2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm
2.3.8. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) của Bài 4
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 12 vừa học xong chương trình Giải tích 12 nâng cao và học sinh đang ôn thi đại học. Số lượng là 46 học sinh ở lớp 12A1 của trường THPT Nguyễn Huệ, thành phố Vũng Tàu, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu.
Kết quả như sau :
Bảng 17. Số lượng học sinh chọn theo 3 bạn và các giải thích thường gặp
Ý kiến của các bạn
Số HS chọn Các giải thích thường gặp ở học sinh
Linh 36 (78,3%) - Do đã có đồ thị nên dùng đồ thị để tìm m thỏa ycbt
phương trình 0 < - m3 +3m2 < 4.
- Nếu đề bài không cho trước đồ thị thì ta có thể lập bảng biến thiên để giải.
- Nếu bài này không cho trước đồ thị thì dài và dễ sai.
Vân 7 (15,2%) - Phương trình đã cho có thể đoán được một nghiệm x = m nên bài này tương đối dễ. Ycbt
tương đương với phương
trìnhg x( )= x2+(m−3)x+m2−3m=0 có hai nghiệm phân biệt khác m.
- Nếu không đoán được nghiệm x = m thì không dùng cách này được. Chọn theo Vân vì đã phân tích thành tích của 1 nhị thức bậc nhất và 1 tam thức bậc hai nên dễ dàng tìm điều kiện của m thỏa yêu cầu bài toán.
- Chọn theo cách Vân vì khi nhân (x – m) với
2 2
( 3) 3
x + m− x+m − m ta thấy xuất hiện lại phương trình ban đầu.
Trang 3 (6,5%) - Học sinh đã đề xuất cách giải tương tự như chiến lược Skhác
- Học sinh lập bảng biến thiên và dựa vào bảng để tìm ra điều kiện phương tình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là ymax.ymin < 0.
Tổng 46 (100%) Qua bảng trên ta thấy :
Có 36/46 (78,3%) học sinh sử dụng chiến lược đồ thị SĐT, tức là học sinh đã sử dụng đồ thị (C) của hàm số y = – x3 + 3x2 để xác định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = – m3 + 3m2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Theo chiến lược này phần lớn học sinh đã bị ảnh hưởng bởi đồ thị hàm số (C) cho trước và các em đã chuyển đổi phạm vi từ đại số (phương trình có 3 nghiệm) sang phạm vi hình học (dùng đồ thị (C)). Kết quả này đã kiểm chứng được một phần của giả thuyết H1 và H2.
Kết hợp với các bài toán đã thực nghiệm ở trên chúng tôi có thể dự đoán rằng: Giả sử không cho đồ thị (C) ở trước thì vẫn có học sinh sử dụng chiến lược SĐT. Đây là một chiến lược mà các em thường hay sử dụng đối với phương trình bậc ba chứa tham số: HS 31 cho rằng “[…] Đây là bài toán quen thuộc.”
Song, việc giải hai bất phương trình ở chiến lược SĐT đã có rất nhiều học sinh đã giải sai. Trong số 36 học sinh thì chỉ có 6 em giải đúng hai bất phương trình 0 < - m3+ 3m2 < 4. HS12 nói “Bất phương trình – m3 + 3m2 < 4 em không giải được!... ”. Phải chăng sự xuất hiện hiếm hoi của các bất phương trình bậc ba trong thể chế đã ảnh hưởng đến kỹ năng giải ở học sinh? Dù giải hai bất phương trình 0 < - m3 + 3m2 < 4 sai nhưng các em vẫn ưu tiên sử dụng chiến lược đồ thị SĐT. Khẳng định rằng sự có mặt của đồ thị (C) đã ảnh hưởng đến mối quan hệ của cá nhân học sinh trong việc chọn kỹ thuật để giải quyết các bài toán về giải và biện luận phương trình chứa tham số.
Bên cạnh đó vẫn có 3/46 học sinh sử dụng chiến lược Skhác (dùng kỹ thuật giải tích
để giải). Số lượng rất ít (6,7%) này cũng cho phép chúng tôi khẳng định rằng học sinh đã có nhiều sự lựa chọn khác nhau đối với việc giải quyết một bài toán. Theo chiến lược này học sinh cũng đã thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt khác để giaỉ quyết bài toán trên.
Cuối cùng có 7/46 học sinh sử dụng chiến lược đại số SĐS. Các em không quan tâm
đến sự có mặt của đồ thị hàm số (C) trình mà vẫn giải quyết bài toán trong phạm vi đại số (Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 2 2
( ) ( 3) 3 0
g x =x + m− x+m − m= có hai nghiệm phân biệt khác m).
Tóm lại, với các kết quả trên chúng tôi có thể khẳng định rằng học sinh đã ưu tiên kỹ thuậtkỹ thuật đồ thịđối với phương trình bậc ba có tham số trong môi trường có đồ thị hàm số. Tính hợp thức của một phần giả thuyết H1, H2 đã được kiểm chứng.
THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN
Trong chương 1, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu ứng xử của giáo viên đang dạy lớp 10 thông qua phiếu thăm dò. Chúng tôi nhắc lại dưới đây kết quả khảo sát ý kiến 30 giáo viên toán đang dạy lớp 10 năm học 2011-2012 về lý do không sử dụng kỹ thuật
đồ thị trong lời giải bài tập 21, trang 81, sách Đại số 10 nâng cao:
Lý do Số lượng
(Một người có thể đề xuất nhiều lý do)
Kỹ thuật tổng quát để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số chưa được giảng dạy ở lớp 10 21/21 Kỹ thuật đồ thị không phải là kỹ thuật tổng
quát giải quyết được mọi bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
10/21
Kỹ thuật đồ thị đã được giới thiệu trong bài tập 7, trang 78. Bài 21 trang 81 nhằm giới thiệu kỹ thuật
đại số
5/21
Không trả lời 9
Còn đối với giáo viên toán đang giảng dạy lớp 12 năm học 2011-2012: Chúng tôi đã khảo sát 24 giáo viên về vấn đề trong những trường hợp nào thì các giáo viên đó sử dụng kỹ thuật đồ thị trong lời giải các bài toán về phương trình có tham số, chúng tôi thu được kết quả sau:
Lý do Số lượng
(Một người có thể đề xuất nhiều lý do)
Đề bài yêu cầu tường minh là “dùng đồ thị”. 19/20 Phương trình ban đầu là phương trình bậc ba,
bậc bốn trùng phương. 17/20 Phương trình chứa căn thức, chứa dấu giá trị
tuyệt đối (giống các đề thi Đại học). 5/20 Khi đồ thị đã được đề bài yêu cầu trước đó. 15/21 Khi gặp dạng toán: Biện luận theo tham số số
nghiệm của phương trình. 16/20
Dùng phương pháp đại số dài và khó, đôi khi
không giải được. 7/20
Khi đề bài yêu cầu nhiều cách 9/20
Không trả lời 4
Bảng 18. Kết quả khảo sát ý kiến giáo viên lớp 12
Với các kết quả trên cho phép chúng tôi khẳng định được các điều kiện và ràng buộc được chúng tôi đề cập trong giả thuyết nghiên cứu H1 hoàn toàn hợp thức. Sự khác biệt về ứng xử của giáo viên giảng dạy lớp 10 và 12 (cũng vậy, do mối quan hệ thể chế đối với bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số) ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh lớp 10 và 12 mà nguyên nhân chính là do học sinh lớp 12 đã học xong phương pháp tổng quát để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
3. Kết luận chương 3
Với 305 học sinh tham gia làm 04 bài toán thực nghiệm trong tổng thời gian là 85 phút được chia thành nhiều thời điểm khác nhau, chúng tôi đã kiểm chứng được tính hợp thức của hai giả thuyết H1 và H2.
Kết quả thực nghiệm cho phép kiểm chứng sự hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu và trả lời các câu hỏi đặt ra ở đầu chương. Kỹ thuật được học sinh ưu tiên huy động để giải và biện luận phương trình chứa tham số chịu ảnh hưởng của những điều kiện và ràng buộc thể chế nhất định. Đặc biệt, việc chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt khi giải và biện luận phương trình chứa tham số tuân thủ một số quy tắc của hợp đồng dạy học. Trong những kiểu nhiệm vụ “quen thuộc” có mặt trong sách giáo khoa, sự tuân thủ này giúp học sinh giải được bài tập thông qua việc huy động kỹ thuật được thể chế ưu tiên. Điều này góp phần tạo ra một “độ ì tương đối”, che lấp các kỹ thuật có thể có khác (đôi khi là kỹ thuật tối ưu). “Độ ì tương đối” này được thể hiện rõ khi quan sát sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt ở học sinh trong những kiểu nhiệm vụ “không quen thuộc”.
Kết luận
Như tựa của luận văn đã thể hiện, luận văn này nghiên cứu sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số ở trường trung học phổ thông.
Đề tài cho thấy đây là lần đầu tiên sách giáo khoa toán giải thích tường minh khái niệm tham số. Tuy nhiên, sự khác nhau cơ bản giữa tham số trong phương trình chứa tham số với tham số trong phương trình tham số của đường thẳng không được đề cập. Mục tiêu chính của chủ đề phương trình chứa tham số là “trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới” các vấn đề về phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai. Do đó, phương trình chứa tham số được sách giáo khoa định nghĩa một cách hình thức (là “phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác”) chứ không như tiếp cận khoa học luận (là sự tổng quát hóa một họ những phương trình cụ thể mà việc giải và biện luận phương trình chứa tham số này cho phép suy ra nghiệm của những phương trình cụ thể đang xét bằng cách gán cho tham số những giá trị tương ứng).
Sách Đại số 10 nâng cao đưa ra bốn kiểu nhiệm vụ T1, T1a, T1b và T2. Kỹ thuật
đồ thị được ưu tiên huy động khiến T1a có xu hướng tách xa T1. Ngược lại, kỹ thuật
đại số khiến T1b có xu hướng tiến gần T1. Cũng chính kỹ thuật đại số khiến T2 có xu hướng tiến gần T1 mặc dù các kỹ thuật khác vẫn còn giá trị.
Trong sách Giải tích 12 nâng cao, T1 biến mất. Bù lại, T3 xuất hiện cùng với một yếu tố tiềm năng có thể đóng vai trò kỹ thuật (và đôi khi vai trò công nghệ) đối với kiểu nhiệm vụ mới này: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chính yếu tố này kéo T3 tách rời T2.
T1a. Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số
T1b. Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường T1. Giải và biện luận phương trình
chứa tham số
T2. Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
thỏa điều kiệncho trước
T1a. Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số
T2. Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều
kiệncho trước
T1b. Biện luận theo tham số số giao điểm củahai đường T3. Định các giá trị của tham số để
đường thẳng cắt đường cong tại n
điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Sự tích hợp các kết quả đã đạt được trong chương 1 và kết hợp với việc phân tích các đề thi tú tài, đại học cao đẳng cho phép chúng tôi đưa ra các điều kiện và ràng buộc của sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong bài toán giải và biện luận phương trình có tham số và hơn thế chúng tôi đã nghiên cứu các ứng xử của học sinh thông qua hai giả thuyết nghiên cứu sau đây:
Giả thuyết H1 (giả thuyết về điều kiện và ràng buộc)
Khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ về giải và biện luận phương trình chứa tham số, học sinh chỉ chuyển phạm vi từ đại số sang hình học (hoặc giải tích) khi có một trong các điều kiện và ràng buộc sau:
- Đề bài yêu cầu tường minh hoặc bài toán được cho trong chủ đề khảo sát hàm số
hoặc đồ thị đã cho trước.
- Kỹ thuật đại số đã được huy động thử nhưng trở nên bế tắc; đặc biệt, khi phương trình đang xét là phương trình bậc ba không thể nhẩm nghiệm nguyên hoặc phương trình đang xét có chứa dấu giá trị tuyệt đối hay căn thức.
Khi giải và biện luận phương trình chứa tham số, ứng xử của học sinh lớp 10 không giống với ứng xử của học sinh lớp 12. Sự khác nhau này được chúng tôi phát biểu thành giả thuyết thứ hai sau:
Giả thuyết H2 (giả thuyết về ứng xử của học sinh)
R1. Để giải quyết các bài toán về giải và biện luận chứa tham số, học sinh lớp 10 ưu tiên kỹ thuật đại số hơn kỹ thuật đồ thị ngay cả khi kỹ thuật đồ thị là kỹ thuật tối ưu. Các em chỉ thay đổi phạm vi từ đại số sang hình học khi đề bài yêu cầu tường minh là
“dùng đồ thị”.
R2. Mặc dù được đưa vào từ lớp 8và được củng cố ở các lớp 9, 10nhưng kỹ thuật sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) chỉ “sống”được ở lớp 12 thông qua chủ đề khảo sát hàm số. Kỹ thuật này được học sinh ưu tiên ngay cả khi kỹ thuật đại số là kỹ thuật tối ưu.
Đó là những kết quả đạt được trong chương 2. Kết thúc chương 2 là dịp để chúng tôi có thể nghĩ đến việc xây dựng một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh có thể chọn chiến lược tối ưu để giải quyết các bài toán về giải và biện luận phương trình chứa tham số trong các điều kiện và ràng buộc nhất định. Tuy vậy, đó chỉ là “tham vọng”. Một phần do thời gian mà chủ yếu là kiến thức về didactic Toán còn hạn chế nên đề tài này chưa làm được ý tưởng đó.
Cuối cùng là chương 3, chúng tôi đã đạt được rằng: Kết quả thực nghiệm cho phép kiểm chứng sự hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu và trả lời các câu hỏi đặt ra ở đầu chương. Kỹ thuật được học sinh ưu tiên huy động để giải và biện luận phương trình chứa tham số chịu ảnh hưởng của những điều kiện và ràng buộc thể chế nhất định. Đặc biệt, việc chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt khi giải và biện luận
phương trình chứa tham số tuân thủ một số quy tắc của hợp đồng dạy học.
Quay lại phần mở đầu của luận văn này, luận án tiến sĩ của Lê Văn Tiến (2001) có khẳng định rằng: Ở Pháp28, phương trình tham biến bị loại bỏ. Như vậy, liệu học sinh Pháp có biết gì về kỹ thuật đồ thị. Lựa chọn như thế có ảnh hưởng gì đến mục tiêu dạy học? Còn ở Việt Nam thì ngược lại, phương trình tham biến chiếm một vị trí quan trọng, nhưng đồ thị có vai trò mờ nhạt. Thử hỏi: Ở Việt Nam dạy như Pháp có đảm bảo hay không? Hay là ở Pháp có thêm các kiểu nhiệm vụ khác mà noospère cung cấp để đảm bảo giới thiệu dùng đồ thị để giải phương trình? Trên đây là những câu hỏi lớn, nhất thiết phải có những nghiên cứu. Tuy nhiên, trong phạm vi luận văn này chúng tôi xin nêu mấy ý sau:
- Dù không đưa vào phương trình chứa tham số nhưng ở chương trình dạy học Pháp các kiểu nhiệm vụ: giải gần đúng phương trình, giải bằng đồ thị phương trình,...Kỹ thuật giải của các kiểu nhiệm vụ đó có thể thay cho kỹ thuật đồ thịtrong phương trình chứa tham số ở Việt Nam mà vẫn đảm bảo mục tiêu của chương trình, trong đó có mục tiêu rèn luyện tư duy, ...
- Sự chuyển hóa sư phạm giữa các thể chế khác nhau cùng với một đối tượng tri thức thường có khác nhau, ít nhất trong cách tiếp cận. Thế nên trường hợp trên không phải là một ngoại lệ.
- Các bài toán về giải và biện luận phương trình chứa tham số ở Việt Nam ưu tiên kỹ thuật đại số, kỹ thuật đồ thị được huy động trong một số điều kiện và ràng buộc nhất định. Ở Pháp dù không có phương trình chứa tham số nhưng kỹ thuật đồ thị được học sinh rèn luyện nhiều trong các dạng toán thuộc kiểu nhiệm vụ29
giải gần đúng phương trình, giải bằng đồ thị phương trình,...
28Thể chế dạy học ở Mỹ cũng không có phương trình chứa tham số.