2 Lý thuyết đường truyền
2.4.1 Suy hao phản hồi Return Loss
Với (2.146) ta có thể viết lại (2.157) như sau:
V(z) =V0+[e−jβz + Γejβz] (2.168a) I(z) = V + 0 Z0 [e−jβz −Γejβz] (2.168b)
Bây giờ xét công suất trung bình chảy dọc theo đường dây tại điểmz:
Pav = 1 2<e[V(z)I(z)∗] = 1 2 |V0+|2 Z0 <e{1−Γ∗e−j2βz+ Γej2βz− |Γ|2} (2.169)
ở đây (2.168) đã được sử dụng. Hai số hạng ở giữa trong dấu ngoặc có dạngA−A∗ = 2jIm(A)
và là thuần ảo. Điều này dẫn tới
Pav = 1 2
|V0+|2
Z0 (1− |Γ|2), (2.170)
Biểu thức này cho thấy rằng công suất trung bình là hằng số tại bất kỳ điểm nào trên đường truyền và rằng tổng công suất phân phát tới tải (Pav) bằng công suất sóng tới (|V0+|2/2Z0) trừ đi công suất phản xạ (|V0+|2|Γ|2/2Z0). NếuΓ = 0 thì công suất tối đa sẽ được phân phát tới tải, trong khi đó không có lượng công suất nào được phát tới tải khi|Γ|= 1. Thảo luận trên giả thiết rằng nguồn được phối hợp nên không có phản xạ của sóng bị phản xạ.
Khi tải không được phối hợp thì không phải tất cả công suất khả dụng từ nguồn được phát tới tải. Tổn thất này được gọi làSuy hao phản hồi(RL) và được định nghĩa (theo dB) là
RL=−20 log|Γ| dB, (2.171)
Do đó một tải phối hợp (Γ=0) có suy hao phản hồi là∞dB (không có công suất phản xạ), trong khi đó hệ số phản xạ (Γ = 1) có suy hao phản hồi 0 dB (toàn bộ công suất tới bị phản xạ).
những điểm biên độ sóng đạt cực tiểu được gọi là nút sóng (node). Hiện tượng này gọi là hiện tượng sóng đứng (standing wave) trên đường dây.
Để minh họa hiện tượng sóng đứng, chúng ta xét một đường truyền sóng không tổn hao, đầu cuối được kết thúc bằng một tải hở mạch tức Γ(0) = +1. Sóng điện áp phản xạ sẽ có biên độ bằng sóng điện áp tới, và đều là các sóng điện áp hình sin cùng chu kỳ truyền theo hai hướng ngược chiều nhau của trụcz.
• Tại thời điểmt =t1, hai sóng tới và sóng phản xạ có phân bố theo znhư trên Hình 2.20. Chúng là các sóng hình sin có độ lệch pha so với nhau là 2kπ. Do đó sóng điện áp tổng đạt biên độ cực đại.
• Tại thời điểm t = t1+T /4(một phần tư chu kỳ sau), sóng tới sẽ lan truyền theo chiều tăng củaz một đoạn đường bằngλ/4, trong khi sóng phản xạ cũng lan truyền theo chiều giảm củaz một đoạn đường tương tự. Kết quả là sóng tới và sóng phản xạ lệch pha nhau một lượng(2k+ 1)π, dẫn tới sóng tổng bị triệt tiêu (Hình 2.20(b)).
• Tại thời điểmt =t1+T /2(một nửa chu kỳ saut1), lập luận như trên ta có sóng tổng đạt biên độ cực đại như trường hợpt=t1 (Hình 2.20(c)).
Tóm lại, sự phân bố điện áp của sóng tổng dọc theo chiều dài đường dây và sự biến thiên của chúng theo thời gian được vẽ ở Hình 2.21. Lúc này ta có thể thấy rõ hiện tượng sóng đứng. Ta có nhận xét như sau:
• Có những điểm cố định trên đường dây mà tại đó điện áp biến thiên trong phạm vi cực đại. Đó là điểm bụng sóng (anti-node)
• Có những điểm cố định trên đường dây mà tại đó điện áp luôn bị triệt tiêu hoặc biến thiên trong phạm vi nhỏ. Đó là các điểm nút (node).
Hệ số sóng đứng
Nếu tải được phối hợp với đường truyền,Γ = 0và biên độ điện áp trên đường dây là|V(z)| =
|V0+|, là một hằng số. Một đường truyền như vậy đôi khi được gọi là "phẳng". Tuy nhiên, khi tải không được phối hợp trở kháng thì sẽ có mặt sóng phản xạ và dẫn tới sóng đứng ở đó biên độ
Hình 2.20: Minh họa sóng tới, sóng phản xạ và sóng tổngđiện áp không còn là một hằng số nữa. Vì vậy, từ (2.168) ta có điện áp không còn là một hằng số nữa. Vì vậy, từ (2.168) ta có
|V(z)| = |V0+||1 + Γej2βz|
= |V0+||1 + Γe−j2β`| (2.172)
= |V0+||1 +|Γ|eθ−2β`|
ở đó ` = −z là khoảng cách dương được đo từ tải tại z=0, và θ là pha của hệ số phản xạ (Γ = |Γ|eθ). Kết quả này chỉ ra rằng biên độ điện áp dao động theo vị trí z dọc theo đường truyền. Giá trị cực đại xuất hiện khi số hạng phaeθ−2β`= 1, và được cho bởi
Vmax =|V0+|(1 +|Γ|) (2.173)
Giá trị cực tiểu xuất hiện khi số hạng phaej(θ−2β`) =−1, và được cho bởi
Hình 2.21:Minh họa sóng đứngTương tự ta rút ra Tương tự ta rút ra Imax = |V0+| Z0 (1 +|Γ|) (2.175) và Imin = |V0+| Z0 (1− |Γ|) (2.176)
KhiΓ tăng, tỷ số giữaVmax vàVmin tăng vì vậy một số đo độ bất phối hợp trở kháng của một đường truyền gọi làhệ số sóng đứng(SWR) có thể được định nghĩa như sau
S=SW R= Vmax
Vmin =
1 +|Γ|
1− |Γ| (2.177)
Đại lượng này còn được gọi làhệ số sóng đứng điện áp, và đôi khi được viết tắt là VSWR. Từ
(2.177) ta thấy rằng SWR là một số thực nằm trong dải 1≤ SW R ≤ ∞, ở đây SWR=1 ngụ ý tải phối hợp với đường truyền.
Nhận xét:
• Từ (2.172) có thể thấy rằng khoảng cách giữa hai điểm điện áp cực đại (hay cực tiểu) liên tiếp là`= 2π/2β =πλ/2π=λ/2
• Khoảng cách giữa một điểm cực đại và một điểm cực tiểu là` =π/2β=λ/4, trong đóλ
là bước sóng trên đường dây.
• Tại điểm bụng điện áp và điểm nút dòng điện có biên độ điện áp đạt cực đạiVmax có biên độ dòng điện cực tiểuImin và tại điểm đó có
Rmax = Vmax
Imin =Z0
1 +|Γ|
Nếu lấy chuẩn hóa theo trở kháng đặc tính của đường truyền thì
rmax= Rmax
Z0
=S (2.179)
• Tại điểm nút điện áp và bụng dòng điện có biên độ điện áp cực tiểuVmin và biên độ dòng điện đạt cực đạiImax và tại điểm đó có
Rmin = Vmin
Imax = Z0
S (2.180)
lấy chuẩn hóa theo trở kháng đặc tính của đường truyền thì
rmin = Rmin
Z0 =
1
S (2.181)
Từ (2.181) ta thấy trở kháng đường dây chuẩn hóa tại điểm nút điện áp, bụng dòng điện sẽ mang giá trị thực dương và bằng nghịch đảo của hệ số sóng đứng S trên đường dây.
Mặt khác từ (2.179) và (2.181) ta nhận thấy rằng trở kháng đường dây chuẩn hóa rmax tại điểm bụng điện áp, nút dòng điện bằng nghịch đảo của trở kháng đường dây chuẩn hóarmin tại điểm nút điện áp, bụng dòng điện cách đó một khoảngkλ/4. Ta viết ở dạng tổng quát như sau
rmax(z) = 1
rmin(z±kλ4) (2.182)
2.4.3 Trở kháng vào của đường truyền
Hệ số phản xạ trong (2.161) được định nghĩa là hệ số phản xạ điện áp tại tải (` = 0), nhưng đại lượng này có thể được tổng quát hóa cho bất kỳ điểm ` nào trên đường truyền như sau.Từ (2.157a), vớiz =−`, tỷ số giữa thành phần sóng phản xạ và thành phần sóng tới là
Hình 2.22:Một đường truyền kết cuối bởi một ngắn mạch
Γ(`) = V
−
0 e−jβ`
V0+ejβ` = Γ(0)e−2jβ` (2.183) ở đâyΓ(0)là hệ số phản xạ tại điểmz=0. Biểu thức này rất hữu ích khi cần chuyển đổi tác động
Hình 2.23:(a) Điện áp (b) dòng điện và (c) trở kháng (Rin = 0hoặc∞) biến đổi dọc đườngtruyền đầu cuối ngắn mạch truyền đầu cuối ngắn mạch
(2.184): Zin = Z0(ZL+Z0)e jβ`+ (ZL−Z0)e−jβ` (ZL+Z0)ejβ`−(ZL−Z0)e−jβ` = Z0ZLcosβ`+jZ0sinβ` Z0cosβ`+jZLsinβ` (2.185) = Z0 ZL+jZ0tanβ` Z0+jZLtanβ`
Đây là một kết quả quan trọng đối với trở kháng vào của đường truyền có tải bất kỳ. Chúng ta sẽ nói tới kết quả này như là một phương trình trở kháng đường truyền: Sau đây chúng ta sẽ thảo luận một số trường hợp đặc biệt.
Các trường hợp đặc biệt của đường dây không tổn hao có kết cuối
Một số trường hợp đặc biệt của đường dây không tổn hao có kết cuối sẽ thường xuyên xuất hiện trong công việc của chúng ta vì vậy trong phần này chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của những trường hợp như vậy.
Hình 2.24:Một đường truyền kết cuối bởi một ngắn mạch
Tải ngắn mạch: Xét mạch điện đường truyền trên Hình 2.22, ở đó một đường truyền được kết cuối bởi một ngắn mạch (ZL= 0). Trong phần trước chúng ta đã biết hệ số phản xạ trong trường hợp này là Γ = −1; và từ (2.177) ta thấy tỷ số sóng đứng là vô cùng. Từ (2.168) điện áp và dòng điện trên đường dây là
V(z) =V0+[e−jβz −ejβz] =−2jV0+sinβz (2.186a) I(z) = V + 0 Z0 [e −jβz +ejβz] = 2V + 0 Z0 cosβz (2.186b)
điều này cho thấy V=0 tại tải (đúng như thế vì tải ngắn mạch), trong khi dòng điện lại đạt cực đại tại đó. Từ (2.185), hoặc từ tỷ số V(-`)/I(-`), trở kháng vào là
Zin =jZ0tanβ` (2.186c)
Giá trị này là thuần ảo cho bất kỳ độ dài`nào và nhận mọi giá trị giữa+j∞và−j∞. Ví dụ, khi` = 0ta có Zin = 0 nhưng khi ` = λ/4ta có Zin =∞ (hở mạch). Phương trình (2.187c) cũng cho thấy rằng trở kháng tuần hoàn theo`và lặp lại với bội số củaλ/2. Điện áp, dòng điện và điện kháng vào cho đường truyền ngắn mạch được vẽ trên Hình 2.23.
Tải hở mạch: Đường truyền có tải hở mạch (Hình 2.24) có ZL =∞. Trong phần trước chúng ta đã biết khi tải hở mạch thì hệ số phản xạΓ = +1và hệ số sóng đứng một lần nữa lại là vô cùng lớn. Từ (2.177) điện áp và dòng điện trên đường dây là
Hình 2.25:(a) Điện áp (b) dòng điện và (c) trở kháng (Rin = 0hoặc∞) biến đổi dọc đườngtruyền có tải hở mạch truyền có tải hở mạch
Suy hao xen - Insertion loss
Bây giờ chúng ta xét một đường truyền có trở kháng đặc tínhZ0 cấp tín hiệu vào đường truyền có trở kháng đặc tínhZ1 6=Z0 như trên Hình 2.26. Nếu đường dây tải là dài vô hạn hoặc nếu nó
được kết cuối bởi trở kháng đặc tính của chính nó thì sẽ không có phản xạ từ đầu cuối của nó và khi đó trở kháng vào nhìn từ đường dây cấp tín hiệu làZ1, vì thế hệ số phản xạΓlà
Γ = Z1−Z0
Z1+Z0 (2.188)
Hình 2.26:Phản xạ và truyền đi tại giao của hai đường truyền có trở kháng đặc tính khác nhau
không phải là tất cả sóng tới bị phản xạ mà một phần được truyền qua đường dây thứ hai với biên độ điện áp cho bởi hệ số truyền T.
Từ (2.168) điện áp khiz <0là
V(z) =V0+(e−jβz + Γejβz), vớiz <0 (2.189) trong đóV0+ là biên độ của sóng điện áp tới trên đường dây thứ nhất. Sóng điện áp khiz > 0
khi không có mặt phản xạ chỉ có sóng đi và có thể được viết là
V(z) = V0+T e−jβz, vớiz >0 (2.190) Cân bằng các điện áp này tạiz = 0 ta xác định được hệ số truyền T như sau
T = 1 + Γ = 1 + Z1−Z0 Z1+Z0 =
2Z1
Z1+Z0 (2.191)
Hệ số truyền giữa hai điểm trong một mạch thường được biểu diễn theo dB làsuy hao xen(IL),
IL=−20 log|T|dB (2.192)
2.5 Các đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng
Trong phần này chúng ta sẽ xét đến các đường dây truyền sóng có chiều dài là một bội số nguyên lần của một phần tư bước sóng(` = kλ/4). Như trên đã thảo luận, khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của sóng đứng cách nhau một khoảng làλ/4 nên nếu tải là một ngắn mạch thì tại một điểmzcách tải kλ/4sẽ là một hở mạch và ngược lại. Ngoài ra, nếu tải là bất kỳ thì ta có thể tìm được trở kháng vào của đường truyền tại một điểmzbất kỳ theo (2.185). Chúng ta cũng giả thiết đường dây là không tổn hao (α = 0, γ =jβ, Z1 ≡R1) nhằm đơn giản hóa việc tính toán.
Hình 2.27:Bộ chuyển đổi trở kháng một phần tư bước sóng β` = 2π λ λ 4 = π 2 Theo (2.185) ta có Zin = Z 2 1 ZL = Z12 RL (2.193)
Ta nhận thấy rằng trở kháng tảiZLtỷ lệ nghịch với trở kháng vào Zin.
Nhận xét:
• Nếu tải hở mạch (ZL → ∞) thì Zin = 0, tương đương với một ngắn mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng này tương tự như trở kháng của một mạch LC nối tiếp tại tần số cộng hưởngω0 = 1/√
LC, có trở kháng triệt tiêu, còn tại các tần số khác (bước sóng khác) trở kháng sẽ khác không. Vì vậy, đường dâyλ/4tải hở mạch được gọi là đường dây cộng hưởng.
• Nếu tải ngắn mạch (ZL= 0) thì Zin → ∞, tương đương một hở mạch tại đầu vào đường truyền. Trở kháng vào Zin lúc này tương đương như trở kháng của một mạch LC song song tại tần số cộng hưởng ω0 = 1/√
LC, có trở kháng vô cùng lớn, còn tại các tần số khác (bước sóng khác), trở khángZin sẽ hữu hạn. Vì vậy, đường dâyλ/4tải ngắn mạch được gọi là đường dây phản cộng hưởng (anti-resonance).
• Đặc biệt nếu ZL ≡ RL thì Zin = Rin. Lúc này nếu RL > R0 thì Rin < R0 ta có bụng điện áp tại tải và nút điện áp tại ngõ vào. Ngược lại ta có nút điện áp tại tải và bụng điện áp tại ngõ vào.
Do các đặc tính trên mà một đường dây cộng hưởng hoặc phản cộng hưởng có thể được dùng trong các mạch ghép chọn lọc tần số, đường dây chêm phối hợp trở kháng hoặc đường dây trong mạch cấp nguồn cho các linh kiện tích cực, trong mạch lọc, mạch khuếch đại, mạch ghép định hướng, mạch chia công suất vv· · · mà chúng ta sẽ có dịp đề cập trong phần mạch siêu cao tần.
Một ứng dụng quan trọng của đường dây λ/4 là dùng làm mạch biến đổi trở kháng. Một đường truyền có trở kháng đặc tínhZ1có chức năng biến đổi điện trở tảiRLthành một trở kháng
Zin tại đầu vào đường dây. Do đó chúng có thể được dùng để phối hợp một tải thực RL bất kỳ với một đường dây có trở khángZ0 =Zin, với điều kiện trở kháng đặc tính của đường dâyλ/4
là
Z1 =pZL.Z0 (2.194)
Khi đó sẽ không có sóng đứng trên đường dây cấp tín hiệu (tức SWR=1) mặc dù sẽ có sóng đứng trên đoạn dây phối hợpλ/4. Ngoài ra ta cần chú ý rằng do tính chất tuần hoàn chu kỳλ/2
của trở kháng vào của các đường dây không tổn hao nên các đặc tính trên của đường dâyλ/4
cũng đúng cho các đường dây có chiều dài là một bội số lẻ lần ((2k+ 1)λ/4) của độ dàiλ/4. Tuy nhiên phối hợp hoàn hảo chỉ đạt được ở một tần số và bất phối hợp sẽ xảy ra ở các tần số khác.
Điểm cần lưu ý ở đây là phương pháp phối hợp này chỉ áp dụng cho trở kháng tải thực mặc dù trở kháng tải phức dễ dàng có thể biến thành thực tại một tần số nào đó bằng việc chuyển đổi thông qua một đường dây độ dài thích hợp.
2.5.2 Đường truyền nửa bước sóng
Đường truyền nửa bước sóng có chiều dài`=λ/2. Do đó
β`= 2π
λ λ
2 =π (2.195)
Từ (2.185) ta suy raZin =ZL
Điều này có nghĩa là trở kháng đầu vào đường dây nửa bước sóng luôn bằng trở kháng tải ở cuối đường dây.
Nếu đầu cuối tải là một ngắn mạch (ZL= 0) thì trở kháng vào Zincũng triệt tiêu (biểu hiện điểm nút điện áp), tương đương trở kháng vào của mạch cộng hưởng LC nối tiếp.
Nếu đầu cuối là tải là một hở mạch (ZL → ∞), trở kháng vào Zin lớn vô cùng (điểm bụng điện áp), tương đương với trở kháng mạch phản cộng hưởng hay LC song song.
Các tính chất trên của đường truyềnλ/2cũng đúng với các đường truyền có chiều dàikλ/2
2.5.3 Trở kháng đường truyền khi tần số thay đổi
Các nhận xét về đường truyền cộng hưởng và phản cộng hưởng ở trên chỉ đúng với một tần số cơ bản (ứng với bước sóng λ) hoặc các hài tần của nó. Khi tần số thay đổi, trở kháng vào Zin
Đồ thị Smith
3.1 Cơ sở của đồ thị Smith
Trong kỹ thuật siêu cao tần, các bài toán phân tích và thiết kế các mạch điện hoạt động ở tần số siêu cao thuờng dẫn tới việc giải các hệ phương trình rất phức tạp. Điều này gây nhiều khó khăn cho người thiết kế, nhất là khi cần có ngay một lời giải cho các vấn đề kỹ thuật trong một khoảng thời gian sớm nhất.
Để đơn giản hóa việc tính toán, phép giải bằng đồ thị tỏ ra khá hiệu quả và nhanh chóng. Mặc dù kết quả có thể chưa đạt độ chính xác cao nhưng phép giải bằng đồ thị không những đơn giản mà còn giúp người thiết kế thực hiện các phép tính bằng những động tác biến đổi rất tượng hình, dễ hiểu.
Theo xu hướng đó, một số kiểu đồ thị trở kháng được hình thành nhằm giúp giải quyết việc phân tích mạch điện siêu cao tần từ kết cấu đơn giản như đường dây truyền sóng đến các mạch