Với σ là phương sai chuẩn của ᵃσ. Theo định lý 1 (Gabor 1960) [38], nhiễu phương pháp ảnh giữa ảnh gốc và ảnh được lọc Gaussian với phương sai σ đủ nhỏ là, ᵅ(ᵆ,ᵆ)‒ᵃσ*ᵅ(ᵆ,ᵆ)=‒σ2∆ᵆ+ᵅ(σ2) (A.2)
Từ (A.2) ta có thể thấy rằng, nhiễu phương pháp Gaussian có giá trị gần như zero trong các thành phần ảnh tần số thấp có giá trị lớn ở vùng gần các cạnh hay vùng có kết cấu (texture). Hay kết quả là, phương pháp nhiễu Gaussian có tính chất lọc tốt cho các vùng nền của ảnh, nhưng các vùng cạnh và vùng có kết cấu sẽ bị mờ đi.
A.1.2 Lọcnhiễubằngbộlọc không đẳnghướng Anisotropic filtering (AF)
Phương pháp lọc đẳng hướng được thiết kế với mục tiêu cố gắng tránh hiệu ứng mờ của phương pháp lọc Gaussian, bằng việc nhân xoắn ảnh f tại các vị trí (x,y) chỉ trong hướng trực giao với gradiant của f, Df(x,y). Ý tưởng của bộ lọc này được đề xuất bởi Perona [39], và Alvarez [40]. Nó được xác định như sau,
ᵃᵃℎᵅ(ᵆ,ᵆ)=∫ᵃσ(ᵆ)ᵅ((ᵆ,ᵆ)+ᵆ|ᵃᵅᵃᵅ((ᵆ,ᵆᵆ,ᵆ))|⊥)ᵅᵆ
(A.3) Với {t, x,y} thuộc không gian ảnh và (ᵆ,ᵆ)⊥ trực giao với (x,y)
Điều kiện trong môi trường ảnh thực ta luôn có Df(x,y) ≠ 0. ᵃσ là hàm Gaussian một chiều với phương sai σ2. Nếu ảnh gốc f có tính khả vi 2 lần liên tục tại (x,y), ta có được kết quả sau bằng cách dùng khai triển Taylor đến bậc 2,
ᵅ(ᵆ,ᵆ)‒ᵃᵃσᵅ(ᵆ,ᵆ)=‒21σ2|ᵃᵅ(ᵆ,ᵆ)|ᵅᵆᵅᵆ(ᵅ)(ᵆ,ᵆ) (A.4) Với ᵅᵆᵅᵆ(ᵅ)= ᵅᵆᵆᵅ 2 ᵆ‒2ᵅᵆᵆᵅᵆᵅᵆ+ᵅᵆᵆᵅ2ᵆ (ᵅ2ᵆ+ᵅ2ᵆ)32 (A.5) Từ tính chất của hàm curv(f) ta thấy giá trị nhiễu của phương pháp này gần như
zero ở những vùng ảnh là đường thẳng và có giá trị lớn ở những vùng cạnh cong hay vùng có cấu trúc. Vậy phương pháp lọc này khôi phục tốt cho vùng ảnh có nhiều cạnh thẳng, nhưng với vùng nền và vùng có cấu trúc thì chất lượng kém đi.
A.1.3 Lọcnhiễubằngphương pháp Total Variation Filtering (TVF)
Phương pháp lọc tối thiểu hoá biến thiên toàn cục được giới thiệu bởi Rudin [41]. Với một ảnh nhiễu được cho f(x,y) và ta muốn khôi phục được ảnh gốc f*(x,y), bằng việc giải bài toán tối thiểu hoá sau,
ᵄᵄᵃ⋋(ᵅ∗)=ᵄᵅᵅᵅᵅᵅᵅᵄᵄ(ᵅ)+⋋∫|ᵅ∗(ᵆ,ᵆ)‒ᵅ(ᵆ,ᵆ)|2ᵅᵆᵅᵆ
(A.6) Trong đó ᵄᵄ(ᵅ∗) là biến thiên toàn cục của ᵅ∗ và ⋋ là số nhân Lagrange. Thông số ⋋ liên quan đến thống kê nhiễu và điều khiển độ của bộ lọc.
Nhiễu của phương pháp lọc TVF là,
ᵅ∗(ᵆ,ᵆ)‒ᵄᵄᵃ⋋(ᵅ∗)(ᵆ,ᵆ)=‒21⋋ᵅᵆᵅᵆ(ᵄᵄᵃ⋋(ᵅ∗)(ᵆ,ᵆ)
(A.7) Vậy từ (A.7) ta có được đặc trưng của lọc TVF cũng gần giống với lọc AF ở chức năng khôi phục tốt cho vùng cạnh thẳng, nhưng trở nên quá trơn (smoothing) ở vùng nền và vùng có cấu trúc, nếu giá trị ⋋ quá nhỏ.