a. Hai hoạt động đơn tương đương
b. Hoạt động đơn và hoạt động tập thể tương đương
50
Ý nghĩa của phép toán AND cho các giá trị trạng thái của hoạt động được cho trong bảng 2-1 (hàm AND là đối xứng nên một số dạng biểu thức tương đương đã bị loại ra khỏi bảng này).
Bảng 2-1: Bảng giá trị cho hàm AND
A B A AND B
Khả thi Khả thi Khả thi
Khả thi Không khả thi Không khả thi
Khả thi Bất định Bất định
Không khả thi Không khả thi Không khả thi
Không khả thi Bất định Không khả thi
Bất định Bất định Bất định
2.1.3 Phụ thuộc khả thi
Trong phần này, khái niệm về sự phụ thuộc khả thi (feasible dependence) giữa các hoạt động sẽ được đưa ra. Khái niệm này chính là cơ sở cho quá trình lập kế hoạch.
Định nghĩa 2-7: Phụ thuộc khả thi: Cho hai hoạt động A và B. Ta nói B phụ thuộc khả thi vào A (hay A xác định khả thi B), nếu sự khả thi của B có thể bị ảnh hưởng từ sự khả thi của A. Sự ảnh hưởng này có hai mức độ và dẫn đến hai mức phụ thuộc như sau:
- Phụ thuộc hoàn toàn: với mức này thì nếu A khả thi thì B cũng khả thi. Ký hiệu của phụ thuộc hoàn toàn:
A → B;
- Phụ thuộc bộ phận (hay còn gọi là phụ thuộc không khả thi): với mức này thì nếu A khả thi thì B lại chưa chắc đã khả thi, nhưng nếu A không khả thi thì B cũng không khả thi. Ký hiệu của phụ thuộc bộ phận:
A ⇀ B;
Ví dụ 2-6: Xét hai hoạt động Sinh-viên-học(Sinh viên, Môn, Kết quả) (là hoạt động kiểu Atomic) và Học( , Môn, Kết quả) (là hoạt động kiểu AbstractS). Ta thấy nếu Sinh-viên-học
là khả thi, tức là tồn tại ít nhất một sinh viên s và một môn học m và một kết quả k, sao cho s học môn m có kết quả k. Như vậy, hoạt động Học cũng khả thi. Do đó Sinh-viên-học →
Học.
Ví dụ 2-7: Xét hai hoạt động Tìm-kiếm(Sinh viên, Thư viện, Tài liệu) và Học(Sinh viên, Tài liệu, Kiến thức). Hai hoạt động này có quan hệ là Objective(Tìm-kiếm) = Tool(Học) =
51
Tài liệu. Nên dễ thấy nếu như hoạt động Tìm-kiếm mà không khả thi, tức là sinh viên không tìm được tài liệu trên thư viện, thì hoạt động Học cũng không khả thi, vì sinh viên không có tài liệu để học. Do đó Tìm-kiếm ⇀ Học.
Ví dụ 2–8: Hoạt động Du-lịch-bộ-hành(S=Con người, T=Đi bộ, O=Vòng quanh thế giới) biểu diễn hành động một người muốn đi bộ vòng quanh thế giới. Hoạt động Du- lịch(S=Con người, O=Vòng quanh thế giới) biểu diễn hành động một người muốn đi du lịch vòng quanh thế giới nhưng chưa biết dùng phương tiện gì. Ta dễ dàng suy ra, nếu Du-lịch- bộ-hành là khả thi, tức là đã tồn tại một cá nhân có thể đi bộ vòng quanh thế giới, thì Du- lịch cũng khả thi, ít nhất là với phương tiện Đi bộ. Do đó, Du-lịch-bộ-hành(S=Con người, T=Đi bộ, O=Vòng quanh thế giới) → Du-lịch(S=Con người, O=Vòng quanh thế giới).
Các tính chất chung của phụ thuộc khả thi
Đây là các tính chất áp dụng cho cả hai loại phụ thuộc khả thi là phụ thuộc hoàn toàn và phụ thuộc bộ phận (hay phụ thuộc không khả thi). Do vậy, để trình bày được ngắn gọn, kí hiệu phụ thuộc khả thi chỉ dùng một loại là phụ thuộc hoàn toàn, nhưng được áp dụng cho cả hai loại phụ thuộc bộ phận.
- Tính phản xạ: với mọi hoạt động A thì ta có A → A.
Chứng minh: Dựa vào định nghĩa của cả hai loại phụ thuộc khả thi ở trên ta dễ dàng suy ra tính khả thi hoặc không khả thi của một hoạt động phụ thuộc vào chính nó.
- Tính bất đối xứng: với hai hoạt động A và B cho trước, nếu A → B, thì chưa chắc B → A.
Chứng minh: Tính chất này có thể được chứng minh thông qua một ví dụ về phụ thuộc khả thi là Atomic(S,T,O) → AbstractT(S,O), nhưng không thể chắc chắn được điều ngược lại là AbstractT(S,O) → Atomic(S,T,O) (xem thêm về một số dạng phụ thuộc khả thi ở phần sau).
- Tính bắc cầu: với ba hoạt động A, B, C. Nếu A → B và B → C thì A → C.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho hai trường hợp:
o Các phụ thuộc thuộc này là phụ thuộc hoàn toàn: khi đó, nếu A khả thi thì từ A → B suy ra B cũng khả thi. Sau đó từ B → C thì C cũng khả thi. Suy ra A → C;
o Các phụ thuộc là phụ thuộc bộ phận (phụ thuộc không khả thi): khi đó, nếu A không khả thi thì từ A ⇀ B suy ra B cũng không khả thi. Sau đó từ B ⇀ C thì C cũng không khả thi. Suy ra A ⇀ C.
Các tính chất riêng của phụ thuộc khả thi
Đây là các tính chất áp dụng riêng cho từng loại phụ thuộc khả thi, nên ký hiệu cũng dùng đúng cho từng loại phụ thuộc khả thi.
52
Chứng minh: Nếu Atomic(S, T, O) khả thi thì theo định nghĩa về khả thi, ∃ s ∈ S, t ∈
T và o ∈ O sao cho từ s và t có thể tạo ra o. Do đó hiển nhiên ta cũng có AbstractT(S, O) cũng khả thi vì ít nhất đã tồn tại T ∈ Atomic(S, T, O) mà Atomic(S, T, O) khả thi. 2. Atomic(S, T, O) → AbstractS (T, O);
3. AbstractT (S, O) → Abstract(O);
4. AbstractS (T, O) → Abstract(O);
Chứng minh: Chứng minh cho các dạng phụ thuộc 2, 3 và 4 tương tự như ở dạng 1. 5. Cho hai hoạt động A và B. Nếu A B (A và B là tương đương về chức năng) thì A
→ B và B → A;
Chứng minh: Do A và B là tương đương về chức năng, nên theo định nghĩa này chúng có chung đầu vào (S và T) và chung đầu ra (O). Do đó, hiển nhiên là nếu A khả thi thì B cũng khả thi và ngược lại.
6. Nếu C({A1, A2, ..., An}, R) là hoạt động tập thể chỉnh thì:
A1 ⇀C và An ⇀C;
Chứng minh: Do A1, An là các hoạt động con đóng vai trò lần lượt là đầu vào và đầu
ra của C, nên nếu một trong hai hoạt động này mà không khả thi thì C cũng không thể khả thi. Nhận xét : Thực ra tính chất này không chỉ đúng với A1 và An, mà có thể
mở rộng cho các hoạt động Ak khác (với 2 ≤ k ≤ (n - 1)) sao cho path(A1,Ak) hoặc
path(Ak, An) là đường dẫn duy nhất.
7. Cho C({A1, A2, ..., An}, R) là một hoạt động tập thể chỉnh. Khi đó một hoạt động đơn A(S, T, O) sao cho C → A.
Chứng minh: Ta chọn hoạt động A(S, T, O) sao cho subject(A1) = S, tool(A1) = T và
objective(An) = O. Vì C là hoạt động chỉnh, nên với cách chọn A như trên, ta sẽ có hai hoạt động có đầu vào và đầu ra giống nhau. Do đó, nếu C khả thi thì A cũng khả thi.
8. Cho hai hoạt động A1(S1, T1, O1) và A2(S2, T2, O2). Nếu quan hệ in-out(A1, A2) thì A1 ⇀ A2;
Chứng minh: Vì quan hệ in-out(A1, A2), tức là đầu vào của A2 cũng là đầu ra của A1, nên nếu A1 không khả thi thì cũng không tạo ra đầu ra của A1, tức là A2 cũng không khả thi.
9. Cho C({A1, A2, ..., An}, R) là một hoạt động tập thể chỉnh. C được gọi là hoạt động
hợp lệ (valid) nếu nó phụ thuộc khả thi vào các hoạt động con của nó, tức là: A1, A2, ..., An → C. Còn trái lại ta nói C là không hợp lệ. Với hoạt động tập thể không hợp lệ, thì mặc dù tất cả các hoạt động con của nó đã khả thi, nhưng vẫn chưa xác định được bản thân hoạt động đó có khả thi không. Như vậy, hoạt động tập thể này không
53
có ý nghĩa thực tiễn trong quá trình lập kế hoạch, nên sau này chúng ta chỉ quan tâm đến các hoạt động tập thể hợp lệ.
Một số hệ quả:
- Hệ quả 1: Một hoạt động tập thể là không khả thi nếu và chỉ nếu tồn tại ít nhất một
hoạt động con của nó không khả thi.
Chứng minh: tính chất này là được suy trực tiếp từ tính chất 6 và tính chất 9 của phụ thuộc khả thi. Nếu một hoạt động tập thể là không khả thi thì trong nó phải tồn tại ít nhất một hoạt động con không khả thi, vì nếu không, khi tất cả các hoạt động con của nó đều khả thi thì theo tính chất 9 hoạt động này phải khả thi, trái với giả thiết ban đầu. Trong trường hợp ngược lại, nếu hoạt động tập thể có chứa ít nhất một hoạt động con không khả thi thì theo tính chất 6, hoạt động này cũng không khả thi. Suy ra điều phải chứng minh.
- Hệ quả 2: Một hoạt động tập thể là khả thi nếu và chỉ nếu tất cả các hoạt động con
của nó đều khả thi.
Chứng minh: tính chất này cũng là được suy ra từ tính chất 6 và tính chất 9 của phụ thuộc khả thi. Nếu hoạt động tập thể là khả thi thì tất cả các hoạt động con của nó phải khả thi, vì trái lại, nếu tồn tại ít nhất một hoạt động con không khả thi thì theo tính chất 6 hoạt động tập thể này cũng không khả thi, trái với giả thiết ban đầu. Trong trường hợp ngược lại, nếu tất cả các hoạt động con của hoạt động tập thể là khả thi thì theo tính chất 9 hoạt động tập thể này cũng khả thi. Suy ra điều phải chứng minh.
- Hệ quả 3: Cho trước hai hoạt động A(S, T, O) và A’(S’, T’, O’). Nếu O = O’ và S
S’ và T T’ thì A → A’;
Chứng minh: Nếu A khả thi, thì theo định nghĩa khả thi, ∃ ∈ , ∃ ∈ , ∃ ∈ sao cho từ s và t có thể tạo ra o. Mà theo giả thiết O = O’ và S S’ và T T’, nên
∈ , ∈ , à ∈ ′, tức là A’ cũng khả thi. Nhận xét: ta cũng dễ thấy rằng tính chất này chính là sự khái quát cho các tính chất 1, 2, 3 và 4 ở trên.
2.1.4 Kế hoạch
Khái niệm cơ bản
Định nghĩa 2-8. Kế hoạch P, ký hiệu P(LA, F), là một cấu trúc gồm hai thành phần: LA = {A1, A2,...,An}: tập các hoạt động, trong đó có một hoạt động đóng vai trò là
hoạt động gốc, là hoạt động đầu tiên được tạo ra của kế hoạch và cũng bắt đầu từ hoạt động này, các hoạt động khác cũng lần lượt được sinh ra. Sau này ta quy ước chọn A1 làm hoạt động gốc;
F = {Ai → Aj | Ai, Aj LA}: tập các phụ thuộc khả thi (PTKT). Phụ thuộc khả thi sẽ đóng vai trò sản sinh ra các hoạt động mới. Từ hoạt động Aj sẽ sinh ra hoạt động Ai sao cho Ai → Aj; Tương tự như cấu trúc cây, ta gọi nút Aj là nút cha và nút Ai là nút con. Tuy nhiên, khác với cấu trúc cây, một nút con trong cấu trúc kế hoạch có thể có nhiều nút cha.
54
Chú ý: mặc dù ở tập F ta sử dụng ký hiệu → cho phụ thuộc khả thi hoàn toàn, nhưng ở đây là mang ý nghĩa phụ thuộc khả thi nói chung, tức là có thể là phụ thuộc khả thi hoàn toàn hoặc bộ phận. Nên ta gọi F là tập phụ thuộc khả thi (PTKT). Đồng thời sau này, trong trường hợp thông thường không cần có sự phân biệt rõ giữa hai loại phụ thuộc khả thi, ký hiệu này cũng sẽ được dùng để biểu diễn phụ thuộc khả thi nói chung.