 2 là nghiệm của phương trình (5)

- Với x > 2, f(x) < f(2) do đó phương trình (5) vô nghiệm.