1. Phân tích sách Đại số 10 nâng cao
1.4.Kết luận về sách Đại số 10 nâng cao
Sách Đại số 10 nâng cao có đưa ra giải thích về khái niệm tham số11nhưng không đưa ra định nghĩa chính thức về khái niệm này. Khái niệm phương trình chứa tham số
cũng không được định nghĩa chính thức mà chỉ được giới thiệu thông qua ví dụ ban đầu m(x + 2) = 3mx – 1.
Việc phân biệt bản chất của tham số trong phương trình tham số của đường thẳng
với tham số trong phương trình chứa tham số không được trình bày trong sách giáo khoa lẫn sách giáo viên. Bù lại, sách giáo khoa dành riêng hoạt động H4 (trang 71) để chứng minh rằng “nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số phụ thuộc vào tham số đó” cũng như đưa vào thuật ngữ “giải và biện luận phương trình” để nhấn mạnh việc giải phương trình chứa tham số.
Có thể nói rằng kỹ năng giải và biện luận phương trình là yêu cầu được sách Đại số 10 nâng cao xem trọng trong chương Phương trình và hệ phương trình.
Phần bài học của sách trình bày kết quả giải và biện luận các phương trình dạng ax
+ b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong hai bảng. Hai bảng này đóng vai trò yếu tố công nghệ trong việc giải và biện luận các phương trình chứa tham số được cho trong phần bài tập. Trong hai ví dụ đi kèm, sách Đại số 10 nâng caohuy động hai kỹ thuật:
- kỹ thuật đại số dựa trên việc xem xét các trường hợp của hệ số a và biệt thức ∆ (đối với dạng ax2 + bx + c = 0) hoặc các hệ số a, b(đối với dạng ax + b = 0);
- kỹ thuật đồ thị dựa trên tính chất số nghiệm của phương trình f(x) = g(m) là số điểm chung của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = g(m) cùng phương với trục hoành.
Phần bài học của sách đưa ra bốn kiểu nhiệm vụ:
T1. Giải và biện luận phương trình chứa tham số
T1a. Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số
T1b. Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường
T2. Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước Bằng cách nhắc lại sơ đồ liên hệ giữa bốn kiểu nhiệm vụ trên để dễ theo dõi, chúng tôi ghi nhận rằng hai kiểu nhiệm vụ T1, T2 trong sách Đại số 10 nâng cao chỉ được giải quyết bằng kỹ thuật đại số; các phương trình được xét là những phương trình đưa được về dạng bậc nhất hoặc bậc hai; nghiệm tìm được (nếu có) là nghiệm chính xác. Dù không bị hạn chế ở những phương trình đưa được về dạng bậc nhất hoặc bậc hai và cho phép tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác tùy ý với mỗi giá trị của tham số, kỹ thuật đồ thịkhông được đề cập.
Kiểu nhiệm vụ T1a thuộc phạm vi đại số nhưng được sách Đại số 10 nâng cao yêu cầu tường minh dùng đồ thị để giải mặc dù kỹ thuật đại số vẫn còn giá trị. Đây là một sự chuyển đổi phạm vi có chủ đích của các tác giả sách giáo khoa. Sự chuyển đổi phạm vi này có tác dụng kép: cung cấp cho học sinh một kỹ thuật khác với kỹ thuật
đại số; tạo môi trường sinh thái cho đồ thị của hàm số. Tuy nhiên, nó cũng khiến T1a bị kéo xa khỏi T1 xét về mặt kỹ thuật. Ngược lại, kiểu nhiệm vụ T1b được cho trong phạm vi hình học nhưng được giải bằng kỹ thuật đại số mặc dù kỹ thuật đồ thị vẫn còn giá trị. Có lẽ các tác giả sách giáo khoa muốn thông qua sự lựa chọn này để khắc sâu sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong hai kiểu nhiệm vụ T1a, T1b.
Dù thế, kỹ thuật đồ thị chỉ can thiệp vào kiểu nhiệm vụ T1a với số lượng bài tập rất T1a. Biện luận số nghiệm của
phương trình chứa tham số T1b. Biện luận theo tham số số giao điểm của hai đường T1. Giải và biện luận phương trình
chứa tham số
T2. Định giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
ít (5/117 bài) kèm theo sự yêu cầu tường minh của đề bài. Kỹ thuật đại số được huy động trong ba kiểu nhiệm vụ còn lại với số lượng bài tập áp đảo (112/117 bài). Điều này khiến chúng tôi đi đến giả thuyết “tạm thời” H0 mà chúng tôi sẽ còn trở lại trong các phần sau: Để giải quyết các bài toán liên quan đến giải và biện luận phương trình chứa tham số, học sinh lớp 10 ưu tiên kỹ thuật đại số hơn kỹ thuật đồ thị
ngay cả khi kỹ thuật đồ thị là kỹ thuật tối ưu. Các em chỉ sử dụng kỹ thuật đồ thị
khi đề bài yêu cầu tường minh.
Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số sẽ được sách giáo khoa lớp 12 xử lý thế nào, nhất là sau khi học sinh đã học xong bài khảo sát và vẽ đồ thị hàm số? Chúng tôi cố gắng đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi này trong phần tiếp theo.