2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm
2.1. Xây dựng các bài toán thực nghiệm
Các biến dạy học (biến didactic) và sự lựa chọn giá trị của biến.
Liên quan đến đề tài của luận văn là nghiên cứu sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số nên chúng tôi chỉ xét đến những bài toán để thực nghiệm có thể sử dụng được cả hai kỹ thuật đại số và kỹ thuật đồ thị (hoặc kỹ thuật giải tích) nhằm kiểm chứng được các giả thuyết đã nêu. Đây là một biến dạy học mà chúng tôi sẽ phân tích kỹ sau đây.
Chúng tôi chọn các bài toán thực nghiệm trên cơ sở lựa chọn các giá trị của biến didactic (biến dạy học) sau đây:
V1. Cho trước đồ thị hoặc cho trong chủ đề khảo sát hàm số hay không?
Hai giá trị của biến là:
V1a. Cho trước đồ thị hoặc cho trong chủ đề khảo sát hàm số. V1b. Không cho đồ thị hoặc cho trong chủ đề khảo sát hàm số.
Kết quả nghiên cứu chương I và chương II đã cho chúng tôi nhận xét rằng nếu không cho trước đồ thị hoặc không cho trong chủ đề khảo sát hàm số thì học sinh không thường tự huy động đồ thị để giải các bài toán về giải và biện luận phương trình chứa tham số đối với những kiểu nhiệm vụ mà có thể sử dụng được hai kỹ thuật đại số
và kỹ thuật đồ thị. Như vậy, nếu chọn giá trị V1a thì kỹ thuật đồ thị có nhiều cơ hội xuất hiện hơn.
Ở đây tùy theo bài toán thực nghiệm mà chúng tôi chọn giá trị V1a hay V1b nhằm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã nêu.
V2. PT đã cho đưa về được dạng f(x) = g(m) hay không ?
(Đối với biến này chúng tôi giả thiết là đồ thị hàm số y = f(x) vẽ được hoặc lập được bảng biến thiên)
Hai giá trị của biến là :
V2a. Được
V2b. Không được.
Nếu chọn biến V2b thì sẽ không đưa được về dạng trên tức là kỹ thuật đồ thị không sử dụng được, điều này đồng nghĩa với việc chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt để giải và biện luận PT chứa tham số không thể xãy ra nên chúng tôi sẽ không chọn biến V2b.
Chẳng hạn, biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 - 2(m -1)x + m2 - 3 = 0 là thuộc biến V2b vì không thể biến đổi đưa được về dạng trên. Nói thêm, một kết quả khi phân tích thể chế là để đưa được về phương trình có dạng f(x) = g(m) thì bậc của tham số m là cùng bậc nhất, trừ khi tham số m ở vị trí hệ số tự do đối với những hàm số có dạng đa thức, chẳng hạn đề thi đại học năm 2002 thì tham số có bậc là 3 và 2
nhưng ở hệ số tự do nên đưa được về dạng trên.
Do đó, chúng tôi chọn giá trị V2a nhằm tạo điều kiện thuận lợi để học sinh sử dụng kỹ thuật đồ thị hay nói cách khác tạo điều kiện để học sinh chuyển đổi phạm vi từ đại số sang hình học đối với các kiểu nhiệm vụ về giải và biện luận phương trình chứa tham số.
V3. Cách cho đề bài.
Các giá trị của biến là:
V3a. Giải và biện luận phương trình F(x,m) = 0.
V3b. Biện luận số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0.
V3c. Tìm các giá trị của m để phương trình F(x,m) = 0 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.
V3d. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(m).
Chúng tôi chọn biến này với dụng ý: Nếu chọn biến V3a, V3d thì kỹ thuật đồ thị
thường bị phong tỏa bởi lẻ giải và biện luận phương trình chứa tham số thì phải chỉ rõ số nghiệm và biểu thức cụ thể của nghiệm của phương trình do vậy giáo viên và học sinh sẽ ưu tiên chọn kỹ thuật đại số. Một kết quả khi phân tích thể chế là: Nếu đề bài được cho trong phạm vi hình học (số giao điểm) thì lời giải mong đợi của thể chế là dùng kỹ thuật đại số.
Chọn V3b, V3c thì kỹ thuật đồ thị có cơ hội xuất hiện nhiều hơn. Kết quả phân tích chương I và II cho thấy: Nếu chọn giá trị V3b thì kỹ thuật đồ thị thường được ưu tiên chọn (100% bài tập ở lớp 12 đều như vậy), các phương trình ban đầu đều có thể biến đổi được về dạng f(x) = g(m).
Và chọn giá trị V3c trong điều kiện biến V1 được lấy giá trị V1a (tức là đồ thị đã cho trước hoặc cho trong chủ đề khảo sát hàm số) thì kỹ thuật đại sốđược giáo viên và học sinh ưu tiên sử dụng. Tuy nhiên, điều kiện cho trước ở đề bài có một số ràng buộc nhất định, chúng tôi sẽ nêu ra sau đây các ví dụ đã từng tồn tại trong các sách M10, M12:
Nói riêng thì giá trị V3c có thể có các trường hợp sau:
- Tìm các giá trị của tham số m để nghiệm của phương trình f(x) = g(m) thỏa điều kiện cho trước (có sử dụng định lí Viét).
Lúc này, chiến lược đồ thị không có cơ hội xuất hiện hay nói cách khác phong tỏa kỹ thuật đồ thị và thậm chí có sử dụng kỹ thuật đồ thị thì HS cũng quay lại dùng kỹ thuật đại sốđể tính toán nhằm chỉ ra nghiệm cụ thể.
Chẳng hạn, đề bài là : Tìm các giá trị của mđể phương trình x2 – 4x + 3 – m = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = 40 (tương tự bài 18, sách Đại số 10 nâng cao, trang 80).
hiện. Còn nếu đề bài có dạng như :
- Tìm các giá trị của tham số m để phương trình f (x) = g(m) có n (n = 0, 1, 2) nghiệm thỏa điều kiện cho trước.
Ví dụ như: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2 – 4x + 3 – m = 0 có hai nghiệm dương (âm) phân biệt.
Hoặc : Tìm các giá trị của m để phương trình |x4 – 4x2 + 1| = m có 6 nghiệm thực phân biệt.
Nếu chọn các giá trị này thì kỹ thuật đồ thị có cơ hội xuất hiện nhiều hơn.
Trong chừng mực nào đó có thể xem hai giá trị V3b, V3c như nhau khi xét về mặt kỹ thuật. Dụng ý của chúng tôi là tạo “điều kiện” thuận lợi nhất để kỹ thuật đồ thị xuất hiện để thấy rõ được hiệu ứng của hợp đồng của thể chế.
Tóm lại, nếu chọn các giá trị khác nhau của biến V3 thì sẽ ảnh hưởng đến các chiến lược của bài toán (học sinh có thể thay đổi chiến lược nếu chọn các giá trị khác nhau)
Như vậy tùy vào mục đích của từng bài toán thực nghiệm mà chúng tôi sẽ chọn giá trị của biến thích hợp.
V4. Đề bài sử dụng ngôn ngữ biểu đạt thuộc phạm vi nào?
Hai giá trị có thể có của V4 là V4a. hình học.
V4b. đại số.
Với giá trị hình học, câu 2 sẽ trở thành: “Tìm mđể “đồ thị” (P) của hàm số y = x2 – 4x + 3 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương” hoặc “Tìm m
để đồ thị (C’) của hàm số y = | x4 – 4x2 + 1| không cắt đường thẳng y = m”....
Trong câu hỏi đang xét, giá trị được chọn của V4 là đại số. Chúng tôi chọn giá trị này nhằm hạn chế chiến lược “đại số”, muốn tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược “đồ thị”. Sở dĩ như vậy là vì theo kết quả của việc phân tích thể chế thì nếu đề bài được cho dưới dạng ngôn ngữ biểu đạt thuộc phạm vi đại số thì kỹ thuật được thể chế ưu tiên là kỹ thuật “đồ thị”.
V5. Yêu cầu tường minh dùng đồ thị trong đề bài hay không?
Hai giá trị của biến V5 được chọn là: V5a. Có.
Chẳng hạn, lúc này đề bài ở câu 2 trở thành : Dùng đồ thị (P) hãy tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2
– 4x + 3= m có hai nghiệm dương phân biệt.
V5b. Không.
Nếu chọn giá trị V5a thì chiến lược đại số bị phong tỏa, không có cơ hội xuất hiện. Do đó, giá trị được chọn là giá trị V5b.
Hai giá trị của biến V6 được chọn là : V6a. Giải theo nhiều cách.
V6b. Giải theo 1 cách.
Nếu yêu cầu giải theo một cách thì việc xuất hiện một kỹ thuật không quen thuộc sẽ khó có cơ hội xuất hiện. Nhưng nếu chọn giá trị V6a thì các kỹ thuật đều có khả năng xuất hiện.
Lúc đó chúng tôi có thể đánh giá và hợp thức được các quy tắc mà hợp đồng didactic đã đưa ra.
V7. Phương thức làm việc.
Hai giá trị của biến V7 (theo chúng tôi V7 là biến tình huống) là: V7a. Cá nhân
V7b. Theo nhóm
Với biến V7 việc chọn giá trị V7a hay V7b sẽ ảnh hưởng đến chiến lược mà học sinh chọn để giải quyết bài toán.
THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN
Mục đích của thực nghiệm:
Chúng tôi muốn tìm hiểu xem quan niệm của giáo viên đang giảng dạy các lớp THPT về bài toán giải và biện luận phương tình chứa tham số.
Hình thức:
Chúng tôi phát phiếu thăm dò cho mỗi giáo viên.
Câu hỏi trong phiếu:
Phiếu này không phải với mục đích đánh giá, thăm dò giáo viên mà chúng tôi đang tiến hành một nghiên cứu về phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT (đối tượng là nghiên cứu sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số ở trường THPT). Vì vậy, quý thầy (cô) không cần ghi tên, địa chỉ và vui lòng cho chúng tôi biết một số ý kiến của mình.
Trong trường hợp nào thì giáo viên ưu tiêndùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương trình (hoặc định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước).
Quý thầy (cô) chọn các ý kiến sau và có thể nêu thêm ý kiến của mình.
Đối với các bài toán về phương trình có tham số ở trường THPT, trong trường hợp nào thì thầy (cô) sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải?
Quý thầy (cô) đánh dấu X vào dòng được chọn.
- Đề bài yêu cầu tường minh là “dùng đồ thị”; - Phương trình ban đầu là phương trình bậc ba;
- Đề bài yêu cầu biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình;
- Khi đồ thị đã được đề bài yêu câu vẽ ở câu trước đó;
- - -
Trân trọng cảm ơn quý thầy (cô) rất nhiều.