2 Lý thuyết đường truyền
2.5Các đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng
Trong phần này chúng ta sẽ xét đến các đường dây truyền sóng có chiều dài là một bội số nguyên lần của một phần tư bước sóng(` = kλ/4). Như trên đã thảo luận, khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của sóng đứng cách nhau một khoảng làλ/4 nên nếu tải là một ngắn mạch thì tại một điểmzcách tải kλ/4sẽ là một hở mạch và ngược lại. Ngoài ra, nếu tải là bất kỳ thì ta có thể tìm được trở kháng vào của đường truyền tại một điểmzbất kỳ theo (2.185). Chúng ta cũng giả thiết đường dây là không tổn hao (α = 0, γ =jβ, Z1 ≡R1) nhằm đơn giản hóa việc tính toán.
Hình 2.27:Bộ chuyển đổi trở kháng một phần tư bước sóng β` = 2π λ λ 4 = π 2 Theo (2.185) ta có Zin = Z 2 1 ZL = Z12 RL (2.193)
Ta nhận thấy rằng trở kháng tảiZLtỷ lệ nghịch với trở kháng vào Zin.
Nhận xét:
• Nếu tải hở mạch (ZL → ∞) thì Zin = 0, tương đương với một ngắn mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng này tương tự như trở kháng của một mạch LC nối tiếp tại tần số cộng hưởngω0 = 1/√
LC, có trở kháng triệt tiêu, còn tại các tần số khác (bước sóng khác) trở kháng sẽ khác không. Vì vậy, đường dâyλ/4tải hở mạch được gọi là đường dây cộng hưởng.
• Nếu tải ngắn mạch (ZL= 0) thì Zin → ∞, tương đương một hở mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng vào Zin lúc này tương đương như trở kháng của một mạch LC song song tại tần số cộng hưởng ω0 = 1/√
LC, có trở kháng vô cùng lớn, còn tại các tần số khác (bước sóng khác), trở khángZin sẽ hữu hạn. Vì vậy, đường dâyλ/4tải ngắn mạch được gọi là đường dây phản cộng hưởng (anti-resonance).
• Đặc biệt nếu ZL ≡ RL thì Zin = Rin. Lúc này nếu RL > R0 thì Rin < R0 ta có bụng điện áp tại tải và nút điện áp tại ngõ vào. Ngược lại ta có nút điện áp tại tải và bụng điện áp tại ngõ vào.
Do các đặc tính trên mà một đường dây cộng hưởng hoặc phản cộng hưởng có thể được dùng trong các mạch ghép chọn lọc tần số, đường dây chêm phối hợp trở kháng hoặc đường dây trong mạch cấp nguồn cho các linh kiện tích cực, trong mạch lọc, mạch khuếch đại, mạch ghép định hướng, mạch chia công suất vv· · · mà chúng ta sẽ có dịp đề cập trong phần mạch siêu cao tần.
Một ứng dụng quan trọng của đường dây λ/4 là dùng làm mạch biến đổi trở kháng. Một đường truyền có trở kháng đặc tínhZ1có chức năng biến đổi điện trở tảiRLthành một trở kháng
Zin tại đầu vào đường dây. Do đó chúng có thể được dùng để phối hợp một tải thực RL bất kỳ với một đường dây có trở khángZ0 =Zin, với điều kiện trở kháng đặc tính của đường dâyλ/4
là
Z1 =pZL.Z0 (2.194)
Khi đó sẽ không có sóng đứng trên đường dây cấp tín hiệu (tức SWR=1) mặc dù sẽ có sóng đứng trên đoạn dây phối hợpλ/4. Ngoài ra ta cần chú ý rằng do tính chất tuần hoàn chu kỳλ/2
của trở kháng vào của các đường dây không tổn hao nên các đặc tính trên của đường dâyλ/4
cũng đúng cho các đường dây có chiều dài là một bội số lẻ lần ((2k+ 1)λ/4) của độ dàiλ/4. Tuy nhiên phối hợp hoàn hảo chỉ đạt được ở một tần số và bất phối hợp sẽ xảy ra ở các tần số khác.
Điểm cần lưu ý ở đây là phương pháp phối hợp này chỉ áp dụng cho trở kháng tải thực mặc dù trở kháng tải phức dễ dàng có thể biến thành thực tại một tần số nào đó bằng việc chuyển đổi thông qua một đường dây độ dài thích hợp.
2.5.2 Đường truyền nửa bước sóng
Đường truyền nửa bước sóng có chiều dài`=λ/2. Do đó
β`= 2π
λ λ
2 =π (2.195)
Từ (2.185) ta suy raZin =ZL
Điều này có nghĩa là trở kháng đầu vào đường dây nửa bước sóng luôn bằng trở kháng tải ở cuối đường dây.
Nếu đầu cuối tải là một ngắn mạch (ZL= 0) thì trở kháng vào Zincũng triệt tiêu (biểu hiện điểm nút điện áp), tương đương trở kháng vào của mạch cộng hưởng LC nối tiếp.
Nếu đầu cuối là tải là một hở mạch (ZL → ∞), trở kháng vào Zin lớn vô cùng (điểm bụng điện áp), tương đương với trở kháng mạch phản cộng hưởng hay LC song song.
Các tính chất trên của đường truyềnλ/2cũng đúng với các đường truyền có chiều dàikλ/2
2.5.3 Trở kháng đường truyền khi tần số thay đổi
Các nhận xét về đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng ở trên chỉ đúng với một tần số cơ bản (ứng với bước sóng λ) hoặc các hài tần của nó. Khi tần số thay đổi, trở kháng vào Zin
Đồ thị Smith
3.1 Cơ sở của đồ thị Smith
Trong kỹ thuật siêu cao tần, các bài toán phân tích và thiết kế các mạch điện hoạt động ở tần số siêu cao thuờng dẫn tới việc giải các hệ phương trình rất phức tạp. Điều này gây nhiều khó khăn cho người thiết kế, nhất là khi cần có ngay một lời giải cho các vấn đề kỹ thuật trong một khoảng thời gian sớm nhất.
Để đơn giản hóa việc tính toán, phép giải bằng đồ thị tỏ ra khá hiệu quả và nhanh chóng. Mặc dù kết quả có thể chưa đạt độ chính xác cao nhưng phép giải bằng đồ thị không những đơn giản mà còn giúp người thiết kế thực hiện các phép tính bằng những động tác biến đổi rất tượng hình, dễ hiểu.
Theo xu hướng đó, một số kiểu đồ thị trở kháng được hình thành nhằm giúp giải quyết việc phân tích mạch điện siêu cao tần từ kết cấu đơn giản như đường dây truyền sóng đến các mạch điện phức tạp hơn như mạch khuếch đại siêu cao tần, mạch phối hợp trở kháng, mạch dao động siêu cao tần vv... Tuy nhiên kiểu đồ thị được biết đến nhiều nhất và được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực vô tuyến và siêu cao tần là dạng đồ thị hệ số phản xạ - trở kháng đường truyềnđược xây dựng bởi Phillip H. Smith tại Bell Telephone Laboratories vào năm 1939 và được gọi là đồ thị Smith (Hình 3.1). Bạn đọc có thể nghĩ rằng ngày nay với sự ra đời của các máy tính có khả năng xử lý lớn, cách giải bằng đồ thị không còn chỗ đứng trong kỹ thuật hiện đại. Tuy nhiên đồ thị Smith còn có ý nghĩa hơn cả một kỹ thuật đồ họa. Bên cạnh việc là một phần không thể tách rời khỏi phần mềm thiết kế CAD và thiết bị đo hiện nay, đồ thị Smith tạo ra một công cụ hữu ích cho việc minh họa bằng hình ảnh các hiện tượng trên đường truyền, và cũng rất quan trọng trong đào tạo ngành kỹ thuật cao tần. Một kỹ sư siêu cao tần có thể phát triển trực giác của mình về đường truyền và các vấn đề phối hợp trở kháng bằng việc học cách tư duy và hiểu sâu sắc đồ thị Smith. Khi mới nhìn vào đồ thị Smith ở Hình 3.1 có thể thấy rất khó hiểu nhưng chìa khóa để dễ dàng hiểu được nó là ta nhận thức rằng đó là đồ thị tọa độ cực biểu diễn hệ số phản xạ điện ápΓ. Ta hãy biểu diễn hệ số phản xạ có độ lớn và pha theo dạngΓ =|Γ|ejθ. Khi đó độ lớn
|Γ|được vẽ với bán kính (|Γ| ≤1) từ tâm của đồ thị và góc θ (−1800 ≤ θ ≤ 1800) được đo từ đầu mút phải của đường kính nằm ngang. Bất kỳ một hệ số phản xạ nào có độ lớn|Γ| ≤ 1đều có thể được vẽ thành một điểm duy nhất trên đồ thị Smith.
Sự tiện dụng thực sự của đồ thị Smith là ở chỗ nó có thể được sử dụng để chuyển đổi các
Hình 3.1:Đồ thị Smith
hệ số phản xạ sang trở kháng chuẩn hóa (hay dẫn nạp chuẩn hóa) và ngược lại nhờ sử dụng các đường tròn trở kháng (hay dẫn nạp) in trên đồ thị. Khi làm việc với trở kháng trên đồ thị Smith, các đại lượng chuẩn hóa được sử dụng và chúng ta sẽ ký hiệu bằng chữ thường. Hằng số chuẩn hóa thường là trở kháng đặc tính của đường truyền sóng.
Một cách tổng quát đồ thị Smith được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa hệ số phản xạ
Γ(z)và trở khángZ(z) tại một điểmz bất kỳ nào đó trên đường dây truyền sóng đã được xây dựng trong Chương 2 và được nhắc lại ở đây như sau:
Trở kháng đường dây tại điểmz
Z(z) = Z0
1 + Γ(z)
1−Γ(z) (3.1)
tạiz và ta viết lại mối quan hệ giữa hai đại lượng này như sau:
Γ = z−1
z+ 1 ⇔ z= 1 + Γ
1−Γ (3.4)
Quan hệ này đại diện cho ánh xạ giữa mặt phẳng trở kháng phức z và mặt phẳng hệ số phản xạ phứcΓ, như chỉ ra trên Hình 3.2.
Hình 3.2:ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳngΓ
Một trở kháng phức z = r+jx với điện trở dương (r > 0) được ánh xạ vào một điểmΓ
nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳngΓ, tức là thỏa mãn |Γ| < 1. Một đường dây thuần trở z = r(một đường thẳng đứng trong mặt phẳng z Hình 3.3) được ánh xạ vào một vòng tròn trên mặt phẳng Γ và nằm hoàn toàn trong vòng tròn đơn vị nếu r > 0. Tương tự, một đường dây thuần kháng z=jx(một đường nằm ngang trong mặt phẳng z - Hình 3.4) được ánh xạ vào một vòng tròn trên mặt phẳngΓ(một phần đường tròn này nằm trong vòng tròn đơn vị). Đồ thị Smith là một minh họa bằng đồ thị mặt phẳngΓ với một lưới gồm nhiều đường cong các vòng tròn điện trở và điện kháng có giá trị hằng nằm trong vòng tròn đơn vị.
Bất kỳ một điểm hệ số phản xạ Γ nào rơi vào giao điểm của một vòng tròn điện trở và một vòng tròn điện kháng (r, x) thì giá trị trở kháng tương ứng có thể được đọc trực tiếp thành z = r+jx. Trái lại, khi cho z = r+jx và tìm giao điểm của các đường tròn (r, x) thì điểm phứcΓcó thể được định vị và giá trị của nó được đọc từ các tọa độ cực hoặc tọa độ đề các.
Hình 3.3:Ánh xạrgiữa mặt phẳng z và mặt phẳngΓ
3.2 Các đồ thị vòng tròn
Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách xây dựng các đồ thị vòng tròn đã đề cập ở trên từ các biểu thức quan hệ giữa z vàΓ. Trước tiên chúng ta hãy tìm biểu diễn toán học của các vòng tròn nói chung có tâm C, bán kính R trong mặt phẳng phứcΓnhư trong Hình 3.5. ở đây tọa độ của C, Γlà số phức còn bán kính R là số thực. Ta viết biểu thức véc tơ sau:
−→
CΓ =−→
OΓ−−→OC (3.5)
ta có thể viết dưới dạng module bình phương như sau
|−→CΓ|2 =|−→OΓ−−→OC|2 (3.6) Trong đó|−→CΓ| chính là bán kính của đường tròn, còn−→
OΓvà−→
OC là các số phứcΓvà C. Ta có thể viết lại (3.6) như sau:
R2 =|Γ−C|2 = (Γ−C)(Γ∗−C∗) (3.7) (3.7) còn có thể viết lại thành
|Γ|2−C∗Γ−CΓ∗ =R2− |C|2 (3.8) Như vậy một vòng tròn tâm C bán kinh R trong mặt phẳng phứcΓcó thể được biểu diễn về mặt toán học theo biểu thức (3.8).
Bây giờ dựa trên biểu thức tổng quát (3.8) chúng ta đi tìm phương trình biểu diễn các vòng tròn điện trở và điện kháng trên đồ thị Smith.
Để xác định tâm và bán kính của các đường tròn điện trở và điện kháng chúng ta sử dụng kết quả rằng một đường tròn tâmC bán kínhR trên mặt phẳng Γcó hai cách biểu diễn tương ứng sau:
Hình 3.4:Ánh xạxgiữa mặt phẳng z và mặt phẳngΓ
Hình 3.5:Biểu diễn vòng tròn trong mặt phẳng phứcΓ
Đặt z=r+jxtrong phương trình (3.3) và tách riêng các phần thực và phần ảo chúng ta có thể biểu diễnrvàxtheoΓnhư sau:
r =Re z= 1− |Γ|2
|1−Γ|2, x=Im z= j(Γ
∗−Γ)
|1−Γ|2 (3.10)
(Lưu ý: kết quả trên là nhờ sử dụng phép biến đổi|Γ|2 = Γr2+ Γi2 và|1−Γ|2 = (1−Γr)2+ Γi2
vàj(Γ∗−Γ) = 2Γi vớiΓ = Γr+jΓi; ).
Đặc biệt, biểu thức cho phần điện trở ngụ ý rằng điều kiện r >0tương ứng với|Γ|<1. Các đường trònr, xđạt được bằng cách biểu diễn phương trình (3.10) theo dạng (3.9). Chúng ta có
và sắp xếp lại các số hạng: |Γ|2− r r+ 1Γ− r 1 +rΓ ∗ = 1−r 1 +r ⇒ Γ− r 1 +r 2 = 1−r 1 +r+ r2 (1 +r)2 = 1 1 +r 2 (3.11) Tương tự, chúng ta có x|Γ−1|2 =j(Γ∗ −Γ) ⇒ x(|Γ|2 −Γ−Γ∗+ 1) =j(Γ∗−Γ) có thể được sắp xếp lại thành: |Γ|2− 1− j x Γ− 1 + j x Γ∗ =−1 ⇒ Γ− 1 + j x 2 =−1 + 1 + 1 x2 = 1 x 2 (3.12) Để tổng kết lại các đường tròn đẳng điện trở và đẳng điện kháng là:
Γ− r 1 +r = 1 1 +r (các đường tròn điện trở) (3.13) Γ− 1 + j x = 1 |x| (các đường tròn điện kháng) (3.14)
hay ta có thể viết lại các phương trình (3.11) và (3.12) dưới dạng phương trình đường tròn quen thuộc trong chương trình toán phổ thông như sau:
Γr− r 1 +r 2 + Γi2 = 1 1 +r 2 (3.15) và (Γr−1)2 + Γi− 1 x 2 = 1 x 2 (3.16) Vậy mỗi vòng tròn đẳngr là một vòng tròn trong mặt phẳng phứcΓcó
• Tâm tại r 1 +r,0 • Bán kính 1 1 +r
(ở đây ta luôn giả thiếtr ≥0)
Hình 3.6 biểu diễn các đường tròn đẳngr với các giá trị rkhác nhau. Thực tếr của đường dây luôn dương hoặc bằng 0 nên ở đây ta chỉ xét họ các vòng tròn đẳngr với0≤r <∞.
kháng đường dây có phần thực R đúng bằng trở kháng chuẩn hóaZ0.
• Khir → ∞, đường tròn tươngứng có tâm tại (1,0) bán kính 0. Đường tròn đẳng r → ∞
biến thành một điểm trong mặt phẳng phứcΓnằm tại tọa độ (1,0) nghĩa là tạiΓ=+1. Đây là điểm tương ứng với trở kháng là một hở mạch.
Tâm của các đường tròn điện trở nằm trên một nửa dương của trục thực trên mặt phẳng Γ
và nằm trong khoảng 0 ≤ Γ ≤ 1. Khi r = 0, đường tròn điện trở là cả vòng tròn tâm nằm tại
Γ = 0. Khir tăng, bán kính trở nên nhỏ dần và tâm đường tròn này di chuyển về phía Γ = 1. Tâm các đường tròn điện kháng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tạiΓ = 1.
Hình 3.6:Các vòng tròn đẳng rtrong mặt phẳng phứcΓ
Bây giờ, cũng tương tự như các vòng tròn đẳng r, các vòng tròn đẳng x có phương trình (3.16) được vẽ trên Hình 3.7 với các giá trị |x| = 0.5; 1; 2. Lưu ý rằng trong khi giá trị của r
luôn dương (r≥0) thìxlà giá trị điện kháng và có thể âm hoặc dương. Giá trịdươngtương ứng với thành phần cảm kháng cònâmtương ứng với thành phần dung kháng. Vì vậy trong phương trình trên giá trị bán kính lấy theo giá trị tuyệt đối củax. Phương trình (3.16) cho thấy khixlà một hằng số nó sẽ trở thành một phương trình đường tròn có • Tâm tại: 1,1 x • Bán kính 1/|x|
biểu diễn quan hệ giữaΓr vàΓi.
Ta nhận thấy rằng tâm của các các vòng tròn đẳng x luôn nằm trên một đường thẳng tiếp tuyến với vòng tròn đơn vị tại điểmΓ = +1 (Hình 3.7). Ngoài ra mọi đường tròn đẳngxluôn đi qua điểm (1,0) trong mặt phẳng phức Γ. Mặt khác do hệ số phản xạ trên đường truyền (tải thụ động)|Γ| ≤1nên ta chỉ vẽ các phần của đường tròn đẳngxnằm trong vòng tròn đơn vị tức
|Γ|= 1.
Các vòng tròn đẳng xđáng chú ý gồm :
• Khi x = 0 thì vòng tròn đẳng x có tâm tại (1,∞) và bán kính ∞. Lúc này đường tròn đẳngx = 0 biến thành một đường thẳng và nằm trên trục hoành Γr của mặt phẳng phức
Γ. Thật vậy, với trở kháng đường dây là thuần trở thì hệ số phản xạΓtrở thành số thực.