8. Cấu trúc luận văn
2.3.1. Vận dụng trong tình huống dạy học khái niệm
Trong môn Toán việc dạy học các khái niệm có một vị trí quan trọng hàng đầu. Thực tiễn dạy học cho thấy HS không giải được bài tập phần lớn là do
không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán.
Như chúng ta đã biết, các khái niệm giải tích lớp 11 như giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm,... là những khái niệm khó và trừu tượng. Vì vậy, trong quá trình dạy học, GV nên tạo ra các tình huống học tập liên quan đến khái niệm cần dạy để HS suy nghĩ, tìm mối liên hệ giữa các kiến thức đã biết với khái niệm cần học để từ đó dần hình thành khái niệm mới cho HS theo các trình tự và yêu cầu của dạy học khái niệm.
a. Vận dụng mô hình đơn môn và đa môn trong tình huống dạy khái niệm giới hạn.
Khái niệm giới hạn là cơ sở của giải tích toán học, giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Có một khó khăn nhất định về tâm lý trong việc hình thành khái niệm giới hạn cho học sinh, vì trước khi học giới hạn, học sinh quen tư duy kiểu hữu hạn, rời rạc nay mới làm quen với vô hạn, giới hạn, liên tục. Vạn sự khởi đầu nan, học sinh hiểu khái niệm của dãy số, sau này học giới hạn của hàm số sẽ nhàn.
Khái niệm giới hạn trong SGK thì có nhiều, nhưng trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ vận dụng mô hình DH theo hướng tích hợp đơn môn hoặc đa môn vào một khái niệm giới hạn cụ thể.
Ví dụ 2.14: Dạy khái niệm dãy số có giới hạn là 0
Nhằm thu hút HS tham gia vào hoạt động học tập khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn, GV giới thiệu nghịch lí Zenon (để tạo hứng thú và bớt căng thẳng cho HS) sau đây: “D’Elec Zenon (496 - 429) một triết gia người Hi Lạp cổ đại, đã đưa ra bài toán A-sin đuổi theo rùa và lập luận như sau: A-sin là một lực sĩ trong thần thoại Hi Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Giả sử A-sin xuất phát tại vị trí a1 và rùa xuất phát tại vị trí t1. Khi A-sin đến điểm a2 = t1, thì rùa chạy lên phía trước tại vị trí t2. Khi A-sin đến vị trí a3 = t2, thì rùa đến vị trí t3,... Quá trình này tiếp tục vô hạn và được minh họa như sau”:
Hình 2.5. Mô hình minh họa các vị trí của A-sin và rùa
GV: Với lập luận như trên, theo em A-sin có đuổi kịp rùa không? GV: Theo em, kết luận đó có đúng không? Vì sao?
Theo lập luận trên, HS có thể nhận thấy rằng A-sin không thể đuổi kịp rùa. Tuy nhiên, từ thực tế cuộc sống HS có thể nhận thấy điều này là không đúng.
GV đặt vấn đề vào bài học: Như vậy, chúng ta nhận ra được là lập luận trên không đúng, nhưng có thể vận dụng kiến thức Toán học nào để chứng tỏ lập luận trên là sai? Bài học hôm nay sẽ giúp chúng ta sẽ đi tìm hiểu kiến thức như vậy. Trước hết xét bài toán sau:
Cho dãy số (un) với un = 1
n
a) Biểu diễn 5 số hạng đầu của dãy trên trục số? b) Tìm n để: Khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 1 ; 1
100 1000?
c) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ từ un đến 0 nhỏ hơn
1 1
;
100 1000?
Học sinh dễ dàng làm được bài toán trên vì đây là một bài toán về dãy số và giải bất phương trình của lớp 10. Đặc biệt là sử dụng trục số (thường dùng trong đại số) để HS thấy rõ hơn khoảng cách từ un đến 0 càng nhỏ khi n càng tăng.
GV: Kết quả của hoạt động b), c) muốn khẳng định điều gì?
GV mong muốn HS trả lời: khẳng định un nhỏ hơn một số dương bé cho trước, đó là 1 ; 1
100 1000 kể từ số hạng thứ 101, 1001(theo thứ tự) trở đi.
GV: Liệu khẳng định trên có đúng trong trường hợp tổng quát không? Em nào có thể phát biểu khẳng định đó?
Nhờ sự chuẩn bị bài ở nhà, GV mong muốn HS trả lời được là un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi và khẳng định với HS rằng, ta có thể chứng minh được mệnh đề tổng quát, nhưng ở đây ta thừa nhận theo quy định của chương trình.
Sau khi các vấn đề đã được giải quyết, GV nhấn mạnh đặc trưng '' un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi '', rồi thông báo rằng, với đặc trưng này, (un) được gọi là dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực. Sau đó, GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa khái niệm giới hạn 0 của dãy số và giúp HS chỉnh sửa lại phát biểu này để đi đến định nghĩa chính thức, hoặc đơn giản hơn là yêu cầu HS đọc định nghĩa trong SGK. Đặc biệt lưu ý HS kí hiệu giới hạn.
Để củng cố khái niệm trên cho HS, GV đưa ra ví dụ sau: Hãy minh họa và giải thích cho định nghĩa dãy số có giới hạn là 0 của dãy số ( 1)2n
n
− ?
Khái niệm dãy số có giới hạn là 0 còn có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn như bài tập 1, trang 121, SGK Đại số và Giải tích 11(cơ bản), và thường dùng để chứng minh một dãy số có giới hạn bằng 0 chứ nó không phải là công cụ hữu hiệu để tìm giới hạn của một dãy số bất kì.
Tiếp xúc lần đầu với một khái niệm của Giải tích, gắn liền với tư tưởng vô hạn, chắc chắn HS sẽ gặp nhiều khó khăn. Do vậy, việc đưa ra các hoạt động trên đã thể hiện cả ba mặt trực giác số, trực giác hình học và suy luận nhằm hình thành ở HS hình ảnh ban đầu về khái niệm dãy số có giới hạn là 0.
Tuy giới hạn là một khái niệm khó, nhưng nếu GV có sự chuẩn bị công phu trước khi đưa ra định nghĩa này cho học sinh bằng cách cho học sinh thực hiện những hoạt động toán học đơn giản, hoặc quen thuộc (dựa vào các kiến thức toán học như: dãy số, trục số, khoảng cách giữa hai điểm, giá trị tuyệt đối, giải bất phương trình,...), trên cơ sở những hoạt động đó, dần dần cho học sinh làm quen với những yếu tố của khái niệm giới hạn. Như vậy, theo cách dạy này, GV đã vận dụng mô hình tích hợp ''trong nội bộ môn toán'' vào dạy khái niệm giới hạn của dãy số có giới hạn là 0 và cách dạy này cũng phù hợp với quy luật nhận thức ''Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng''.
Sau khi học xong khái niệm giới hạn của dãy số, GV yêu cầu HS vận dụng kiến thức đó để làm rõ vì sao nghịch lí ''A-sin không đuổi kịp rùa''. Để đơn giản, GV chỉ xét một trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự): “Giả sử rằng Asin chạy với vận tốc 100 km/h, còn rùa chạy với vận tốc 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở vị trí cách A-sin 100 km''.
Để thực hiện được yêu cầu trên, HS cần xác định được thời gian mà Asin đuổi rùa, bằng cách tính tổng thời gian A-sin chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1km, 1
100km,.., 1
100n km,... Tuy nhiên, nếu HS gặp khó khăn trong việc tìm mối liên hệ vấn đề cần giải quyết với kiến thức giới hạn thì GV hỗ trợ bằng cách gợi ý các em hãy xem các giá trị về thời gian để đi hết 1, 2, 3...n, quãng đường trên là một dãy số
Tn. Từ đây, HS nhận ra được thời gian để đi hết các quãng đường trên là: T = 1 + 1
100
+ 2 1
100 +... + 1
được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà A-sin đuổi kịp rùa. Để biết được điều đó, bắt buộc HS phải suy nghĩ tính tổng T, quan sát tổng T nhận thấy đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội 1
100
q= , nên ta có: T = limTn = lim100
99 (1 - 1
100n ) = 100
99 . Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau 100
99 giờ.
Qua nghịch lí Zê-nông, HS đã bắt đầu ý thức được về sự hạn chế của các phép toán và quy tắc đại số trong việc giải quyết các vấn đề liên quan tới sự vô hạn. Ngoài ra, làm cho HS ý thức được về tầm quan trọng của khái niệm giới hạn và có nhu cầu, hứng thú nghiên cứu nó.
Vận dụng mô hình đơn môn, hay mô hình tích hợp ''trong nội bộ môn toán'', tương tự từ khái niệm dãy số có giới hạn là 0, GV tiếp tục dẫn dắt HS tiếp cận khái niệm dãy số có giới hạn khác 0, dãy số có giới hạn vô cực, rồi từ một số tính chất của hàm số và giới hạn của dãy số hình thành khái niệm giới hạn của hàm số. Nhờ khái niệm và tính chất giới hạn của hàm số tại một điểm làm nảy sinh khái niệm hàm số liên tục tại một điểm,...
Trong quá trình dạy các khái niệm trên theo hướng tích hợp đơn môn nói riêng thì một trong những công việc quan trọng của GV là xác định được quy trình DHTH, trong đó bước tìm các kiến thức tích hợp hay lựa chọn, tìm mối liên hệ giữa những nội dung kiến thức đã biết để giúp HS phát hiện khái niệm mới là một công việc không dễ, đòi hỏi người GV phải tốn công, tốn sức khi nghiên cứu bài dạy. Cần phải căn cứ vào nội dung bài học để lựa chọn kiến thức tích hợp phù hợp và có ý nghĩa. Đây chính là nền tảng để HS có thể hiểu một cách sâu sắc về khái niệm, tạo lập cho bản thân cách suy nghĩ. Từ đó có thể khai thác, khám phá, hình thành được các ý tưởng mới về phương pháp, kết quả liên quan đến khái niệm, thuận lợi hơn trong việc giải quyết các bài tập.
b. Vận dụng mô hình đơn môn và liên môn trong tình huống dạy khái niệm đạo hàm
Ta đã biết, đạo hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất, quan trọng nhất của Giải tích toán học. Khái niệm đạo hàm có xuất xứ từ những bài toán thực tiễn, kĩ thuật khác nhau trong Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học,...Các bài toán này có bản chất rất khác nhau như tính vận tốc tức thời của một chuyển động, tính cường độ tức thời của một dòng điện, tính tốc độ phản ứng hóa học tức thời,...nhưng lại có chung nội dung toán học là giới hạn dạng:
0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − .
Trong thực tế, bất kì giáo viên nào có kinh nghiệm giảng dạy cũng dễ dàng nhận thấy rằng nhiều HS tính đạo hàm rất nhanh nhưng lại không nắm vững định nghĩa đạo hàm. Một trong những lí do chính là HS quen làm toán máy móc nhưng lười
suy nghĩ để tìm hiểu bản chất của khái niệm. Nên để hình thành khái niệm đạo hàm cho HS, GV cần coi trọng việc trình bày các bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm đạo hàm. Phương pháp dạy học đó thực ra GV đã vận dụng dạy học khái niệm theo hướng tích hợp liên môn.
• B1.Giai đoạn công cụ ngầm ẩn:Giải các bài toán
1)Vận tốc trung bình(nhắc lại)
Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục OS có phương trình là: S=f(t), trong đó S là quãng đường (tính theo m) và t là thời gian (tính theo giây).
O A B S f(t0) f(t) 0 0 ( ) ( ) ttbt f t f t v t t − =
− là vận tốc trung bình (đại lượng biểu thị sự nhanh chậm
của chuyển động trong khoảng thời gian giữa t0 và t (hay trên quảng đường A và B) • Câu hỏi gợi vấn đề:
Đại lượng nào biểu thị sự nhanh chậm của chuyển động tại chính thời điểm t0?
2) Bài toán vận tốc tức thời:
• Bài toán:Một chất điểm chuyện động thẳng trên trục OS có phương trình: S=f(t)
Tìm đại lượng biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại chính thời điểm t0. • Ý tưởng:
+ Nếu khoảng thời gian giữa t và t0 càng bé thì 0 0 ( ) ( ) ttbt f t f t v t t − = − càng biểu thị trung thực hơn độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0
+ 0 0 0 ( ) ( ) lim t t f t f t t t → −
− (nếu có) chính là đại lượng biểu thị chính xác nhất độ
nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. • Công cụ: Như vậy đại lượng
0 0 0 ( ) ( ) lim t t f t f t t t → − − trở thành công cụ cho phép
xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. Đại lượng này được gọi là “ vận tốc tức thời” của chuyển động tại thời điểm t0 (một khái niệm mới ra đời). Điều này dẫn tới định nghĩa sau:
Định nghĩa: 0 0 0 ( ) ( ) lim t t f t f t t t → −
− (nếu có) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển
động tại thời điểm t0, kí hiệu VTT(t0). Như vậy: VTT(t0) = 0 0 0 ( ) ( ) lim t t f t f t t t → − −
Ví dụ: Cho chất điểm chuyển động thẳng có phương trình là S= f(t) = t2 - t a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t0= 3s đến t1=3,1s b) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t0= 3s đến t1=3,01s
c) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0= 3(s). so sánh với hai vận tốc trung bình trước.
3) Bài toán tiếp tuyến đường cong
- Định nghĩa:
Cho đường cong phẳng (C). M0 là một điểm cố định trên (C). M là điểm đi động trên (C).
a) Đường thẳng MM0 gọi là cát tuyến của (C).
b) Khi M di chuyển trên (C) về phía M0, nếu cát tuyến MM0 tiến tới một vị trí giới hạn M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại M0. M0 gọi là tiếp điểm.
•Câu hỏi gợi ý vấn đề: làm sao xác định tiếp tuyến này ?
- Hệ số góc của đường thẳng.
•Nhắc lại: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b, khi đó số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. Người ta chứng minh được a = tgφ, trong đó φ là góc hợp bởi đường thẳng d với chiều dương của trục hoành.
•Chú ý: Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và hệ số góc. Như vậy, tiếp tuyến tại M0 hoàn toàn xác định khi biết hệ số góc của nó.
- Hệ số góc của tiếp tuyến.
•Bài toán: xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) phương trình y = f(x)
•Ý tưởng: Đường cong (C) có phương trình là y = f(x) M0 nằm trên (C) ⇒ M0(x0;y0) với y0 = f(x0).
M di động trên (C) ⇒ M(x;y) với y = f(x)
Khi M → M0 ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến MM0 → hệ số góc của tiếp tuyến MT Hệ số góc của MM0 là: tg φ = 0 0 (x) (x ) f f x x − − .
Vậy hệ số góc k của tiếp tuyến là:k=
0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − • Công cụ: 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → −
− là công cụ của phép tìm hệ số góc của tiếp
tuyến.
Ví dụ 2.15: Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x)=x2.
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M0 có hoành độ x0=0. b) Xác định tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 có hoành độ 0 3
2 x = vẽ tiếp tuyến này. Giải:b) 2 3 2 3 4 tan lim 3 3 2 x x k x → − = = − k= 3 ⇒tgφ= 3 ⇒φ=600
Phương trình tiếp tuyến (phương trình đường thẳng qua M0 và hệ số góc k) là
3 3
3( )
2 4
y= x− +
B2. giai đoạn đối tượng.
Nhận xét và nêu khái niệm: giới hạn
0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − là một công cụ cho
phép giải quyết rất hiệu quả các bài toán không chỉ trong toán học (xác định tiếp tuyến,..) trong vật lý (vận tốc tức thời, gia tốc,…) mà trong nhiều ngành khoa học khác, chẳng hạn trong hóa học (nhiệt dung..) chính tầm quan trọng của nó mà các nhà bác học đã gán cho giới hạn này một cái tên: đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.