2. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm
2.3. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm
y= x + x −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 3 2
2x +3x − =1 m (Tốt nghiệp THPT năm 2008). Cho hàm số 1 3 3 5 4 2 y= x − x+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2
3
y= − +x x .
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2
3 0
x x m
− + − =
(Tốt nghiệp THPT năm 2006).
Và lời giải mong đợi trích từ đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo đều là dùng kỹ thuật đồ thị tức là đã chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt.
Nhận xét.
Rõ ràng kỹ thuật đồ thị tối ưu hơn kỹ thuật đại số trong bài toán trên. Hay nói cách khác việc chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt là chiến lược mong đợi của kiểu nhiệm vụ T1a trong một số điều kiện và ràng buộc:
Ở bài tập của sách Bài tập Giải tích 12 (bài tập 1.28 trang 22) là phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ở các đề thi tốt nghiệp thì phương trình bậc ba chứa tham số thường không đoán được nghiệm nguyên. Kết hợp với kết quả phân tích chương 1 thì rõ ràng kết quả này phù hợp với yêu cầu của chương trình Toán bậc THPT là đối với phương trình bậc ba tổng quát chứa tham số mà không đoán nghiệm nguyên thì chuyển đổi phạm vi từ đại số sang hình học (hoặc giải tích) để giải.
Đối với kiểu nhiệm vụ T1a thì ở Đại số 10 nâng cao (kể cả sách giáo khoa và sách bài tập) kỹ thuật giải được đề nghị ngay trên đề bài (yêu cầu tường minh “sử dụng đồ thị”). Đến lượt mình, sách Giải tích 12 nâng cao mặc dù không yêu cầu như học sinh lớp 10 nhưng kỹ thuật được các tác giải sách giáo khoa ưu tiên là kỹ thuật đồ thị vì lúc này học sinh đã học xong khảo sát hàm số (như kết quả phân tích chương 1). Như vậy có thể khẳng định rằng một ràng buộc để học sinh sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình là đề bài yêu cầu dùng đồ thị. Và các phương trình được
cho có các đặc trưng sau đây:
- Phương trình ban đầu có thể biến đổi được về dạng f(x) = g(m) bao gồm cả trường hợp y = m; đồ thị hàm số y = f(x) có thể vẽ được bằng các kỹ thuật, công nghệ đã biết;
- Hai vế của phương trình là các hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Vượt ra khỏi sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích 12 nâng cao chúng tôi thắc mắc thắc liệu các đề thi tú tài và đại học cao đẳng trong những năm gần đây20 có xuất hiện lại các bài toán như kiểu nhiệm vụ trên không và lời giải mong đợi là gì?
Kết quả là không có đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nào có bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1a, mà chỉ có các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T2. Có phải yêu cầu khá đơn giản của kiểu nhiệm vụ T1a trong các sách giáo khoa và đề thi tú tài nên trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng không có bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1a? Bởi rõ ràng rằng mức độ yêu cầu trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng cao hơn so với các bài toán trong đề thi tú tài, trong các sách Đại số 10 và Giải tích 12.
Như vậy đối với kiểu nhiệm vụ T1a có sự thực hiện việc chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt, đặc biệt hơn là sau khi học sinh 12 học xong chương khảo sát hàm số.
Kiểu nhiệm vụ T2. Định các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.
Xét bài tập 1.68 trong sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 1 ( ) 1 x x f x x + + = + b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số 2 1 . 1 x x y x + + = + c) Với các giá trị nào của m, phương trình
2 1 1 x x m x + + = + có bốn nghiệm phân biệt?
(Sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao, bài 1.68, trang 24)
Lời giải của sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao, trang 58.
b) Giữ nguyên phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành, ta được đồ thị của hàm số
20Chương trình thí điểm phân ban được thực hiện từ năm 2006 nên những đề thi trước đây có một số phần có yêu cầu khác.
2 1 1 x x y x + + = + c) m > 3. Hướng dẫn. b) Vì 2 1 0
x + + >x với mọi x∈Rnên
2 2 1 1 ( ) . 1 1 x x x x y f x x x + + + + = = = + + c) Sử dụng đồ thị của hàm số y= f x( ) .
Lời giải trên đã sử dụng kỹ thuật đồ thị ở câu c), trước đó câu a) và câu b) đã yêu cầu vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= f x( ) .Việc đề bài cho trong môi trường có đồ thị đã tạo điều kiện cho việc dùng kỹ thuật đồ thị thông qua chi tiết là các tác giả sách giáo khoa đã đề nghị “Sử dụng đồ thị của hàm số y= f x( ) .”
Kỹ thuật đồ thị trong bài toán trên tương tự như kỹ thuật đồ thị để giải kiểu nhiệm vụ T2 chỉ khác ở chổ phải biến đổi đồ thị từ đồ thị hàm số y = f(x) sang đồ thị của hàm số y= f x( )bằng các kỹ thuật đã biết.
Đây là điều khác so với chương trình Đại số 10 nâng cao, tức là bài toán giải và biện luận phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở lớp 10 thì sử dụng kỹ thuật đại số, nếu có sử dụng kỹ thuật đồ thị thì đề bài yêu cầu tường minh “dùng đồ thị” (đó là bài tập 1.62 của sách Bài tập Đại số 10 nâng cao).
Còn ở lớp 12 thì sau khi đã học xong khảo sát hàm số thì thể chế lớp 12 sử dụng đồ thị để giải, dẫn chứng bài tập 1.68 ở trên. Có thể nói rằng kiểu nhiệm vụ T2 là “môi trường thuận lợi” cho kỹ thuật đồ thị “sinh sống” – trong trường hợp này là phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phải chăng khi gặp phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số mà đề bài yêu cầu biện luận số nghiệm hoặc định giá trị của tham số để phương trình thỏa điều kiện cho trước thì học sinh ưu tiên dùng kỹ thuật đồ thị để giải? Chúng tôi sẽ phát biểu điều này trong một giả thuyết nghiên cứu ngay sau đây.
Hơn nữa, kỹ thuật đồ thị trong trường hợp này có tối ưu hơn không? Tại sao các tác giả sách giáo khoa ưu tiên dùng kỹ thuật đồ thị trong bài toán trên? Có hay không ứng xử của học sinh đối với bài toán này là dùng kỹ thuật đại số, ngay cả trường hợp kỹ thuật đại số là tối ưu. Sau khi học sinh đã biết phương pháp tổng quát để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, ngoài các kỹ thuật đã nêu trong phân tích chương 1 thì đối với kiểu nhiệm vụ T2 còn có thêm kỹ thuật nào khác không?
Xét bài tập 1.33 trong sách Bài tập Giải tích 12:
Cho hàm số y = x3 + mx2 – 3. (1)
a) Xác định mđể hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu. b) Chứng minh rằng phương trình
x3 + mx2 – 3 = 0 (2)
luôn luôn có một nghiệm dương với mọi m∈R.
c) Xác định mđể phương trình x3 + mx2 – 3 = 0 có một nghiệm duy nhất. (Sách Bài tập Giải tích 12, bài 1.33, trang 24)
Lời giải của sách Bài tập Giải tích 12, trang 58:
Câu a) và câu b) chúng tôi không xét, chỉ xét câu c) sau đây:
c) Phương trình f(x) = x3 + mx2 – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là
( ) ( ) 3 3 3 3 2 0 0 3 8 4 3 3 0 27 9 8 12 81 0 m f f m m m m − > ⇔ − − + − > ⇔ − + > ( ) 3 3 3 4 81 3 0 . 4 m m m ⇔ < ⇔ < ≠ 21
Qua lời giải trên chúng tôi nêu ra thêm một kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T2 như sau, gọi là kỹ thuật cực trị của hàm số bậc ba:
+ Đặt vế trái của phương trình đã cho là f(x) với f(x) là một hàm số bậc ba chứa tham số. Xác định các điểm cực trị của hàm số.
+ Nếu hàm số không có cực trị thì phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu hàm số có hai cực trị, giả sử hai điểm cực trị là x1 và x2.
Xét sự tương giao giữa các giá trị cực đại và cực tiểu với trục hoành có kết quả sau:
Nếu f(x1).f(x2) > 0 thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ; Nếu f(x1).f(x2) < 0 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ; Nếu f(x1).f(x2) = 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
+ Từ điều kiện của bài toán ta chuyển sang giải các bất phương trình và phương trình trên (nếu có) để tìm các giá trị của tham số.
Công nghệ biện minh cho kỹ thuật.
- Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba được sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao nêu ra ở các trang 64, 65, 66.
- Cách tìm các điểm cực trị của một hàm số (định lý 1, 2 trang 11, 12 sách Giải tích 12 nâng cao).
- Cách giải các bất phương trình (phương trình) bậc nhất, bất phương trình bậc hai
(phương trình) được trình bày ở Đại số 10 nâng cao.
Sau đây chúng tôi xét tiếp ví dụ trong sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao (bài tập 1.61 trang 22).
Với giá trị nào của m, phương trình
4x3 – 3x – 2m + 3 = 0 có một nghiệm duy nhất?
Lời giải của sách bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 56.
m < 1 hoặc m > 2.
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 4x3 – 3x + 3 = 2m.
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = 4x3 – 3x + 3 và đường thẳng y = 2m.
Lập bảng biến thiên của hàm số y = 4x3 – 3x + 3. Từ đó dễ dàng tìm được các giá trị của m sao cho đường thẳng y = 2m cắt (C) tại đúng một điểm.
Lời giải được các tác giả sách giáo khoa ưu tiên là dùng kỹ thuật bảng biến thiên
(thực chất đây là kỹ thuật đồ thị mà chúng tôi đã nêu ở chương 1, chỉ khác ở chổ kỹ thuật bảng biến thiên không vẽ đồ thị hàm số như kỹ thuật đồ thị). Một số hàm số có thể lập được bảng biến thiên nhưng vẽ đồ thị của nó không được các tác giả sách giáo khoa cung cấp (các yếu tố công nghệ - lý thuyết không có trong chương trình), chẳng hạn các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Thông qua bài tập 1.61 của sách Bài tập Giải tích nâng cao 12 để các tác giả giới thiệu thêm một kỹ thuật để giải các bài toán như trong đề thi đại học, cao đẳng (tức là dùng bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của một phương trìnhh hoặc tìm giá trị tham số thỏa điều kiện cho trước)
Như vậy ta thấy các bài toán liên quan đến phương trình bậc ba mà có thể biến đổi được về dạng f(x) = g(m) (*) đều được giáo viên và học sinh ưu tiên dùng kỹ thuật đồ thị (hoặc kỹ thuật bảng biến thiên). Chúng tôi thống kê có 04 bài toán về hàm số bậc ba trong chương trình Giải tích 12 sử dụng kỹ thuật đồ thị.
Nếu dựa vào kỹ thuật trên đây (tương tự như bài tập 1.33 của sách Bài tập Giải tích 12, trang 23, 24) chúng tôi có thể trình bày lời giải “giả định” cho bài toán 1.61 trang 22 sách Bài tập Giải tích 12nâng caonhư sau:
Phương trình f(x) = 4x3 – 3x – 2m + 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là ( )( ) 1 1 0 2 2 2 2 4 2 0 2 1 f f m m m m − > ⇔ − − > ⇔ > ∨ <
Kết luận rằng kỹ thuật đồ thị thường được huy động khi đề bài được cho có hàm số bậc ba (dĩ nhiên phương trình ban đầu có thể biến đổi được về dạng (*)):
Nhận xét.
Ta thấy lời giải 2 “tốn kém” hơn lời giải 1 (bài tập 1.28 trang 22 sách Bài tập Giải tích 12), thậm chí nếu dùng kỹ thuật đại số như lời giải 2 có thể dẫn đến bế tắc!
Từ bài toán trên ta có thể kết luận rằng: Đối với những phương trình vô tỉ (cụ thể là phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối) và phương trình bậc ba không nhẩm được nghiệm thì giáo viên và học sinh ưu tiên sử dụng đồ thị hay sử dụng kỹ thuật bảng biến thiên22 để biện luận số nghiệm của một phương trình hoặc tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Đối với bài tập 1.33 trang 24, sách Bài tập Giải tích 12 các tác giả không ưu tiên sử dụng kỹ thuật đồ thị (hoặc kỹ thuật bảng biến thiên) mà ưu tiên sử dụng kỹ thuật cực trị của hàm bậc ba. Theo chúng tôi vì phương trình ban đầu được chọn với biến dạy học là tham số m ở vị trí của x2, nếu biến đổi phương trình đã cho về dạng3 2x3 m
x
− =
(x≠0) thì phải xét trường hợp x = 0 (chỉ rõ x = 0 không phải là
nghiệm của phương trình). Việc khảo sát sự biến thiên của hàm số y 3 2x3 x
−
= khá phức tạp! (cụ thể giải phương trình y’ = 0 tức là phương trình – x3 + 2x2 – 6 = 0 vớix≠0không tìm được nghiệm nguyên).
Như vậy, theo kết quả phân tích trên chúng tôi nhận thấy có ba kỹ thuật để giải quyết phương trình bậc ba chứa tham số:
Kỹ thuật 1 (kỹ thuật đồ thị): giống kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ T1a (hoặc kỹ thuật
bảng biến thiên, tức là không vẽ đồ thị mà chỉ sử dụng bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình)
Phạm vi hợp thức:
Phương trình bậc ba chứa tham số ban đầu có thể biến đổi được về dạng ax3 + bx2 +
cx + d = g(m), trong đó a, b, c, d là các hằng số; m là tham số.
Kỹ thuật 2 (kỹ thuật đại số):
Đoán một nghiệm của phương trình bậc ba.
Đưa vế trái của phương trình đã cho về dạng tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số để tìm các giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
22Kỹ thuật bảng biến thiênmà chúng tôi đề cập ở đây là sử dụng các ứng dụng của đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số và các dạng đồ thị hàm số bậc ba để kết luận số nghiệm của phương trình bậc ba chứa tham số, chẳng hạn như lời giải của bài tập 1.33, trang 24, Sách Bài tập Giải tích 12.
Phạm vi hợp thức: Phương trình bậc ba chứa tham số ban đầu có thể đưa được về dạng tích của một nhị thức bậc nhất với tam thức bậc hai
Kỹ thuật 3 (kỹ thuật cực trị của hàm bậc ba). Công nghệ biện minh cho kỹ thuật trên:
Dựa vào các dạng của đồ thị hàm số bậc ba suy ra kết quả;
Gọi vế trái của phương trình đã cho là f(x) và x1, x2 là hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x). Ta có:
Nếu f(x1).f(x2) < 0 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt;
Nếu f(x1).f(x2) = 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm (một nghiệm đơn, một nghiệm kép);
Nếu f(x1).f(x2) > 0 thì phương trình đã cho có một nghiệm.
Từ những kết quả trên chúng tôi có thể khẳng định điều kiện và ràng buộc để học sinh chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải và biện luận phương trình chứa tham số là:
Khi kỹ thuật đại số “tốn kém” hoặc thậm chí không thể sử dụng được23. Đặc biệt, khi phương trình đang xét là phương trình bậc ba không thể nhẩm nghiệm nguyên,