Giả thiết thấu kính của camera đặt song song với mặt phẳng ảnh. Trong tập ảnh thu được sẽ có sự dịch chuyển nhỏ của các pixel giữa các frame ảnh. Một cách tổng quát mối liên hệ của ảnh ᵅᵃᵄᵅ so với ảnh đầu ᵅᵃᵄ1được thể hiện như một hàm ba biến, như được mô tả trong [15], độ dịch Δx, Δy và góc xoay θ,
ᵅᵃᵄᵅ(ᵆ)=ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ+∆ᵆ)) (3.8)
với ᵆ=[ᵆ
ᵆ], ∆ᵆ=[∆ᵆ
∆ᵆ], ᵄθ=[ᵅᵅᵆθ ‒ᵆᵅᵅθ ᵆᵅᵅθ ᵅᵅᵆθ] Biến đổi Fourier của ᵅᵃᵄᵅ là,
ᵃᵅ(ᵆ)= ∬ ᵆ ᵅᵃᵄᵅ(ᵆ)ᵅ‒ᵅ2πᵆᵄᵆᵅᵆ = ∬ ᵆ ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ+∆ᵆ))ᵅ‒ᵅ2πᵆᵄᵆᵅᵆ = ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆ∬ ᵆ ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ+∆ᵆ))ᵅ‒ᵅ2πᵆᵄᵆ'ᵅᵆ' (3.9) Với ᵆ = [ᵅ
ᵅ] là toạ độ tần số trong miền Fourier và hàm truyền kết hợp s' ss. Đặt ᵆ''=ᵄᵆ' ta được một dạng khác của hàm truyền Fourier,
ᵃᵅ(ᵆ)= ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆ∬ ᵆ' ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ'))ᵅ‒ᵅ2πᵆᵄᵆ'ᵅᵆ' = ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆ∬ ᵆ' ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ'))ᵅ‒ᵅ2πᵆ ᵄ(ᵄᵄ θᵄθ)ᵆ'ᵅᵆ' = ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆ∬ ᵆ' ᵅᵃᵄ1(ᵄθ(ᵆ'))ᵅ‒ᵅ2π(ᵄθᵆ)ᵄ(ᵄθᵆ') ᵅᵆ' W = ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆ∬ ᵆ' ᵅᵃᵄ1(ᵆ'')ᵅ‒ᵅ2π(ᵄθᵆ)ᵄᵆ'' ᵄ‒1θᵅᵆ'' = ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆᵄ‒1θᵃ1(ᵄθᵆ) (3.10) Nhận xét:
Từ pt (3.10) ta nhận thấy nếu chỉ tồn tại chuyển dịch giữa các frame thì việc tính toán đơn giản rất nhiều vì:
ᵃᵅ= ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆᵃ1(ᵆ) (3.11) Vậy góc lệch pha giữa F1(u) và F2(u) chính là độ dịch chuyển Δs.
Nếu chỉ tồn tại chuyển động xoay thì cũng rất khó để xác định chính xác góc xoay θ, vì đặc điểm của hàm Fourier rời rạc là được tính trên các thành phần tần số nguyên dương. Vậy không thể dùng một phép khai triển Fourier thông thường để xác định góc xoay.
Nhưng trên thực tế tồn tại đồng thời cả hai, sự dịch chuyển và góc xoay θ giữa các frame. Do đó sẽ vô cùng khó khăn để xác định đồng thời các thông số này.
Tuy nhiên, thực tế là camera thường được đặt song song với mặt phẳng ảnh và chuyển dịch giữa các frame kề cận tương đối nhỏ, trong phạm vị (-2o, 2o), để người xem dễ điều tiết mắt. Vì thế, ta có thể xem ᵄᵆ≈ᵆ và ᵃᵅ(ᵆ)≈ᵅᵅ2πᵆᵄ∆ᵆᵃ1(ᵆ).
Ngoài ra, tại những vùng ảnh có nhiều chi tiết và nhiễu, tần số tín hiệu hình ảnh cao, vượt quá khoảng tần số Nyquist (ᵆᵅᵄᵆ>ᵆᵆᵄᵅᵅᵅᵅᵅᵅ/2). Điều này gây ra sự chồng chập (aliasing) của phổ Fourier của tín hiệu được lấy mẫu. Vùng chồng chập tần số là ᵆᵆᵄᵅᵅᵅᵅᵅ‒ᵆᵅᵄᵆ<ᵆ<ᵆᵅᵄᵆ, như minh họa ở Hình 3.3. Do đó, nhiễu và chồng chập tần số ảnh hưởng đến việc giải pt (3.10) không chính xác.
Aliased signal Unaliased signal Aliased signal Unaliased signal F(w)
wmax
wsampling wmax- wsampling
w
Giải pháp thựchiệnviệcgiải bài toán xác nhận:
Để đơn giản hoá, trước tiên ta xem như frame ᵅᵃᵄᵅchỉ có chuyển động dịch so với ᵅᵃᵄ1. Ta xác định độ dịch chuyển, sau đó thực hiện bồi hoàn chuyển dịch rồi mới xác định góc xoay ảnh θ. Tiếp theo, ta lại thực hiện bồi hoàn chuyển động xoay, sau đó xác định lại độ dịch chuyển và góc xoay xem độ lệch giữa hai ảnh
ᵅᵃᵄ1 và ᵅᵃᵄᵅ (đã được bồi hoàn chuyển động) có đạt được một giá trị sai số hội tụ cho phép hay không. Nếu chưa đạt, vòng lặp trên lại tiếp tục.
Để khắc phục nhược điểm của nhiễu và sự chập phổ, gây ra sai số của phép ước lượng, các chuỗi ảnh phải được lọc Lowpass trong vùng phổ không chập. Việc này có thể giải quyết đơn giản bằng cách chỉ sử dụng các thành phần tần số thấp trong việc ước lượng độ dịch pha.