2 Lý thuyết đường truyền
2.2.10 Tổn hao trên đường dây truyền sóng
Với tín hiệu ở tần số siêu cao lan truyền trên đường truyền sóng ở một khoảng cách lớn thì tổn hao trên đường dây trở nên rất đáng kể. Ngoài ra suy hao tín hiệu phụ thuộc vào tần số nên gây ra suy giảm biên độ và méo dạng tín hiệu. Việc tính toán chính xác tổn hao trên đường dây là rất phức tạp do có quá nhiều yếu tố ảnh hưởng đến điều kiện truyền sóng. Do vậy tổn hao thường được ước lượng với một số giả thiết nhất định.
Tổn hao trên đường truyền được phân làm hai loại là:tổn hao kim loạivàtổn hao điện môi.
Tổn hao kim loại - metal loss
Tổn hao kim loại là tổn hao sinh ra do điện trở của phần dẫn bằng kim loại trên đường dây. Tổn hao này được đánh giá thông qua điện trở tuyến tính R của đường dây, được coi gồm hai thành phần chính: điện trở tại tần số thấp và điện trở tại tần số cao.
Nhôm 3.816×107 Bạc 6.173×107
Đồng 5.813×107 Thiếc 7.000×106
Chì 4.560×106 Vàng 4.089×107
Điện trởRDC trong trường hợp này là hằng số, không phụ thuộc tần số tín hiệu.
Tần số cao: Khi tần số của tín hiệu lan truyền cao (chiều dài đường truyền lớn hơn hoặc xấp xỉ bước sóng), ngoài tổn hao cố định như ở tần số thấp, đường truyền còn có thêm tổn hao do hiệu ứng da (skin effect).
Hiệu ứng da xảy ra khi tần số tín hiệu tăng, dòng điện tín hiệu chảy qua tiết diện của dây dẫn không còn phân bố đều trên mặt phẳng tiết diện (mặt độ dòng điện không còn là một hằng số trên bề mặt tiết diện) mà có khuynh hướng tập trung tại vùng bề mặt chu vi của tiết diện dây dẫn và giảm dần về tâm của dây theo dạng hàm mũ âm). Tần số tín hiệu càng cao thì hiệu ứng da càng mạnh, có nghĩa là phần bề mặt của dây dẫn có mật độ dòng điện rất lớn trong khi ở bên trong dây có mật độ không đáng kể. Ta nói rằng dòng diện chỉ chảy qua dây dẫn trên bề mặt mà thôi. Điều này làm giảm tiết diện hiệu dụng của dây dẫn có khả năng tải tín hiệu, làm tăng điện trở đường dây và kết quả là gây tổn hao kim loại ở vùng tần số cao.
Hình 2.15 biểu diễn sự phân bố dòng điện trên tiết diện của dây dẫn tròn hoặc dải dẫn hình chữ nhật trong các đường truyền dải, vi dải, CPW· · · Để biểu diễn một cách định lượng hiệu ứng da, người ta lấy mức trung bình của mật độ dòng điện trên tiết diện và xác định khoảng cách
d tính từ bề mặt dây dẫn sao cho có thể coi là mật độ dòng điện chỉ phân bố đều trong vùng đó, còn vùng giữa có mật độ dòng điện bằng 0. Khoảng cáchd này được gọi là bề dày của da (skin depth).
Bề dày dad được tính bởi công thức
d=
r
2
µσω (2.137)
trong đó µlà hệ số từ thẩm tuyệt đối, thông thường µ = µ0 = 4π×10−7 [H/m]. σ- điện dẫn suất của dây dẫn, đơn vị [S.m].
Ta nhận thấy tần số ωcàng cao hoặc điện dẫn suất σcàng lớn thì bề dày da dcàng nhỏ. Điện trở tuyến tínhRcủa đường dây có giá trị tỷ lệ nghịch với tiết diện hiệu dụng của phần dẫn điện do hiệu ứng da ở tần số cao. Mặt khác, tiết diện hiệu dụng này tỷ lệ với bề dày da d
Hình 2.15:Mật độ dòng điện trên tiết diện (a) dây dẫn tròn (b) dải dẫn hình chữ nhậtmàd lại tỷ lệ nghịch với√ màd lại tỷ lệ nghịch với√
ω nên điện trở tuyến tính do hiệu ứng do sẽ tỷ lệ thuận với√
ω.
RAC ∼√ω (2.138)
Như vậy ở tần số cao, điện trởRsẽ là tổng của điện trở ở tần số thấpRDC theo (2.136) và điện trở ở tần số caoRAC
R =RDC+RAC (2.139)
Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của R theo tần sốω được vẽ trên Hình 2.16(a). Lưu ý rằng các trục tần số và trụcRđược chia theo thang logarit nên độ dốc của đường cong là 1/2.
Hình 2.16:Quan hệ giữa (a) R và tần số (b) Suy hao và tần số
Sự biến thiên của hệ số suy hao α theo tần số cũng được biểu diễn trên Hình 2.16(b). Ta nhận thấyαcũng tăng theo tần số nhất là ở vùng tần số cao. Đường cong cũng có độ dốc 1/2 vì
Ví dụ 2.3. Tính bề dày da của nhôm, đồng, vàng và bạc tại tần số 10 GHz.
Giải:
Điện dẫn suất (conductivity) của các kim loại này được cho trong Bảng 2.1. Bề dày da được cho bởi biểu thức (2.137) như sau
d= r 2 ωµσ = r 1 πf µ0σ = s 1 π(1010)(4π×10−7) r 1 σ = 5.03×10−3 r 1 σ
Đối với Nhôm:
d= 5.03×10−3 r 1 3.816×107 = 8.14×10−7m Đối với Đồng: d= 5.03×10−3 r 1 5.813×107 = 6.60×10−7m Đối với Vàng: d= 5.03×10−3 r 1 4.089×107 = 7.86×10−7m Đối với Bạc: d= 5.03×10−3 r 1 6.173×107 = 6.40×10−7m
Kết quả này chỉ ra rằng phần lớn dòng điện chảy trong một chất dẫn điện tốt chỉ diễn ra trong vùng cực mỏng gần bề mặt của vật dẫn
Tổn hao điện môi - Dielectric loss
Trong điều kiện lý tưởng, lớp điện môi phân cách giữa hai lớp dây dẫn của đường truyền sóng phải là cách điện hoàn toàn (không có dòng điện qua lớp điện môi, tức điện dẫn của lớp điện môi G=0).
Tuy nhiên, trong thực tế các chất điện môi được sử dụng nhìn chung có điện dẫn khác không. Điều này gây thêm một dạng tổn hao nữa mà ta đã có đề cập trong các phần trước gọi là tổn hao điện môi. Tổn hao này được đánh giá thông qua điện dẫn G.
Góc tổn haoδcủa chất điện môi ở tần số ωđược định nghĩa bởi
δ = tan−1 G
ωC (2.140)
với G và C lần lượt là điện dẫn và điện dung của đường dây. Ta viết lại
G=ωC.tanδ (2.141)
Vậy điện dẫn tỷ lệ với điện dung của lớp điện môi theo hệ sốtanδ.
Để biểu diễn về mặt toán học quan hệ trên, ta định nghĩa một hằng số điện môi tương đối là một số phức.
r=0r−jr” (2.142)
trong đó:0r liên quan đến điện dung C.
Vì thành phần dẫn nạp Y trong Hình 2.2 gồm điện dẫn G mắc song song với điện nạpωC
Y =G+jωC (2.143)
nên ta nhận thấy thành phầnr”liên quan đến điện dẫn G.
Từ quan hệ (2.142) ta suy ratanδ =r”/0r.
Vì G (hoặc r”) xác định dòng điện dẫn, C (hoặc0r) xác định dòng điện dịch qua điện môi nên biểu đồ vector dòng điện tổng và góc tổn haoδđược trình bày trên Hình 2.17.
Hình 2.17:Góc tổn haoδ
Ngoài các tổn hao kim loại và tổn hao điện môi kể trên, đường dây truyền sóng còn chịu các dạng tổn hao khác như tổn hao do bức xạ điện từ (ở tần số rất cao), tổn hao do cấu trúc không đồng nhất của đường truyền (các điểm gián đoạn, chỗ hàn nối, vv...).
truyền. Chúng ta sẽ xét mối tương quan này trong các trường hợp cụ thể. Theo (2.14), điện áp tại tọa độzbất kỳ có thể được viết
V(z) =V0+.e−γz+V0−eγz (2.144)
trong đó:
V0+.e−γz đại diện cho sóng tới tại z, cònV0−.eγz đại diện cho sóng phản xạ tạiz.
Ta định nghĩa: Hệ số phản xạ điện ápΓv(z)tại điểmzlà tỷ số giữa sóng điện áp phản xạ và sóng điện áp tới tại điểmzđó
Γv(z) = V − 0 .eγz V0+.e−γz = V − 0 V0+e 2γz (2.145)
Trong biểu thức trên,V0−vàV0+là các hằng số phụ thuộc vào điều kiện nguồn và tải, hệ số phản xạ điện ápΓv(z)sẽ biến thiên theo tọa độzbởi hệ sốe2γz.
Tại tải (z=0), hệ số phản xạ điện áp là
Γ = Γv(0) = Γ = V
−
0
V0+ (2.146)
Tại điểm tọa độzbất kỳ, hệ số phản xạ điện áp có thể được viết là
Γv(z) = Γv(0).e2γz (2.147)
Như vậy ta có thể suy raΓv(z)tại điểmzbất kỳ nào trên đường dây khi biết trướcΓv(0)tại tải.
Trong trường hợp tổng quát, đường truyền có tổn hao thì γ sẽ là một số phức, tức (γ =
α+jβ), do đó Γv(z)cũng là một số phức. Vì vậy, các hệ số phản xạ điện áp này có thể được biểu diễn bởi các điểm trên mặt phẳng phứcΓ = Γre+jΓim. Viết lại (2.147)
Γv(z =−`) = Γv(0).e−2α`.e−j2β` (2.148)
trong đó: hệ số e−2α` là số thực phụ thuộc vào hệ số suy hao α và càng giảm khi ` tăng theo chiều âm củaz(lùi xa khỏi tải đi về phía nguồn).
Hệ số e−j2β` là số phức có module đơn vị và góc pha−2β` tỷ lệ với hệ số pha β và càng giảm âm khizdi chuyển về phía nguồn (`tăng).
Từ những nhận xét trên về biểu thức (2.147) ta có thể rút ra:Khi di chuyển trên đường truyền sóng từ tải về phía nguồn một khoảng cách `, hệ số phản xạ điện ápΓv sẽ di chuyển trên một quỹ tích hình xoáy trôn ốc trong mặt phẳng phứcΓ(Hình 2.18). Quỹ tích xuất phát từ điểm hệ
số phản xạ tại tảiΓv(0)và xoay theo chiều kim đồng hồ (hướng về nguồn) một góc2β` với suy giảm module của vectorΓv theo hệ sốe−2α`.
Hình 2.18:Biểu diễn sự biến thiên của hệ số phản xạΓtheoαvà`
Đặc biệt nếu đường truyền sóng không tổn hao (α= 0) thì từ (2.148) ta có
Γv(z) = Γv(0).e−j2β` (2.149) Khi này, quỹ tích củaΓv là một vòng tròn tâm tại gốc tọa độ và đi qua điểmΓv(0). Hệ số phản xạ điện ápΓv(z)tại điểm zbất kỳ chỉ là sự quay pha của hệ số phản xạ điện áp tại tảiΓv(0). Do đó
|Γv(z)|=|Γv(0)| (2.150)
Theo (2.148), góc xoay pha khi di chuyển khoảng cách`là2β`. Theo (2.17), ta có thể biểu diễn góc xoay pha như sau
2β` = 22π
λ `= 2π `
λ/2 (2.151)
Nói cách khác, góc pha của hệ số phản xạ điện ápΓv sẽ xoay một lượng2π(hay quay một vòng tròn quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phứcΓkhi di chuyển một khoảng `bằng một nửa bước sóng (λ/2) của tín hiệu. Với khoảng cách `bất kỳ thì góc pha sẽ xoay quanh tọa độ một lượng tỷ lệ với`theo (2.151).
Các nhận xét trên về quỹ tích của điểm phức Γv trong mặt phẳng hệ số phản xạ điện áp sẽ được áp dụng để xây dựng đồ thị Smith trong Chương 4.
là tỷ số giữa sóng dòng điện phản xạ và sóng dòng điện tới tại điểmzđó. Mặt khác, theo (2.21) ta có Γi(z) = −V0− Z0 V0+ Z0 e2γz =−V − 0 V0+e 2γz (2.154) So sánh (2.154) với (2.145) ta rút ra Γi(z) =−Γv(z) (2.155)
Như vậy, hệ số phản xạ dòng điện lệch pha hệ số phản xạ điện áp1800.
Trong thực tế, hệ số phản xạ điện ápΓv thường được sử dụng như hệ số phản xạΓcủa đường truyền. Do đó khi nói đến hệ số phản xạ là ta ngầm hiểu đó là hệ số phản xạ điện áp.
Γ(z) = Γv(z) (2.156)
Bây giờ ta cần xác định hệ số phản xạΓtrên đường truyền sóng tại một điểmz bất kỳ. Tuy nhiên, trước hết ta hãy tìm hệ số phản xạ tại tải, tứcΓ(0).
Đường truyền không tổn hao có tải kết cuối
Xét một đường truyền sóng không tổn hao có trở kháng đặc tínhZ0, hằng số truyền lanβ, chiều dài`; đầu cuối được kết cuối bởi tảiZL như mô tả trên Hình 2.19.
Giả thiết một sóng tới có dạng V0+e−jβz được phát ra từ một nguồn tại z <0. Chúng ta đã biết rằng tỷ số giữa điện áp và dòng điện đối với một sóng truyền lan như vậy chính là Z0-trở kháng đặc tính. Nhưng khi đường dây được kết cuối bởi một tải bất kỳZL 6=Z0 thì tỷ số giữa điện áp và dòng điện tại tải phải bằng ZL. Vì vậy, một sóng phản xạ phải được kích thích với một biên độ phù hợp để thỏa mãn điều kiện này. Điện áp tổng trên đường dây khi đó có thể được viết là tổng của sóng tới và sóng phản xạ.
V(z) =V0+e−jβz +V0−ejβz (2.157a) Tương tự, dòng điện tổng trên đường dây được mô tả bởi
I(z) =I0+e−jβz+I0−ejβz = V + 0 Z0 e−jβz− V − 0 Z0 ejβz (2.157b)
Hình 2.19: Đường truyền được kết cuối trở kháng tảiZL
Tổng điện áp trên tảiV(0)và dòng điện qua tảiI(0)quan hệ với nhau theo định luật Ohm.
ZL= V(0) I(0) (2.158) Từ (2.157) và (2.158) ta có ZL=Z0V + 0 +V0− V0+−V0− (2.159)
Giải choV0−cho
V0− = ZL−Z0 ZL+Z0V
+
0 (2.160)
Biên độ của sóng phản xạ được chuẩn hóa theo biên độ của sóng điện áp được biết đến với tên gọi "Hệ số phản xạ" và được xác định như sau:
Γ(0) = V − 0 V0+ = ZL−Z0 ZL+Z0 (2.161) Nhận xét:
• Hệ phương trình (2.157) cho thấy điện áp và dòng điện trên đường dây là sự xếp chồng của một sóng tới và sóng phản xạ; các sóng như vậy gọi là sóng đứng.
• Biểu thức (2.159) và (2.161) xác định một song ánh giữa hệ số phản xạ trên tải Γ(0) và trở kháng tải ZL. Nghĩa là một giá trị của ZL tương ứng với một và chỉ một giá trị duy nhất củaΓ(0). Tính chất này được sử dụng để định nghĩa đồ thị Smith trong Chương 3. Một cách tổng quát, ZL và Z0 đều là số phức nên Γ(0) cũng là một số phức Γ(0) =
|Γ(0)|.∠arg Γ(0)
Chúng ta sẽ xét một số trường hợp đặc biệt của tải ZL và hệ số phản xạ Γ(0) từ (2.161). Trở kháng vào của một đường truyền ở vị trí bất kỳ sẽ được xem xét trong mục 2.4.
1. KhiZL=Z0
Từ (2.161) ta thấy chỉ khi Γ=0 thì không có sóng phản xạ. Để đạt được Γ = 0 thì trở kháng tảiZLphải bằng trở kháng đặc tínhZ0 của đường truyền. Một tải như vậy được cho là được phối hợp trở kháng với đường truyền do không có sự phản xạ của sóng tới.
Chú ý: KhiΓ =−1, sóng điện áp tới và sóng điện áp phản xạ có biên độ bằng nhau nhưng ngược pha nhau, dẫn tới sóng điện áp tổng bằng 0: V(0)=0. Ngược lại, hệ số phản xạ dòng điện tại tải làΓi = −Γv = 1nên sóng dòng điện tới và sóng dòng điện phản xạ có biên độ bằng nhau và cùng pha với nhau tại tải. Điều này làm dòng điện chảy qua tải nối tắt tăng gấp đôi so với dòng điện tới.
3. KhiZL→ ∞(tải hở mạch). Hệ số phản xạΓ = +1
Hệ số phản xạ trên tải bằng +1, toàn bộ công suất của sóng tới tải hở mạch cũng đều bị phản xạ ngược về nguồn (do tải hở mạch,IL= 0 nên tải cũng không tiêu thụ công suất). Tương tự như trường hợp tải nối tắt, hệ số phản xạΓ = +1sẽ làm cho điện áp trên tải VL
tăng gấp đôi so với điện áp sóng tới và dòng điện trên tảiIL=0 do sóng dòng điện tới và sóng dòng điện phản xạ triệt tiêu nhau.
4. KhiZL=jXL(tải thuần kháng)
Khi tải là thuần kháng (tụ điện CL hay điện cảm LL, hoặc một tổ hợp giữa chúng) thì hệ số phản xạ tại tải là
ΓL= jXL−Z0 jXL+Z0
(2.162) Đặc biệt nếu đường dây không tổn hao hoặc tổn hao thấp (thường xảy ra trong thực tế) có thể coi trở kháng đặc tínhZ0 của đường dây là điện trở đặc tínhR0 (thực), do đó (2.162) trở thành
ΓL = jXL−R0
jXL+R0 (2.163)
khi đó
|ΓL|= 1 (2.164)
Vậy, toàn bộ công suất của sóng tới cũng đều bị phản xạ ngược trở lại do tải thuần kháng không tiêu thụ công suất.
Các trường hợp tải nối tắt (ZL = 0), tải hở mạch (ZL → ∞) và tải thuần kháng (ZL =
jXL) đều phản xạ toàn bộ công suất của sóng về phía nguồn, nên có thể gây quá công suất hoặc quá áp, quá dòng tại nguồn và gây hư hỏng nguồn tín hiệu nếu công suất lớn. 5. KhiZL=RL+jXL(tải bất kỳ)
Với đường dây không tổn hao hoặc tổn hao thấp,Z0 =R0, biểu thức (2.161) trở thành
Γ(0) = jXL+ (RL−R0)
Do đó
|RL−R0| ≤RL+R0 (2.166)
và ta suy ra từ (2.165)
|Γ(0)| ≤1 (2.167)
Vậy với tải bất kỳ, hệ số phản xạ trên tảiΓL luôn có module nhỏ hơn hay bằng 1. Điều này thể hiện rằng công suất sóng phản xạ luôn nhỏ hơn công suất sóng tới.
2.4 Các loại suy hao, sóng đứng và phương trình trở kháng
đường truyền
2.4.1 Suy hao phản hồi - Return Loss
Với (2.146) ta có thể viết lại (2.157) như sau:
V(z) =V0+[e−jβz + Γejβz] (2.168a) I(z) = V + 0 Z0 [e−jβz −Γejβz] (2.168b)
Bây giờ xét công suất trung bình chảy dọc theo đường dây tại điểmz:
Pav = 1 2<e[V(z)I(z)∗] = 1 2 |V0+|2 Z0 <e{1−Γ∗e−j2βz+ Γej2βz− |Γ|2} (2.169)
ở đây (2.168) đã được sử dụng. Hai số hạng ở giữa trong dấu ngoặc có dạngA−A∗ = 2jIm(A)
và là thuần ảo. Điều này dẫn tới
Pav = 1 2
|V0+|2
Z0 (1− |Γ|2), (2.170)
Biểu thức này cho thấy rằng công suất trung bình là hằng số tại bất kỳ điểm nào trên đường