8. Cấu trúc luận văn
2.2.4. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán có nội dung thựctiễn trên cơ
Các tri thức về xác suất và thống kê toán là những tri thức có liên hệ trực tiếp với thực tiễn, do đó dạy học những vấn đề này có điều kiện đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống con người. Quá trình vận dụng các phương pháp xác suất và thống kê toán học vào trong thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng toán học vào giải các bài toán thực tiễn.
- Hiểu theo một nghĩa nào đó, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mô hình toán học phản ánh một sự vật, hiện tượng nào đó. Do đó, trong dạy học những kiến thức về thống kê, xác suất nếu biết khai thác hợp lí thì có thể rèn luyện cho HS kĩ năng mô hình hóa các bài toán XS-TK đồng thời bồi dưỡng cho người học các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
Đối với dạy học thống kê: Dạy học Thống kê phải làm cho HS tự mình có thể giải quyết được bài toán thống kê trong cuộc sống. Điều đó có được khi h s nắm vững và thực hiện thành thạo toàn bộ quy trình vận dụng phương pháp thống kê vào thực tiễn:
Thu thập dữ liệu - Tổ chức dữ liệu - Phân tích và giải thích - Biểu diễn.Đầu tiên có thể xem quá trình thu thập dữ liệu là quá trình thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn. Quá trình này trong chương trình dạy học hiện hành bị cắt giảm. Chúng tôi cho rằng, phải làm cho HS ý thức được lấy thông tin từ tập mẫu là thu nhận thông tin từ thực tiễn. Thông tin đó phải trung thực và phải đại diện cho lớp đối tượng mà mình quan tâm nghiên cứu.
Việc lấy mẫu số liệu, nhiều khi cũng liên quan đến công tác điều tra, do đó các em phải có kỹ năng đặt ra các câu hỏi để lấy được thông tin, không tỏ rathiên hướng, thiên vị. Theo [48],giáo dục toán học phổ thông Mỹ rất chú ý đến công đoạn này. Thông qua công đoạn này ngưòi học được rèn luyện kỹ năng quan sát, biết lọc ra những thông tin phản ánh mối quan hệ bản chất của sự vật hiện tượng. Trong điều kiện dạy học hiện tại ở nước ta, có thể thực hiện một số hoạt động cụ thể sau: Cho HS thu thập số liệu hay tổ chức một hoạt động nhằm xác định mẫu số liệu về một dấu hiệu nào đó. Vấn đề này, có thể xem là công tác chuẩn bị cho dạy học trên lớp. Chẳng hạn, có thể yêu cầu từng tổ (nhóm) HS điều tra: mức thu nhập của từng gia đình trong một tháng ở một khu phố; đo chiều cao của các HS trong một lớp học;... Chú ý nhắc nhở người học, trong khi lấy mẫu số liệu cần đảm bảo tính ngẫu nhiên và mang tính đại diện.
Thứ hai, việc tổ chức số liệu được thể hiện qua lập bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, cũng có thể xem các mô hình toán của tập mẫu. Nếu như mẫu có thể đại diện cho lớp đối tượng nghiên cứu thì nó có thể xem là mô hình cho vấn đề thực tế đang quan tâm. Do đó, rèn luyện cho HS kĩ năng lậpluận bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp là rèn luyện cho người học kĩ năng xây dựng mô hình toán cho tình huống thực tiễn. Ở đây, một thao tác cần được bổ sung là kĩ năng phân lớp mẫu số liệu, trong dự thảo chương trình 2009 - 2020 đã đề cập đến vấn đề này[21].
Thứ ba, việc nghiên cứu trên các bảng đã trình bày ở trên chính là khai thác chức năng của mô hình, thông qua việc tính các số đặc trưng; từ đó giải thích, đánh giá lại tình huống thực tiễn. Cần cho HS biết ý nghĩa của các số đặc trưng và dùng các số đặc trưng để đánh giá các khía cạnh của sự vật, hiện tượng. Thông thường, người học biết thao tác tính các số đặc trưng; tuy nhiên, không nắm được ý nghĩa của chúng và sử dụng chúng trong ngữ cảnh nào cho phù hợp. Chẳng hạn, đối với mẫu có kích thước đủ lớn (thông thường n 10) và độ lệch giữa các phần tử không quá lớn thì số trung bình có thể đại diện cho mẫu đang xét. Có thể đưa ra các ví dụ cụ thể sau, cho HS thấy được điều đó.
a) Vận dụng hợp lí kiến thức liên môn
Ví dụ 2.4: (Liên môn Vật lí) Khi dạy về khái niệm phép thử, để lấy phản hồi ví dụ về phép thử ngẫu nhiên, GV có thể lấy ví dụ sau để minh họa:
Khi cho cuộn dây quay đều trong từ trường của một thanh nam châm, kết quả là chắc chắn xuất hiện dòng điện trong cuộn dây. Đây là một phép thử không ngẫu nhiên.
Hình 2.2. Hiệu điện thế theo thời gian
Ví dụ này, giúp HS hiểu rõ hơn khái niệm phép thử, đồng thời thấy được ứng dụng của Toán học vào Vật lý.
Ví dụ 2.5: (Liên môn Sinh học) Khi dạy quy tắc cộng xác suất, SGK Đại số và giải tích 11, GV có thể lấy ví dụ:
Ở chuột, màu lông do một gen có hai alen, alen B quy định lông đen trội hoàn toàn so với b lông trắng cho phép lai p: Bbxbb. Tính XS thu được một con đen và một con trắng.
Lời giải
Có hai khả năng thu được một con đen và một con trắng - TH1: Con thứ nhất đen, con thứ hai trắng với xác suất là: - TH 2: Con thứ nhất trắng, con thứ hai đen với xác xuất là:
Vậy xác suất thu được một con đen và một con trắng trong một lứa có hai con là: (ví dụ này dùng để gợi động cơ cho định lí: Quy tắc cộng xác suất)
Kết thúc ví dụ, GV đưa ra một nội dung định lí: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng xác suất của các biến cố đó.
Như vậy, nếu A và B là hai biến cố xung khắc với nhau thì P(A+B)= P(A) + P(B)
Tiếp đó, GV yêu cầu HS phát biểu quy tắc tính xác suất của tổng n biến cố xung khắc nhau
b) Gắn liền với thực tiễn đời sống, sản xuất
Ví dụ 2.6: Phân tích số liệu thống kê về Internet và di động tại Việt Nam tháng 1 năm 2014.
Hình 2.3. Số liệu thống kê và internet và di động tại Việt Nam tháng 1 năm 2014
GV hướng dẫn HS đọc số liệu thống kê: Theo báo cáo trên, mức dân số Việt Nam hiện any là hơn 92 triệu người, trong đó, số dân thành thị chiếm khoảng 27 triệu người (31%) và số dân cư nông thôn là 56 triệu người (70%). Cùng với sự phát triển của xã hội, sự thâm nhập của Internet vào đời sống của người dân cũng ngày một tăng cao. Theo điều tra, hiện nay, số lượng người sử dụng Internet đã chiếm đến 39% trên tổng dân số. Các trang mạng xã hội như Facebook cũng đã thu hút được 22% (20 triệu
người), số lượng thuê bao di động đang hoạt động cũng có một lượng đáng kể đạt mức 134 triệu thuê bao.
Ví dụ này cho thấy, ngoài việc rèn được kĩ năng đọc bảng thống kê, HS còn cảm thấy rất hứng thú khi được biết thông tin về lĩnh vực mình đang cần quan tâm.
Ví dụ 2.7: Công ty nước giải khát Tribeco giới thiệu một loại sản phẩm mới. Để tìm hiểu thị hiếu người tiêu dùng, người ta tiến hành khảo sát 150 người sử dụng loại nước uống này và thu được bảng kết quả sau:
Bảng 1: Kết quả khảo sát về loại nước uống
Thích Không thích Tổng
Nam 57 33 90
Nữ 33 27 60
Câu hỏi 1: Hãy xác định số phần trăm người thích loại nước uống mới và biểu thị thông tin này bằng một loại biểu đồ phù hợp nhất.
Câu hỏi 2: Một số nhân viên bán hàng của công ty dự đoán rằng: khách hàng nữ ưa chuộng hơn khách hàng nam. Dựa vào khảo sát trên, theo em dự đoán trên có đúng không? Hãy lí giải câu trả lời của em.
Lời giải:
HS dễ dàng đọc hiểu số liệu từ bảng biểu. Sử dụng tính toán HS sẽ tính được phần trăm người thích loại sản phẩm mới chiếm 60%.
Dấu hiệu nghiên cứu của bài toán là định tính, nên mô tả các số liệu mẫu bằng biểu đồ hình tròn để biểu thị tỉ lệ phần trăm là phù hợp nhất.
Biểu đồ 2.1
Để trả lời cho câu hỏi 2, HS cần chuyển số liệu về dạng tỉ lệ phần trăm (hoặc dạng tỉ lệ thức). Kết quả tính được: nam 63.3% người ưa thích và nữ có 55% người ưa thích. Từ đó, dựa vào kiến thức thống kê cơ bản để so sánh, rút ra kết luận và lí giải.
Đây là bài toán đòi hỏi kĩ năng dự đoán thống kê. Muốn giải được nó HS cần có các kĩ năng tính toán, kĩ năng chuyển đổi các dạng biểu diễn của số liệu, kĩ năng mô hình hóa thông tin thống kê dưới dạng đồ họa, kĩ năng lập luận, suy luận logic.
Ví dụ 2.8: (Thành tích chạy 100m nam tại Ôlympíc mùa hè): Dưới đây là bảng thống kê sau về thành tích chạy 100 mét (thời gian tính theo đơn vị giây) của các nam vận động viên đạt huy chương vàng tại các thế vận hội Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012:
Bảng 2: Bảng thành tích chạy 100m nam tại các kỳ Ôlympíc mùa hè từ năm 1900 đến năm 2012 Năm 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1948 Số giây 11.0 11.0 10.8 10.08 10.06 10.08 10.03 10.03 10.03 Năm 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 Số giây 10.04 10.05 10.02 10.06 9.95 10.14 10.06 10.25 9.99 Năm 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 Số giây 9.92 9.96 9.84 9.87 9.85 9.69 9.63
Dựa vào các số liệu trên, GV hướng dẫn HS tham gia hoạt động mô hình hóa để tìm ra phương trình mô tả hiện tượng trên và đưa ra dự đoán về thành tích của vận động viên nam tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin). Sử dụng phần mềm toán học để xử lý số liệu và đưa ra được đồ thị hàm số tuyến tính biểu diễn xấp xỉ các giá trị (số giây) theo các năm tổ chức thế vận hội mùa hè như sau:
Kết quả tính toán đưa ra hàm số biểu diễn mối quan hệ tuyến tính của mô hình trên: t = -0,00726264N + 24,3287866, trong đó t là thời gian chạy 100 mét (tính theo đơn vị giây), N là số năm. Từ mô hình này, GV có thể hướng dẫn HS dự đoán về thành tích của nam vận động viên chạy 100 mét tại Ôlympíc mùa hè 2016 tại Rio de Janeiro (Braxin) theo mô hình:
t = -0,00726264.2016 + 24,3287866^9,69 (giây)
Ngoài ra, để tăng cường toán học hóa các tình huống thực tiễn sử dụng mô hình, GV có thể hướng dẫn HS điều tra các số liệu thực tế, tích hợp các kiến thức về môi trường, địa lý, kinh tế,.... Ví dụ như yêu cầu HS phân tích số lượng của một loài động vật nào đó có nguy cơ tuyệt chủng trong khoảng thời gian 10 năm gần đây để từ đó xây dựng mô hình dự đoán về khả năng và thời gian tuyệt chủng của loài động vật này hoặc yêu cầu HS phân tích số lượng xe hơi bán ra tại Việt Nam trong 05 năm gần đây để xây dựng mô hình dự đoán về tốc độ tăng trưởng về số lượng xe hơi, để từ đó đề xuất các giải pháp về giao thông và thuế.
Ví dụ 2. 9: Bảng 3 chỉ ra tiền lương (tính bằng nghìn bảng) trong một tuần của một số cầu thủ trong đội Manchester United (lấy thông tin từ tháng 11 năm 2012), còn biểu đồ 2.2 mô tả bảng số liệu đó.
Bảng 3: Tiền lương của một số cầu thủ đội Manchester United (nghìn bảng)
Tên cầu thủ Tiền lương Tên cầu thủ Tiền lương
Nick Powell 5 Rafael da Silva 40
Federico Macheda 6 Phil Jones 40
Tom Cleverley 20 Chris Smalling 40
Angelo Henriquer 20 Luis Nani 45
Alexander Buttner 25 Jonny Evans 45
Rooney 180 Nemanja Vidic 90
Van Persie 180 Ashley Young 90
Biểu đồ 2.2
Hãy bình luận biểu đồ tần số hình cột trên mô tả bảng số liệu đó.
Biểu đồ hình cột ở trên, che dấu một thông tin khá là quan trọng. Cột thứ nhất tính từ trái sang phải biểu diễn 12 người có mức lương dưới 50 nghìn bảng, trong đó có đến 2 người có mức lương dưới 10 nghìn bảng. Sai lầm này có liên quan đến sự phân lớp cho mẫu số liệu. Sẽ là tốt hơn, nếu biểu diễn bằng biểu đồ 2.3.
Biểu đồ 2.3
Đối với dạy học xác suất: Quá trình vận dụng xác suất vào trong thực tiễn có thể mô tả như sau: Phép thử (sự kiện, hiện tượng) Xây dựng không gian mẫu (mô hình toán của phép thử) Dựa trên không gian mẫu để đánh giá khả năng (xác suất) xảy ra của các tình huống. Trên cơ sở đó, HS dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Dạy học quy trình này cũng có thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS.
tính lôgíc, người học cần có sự liên tưởng đến các tình huống xảy ra trong cuộc sống. Quá trình đó được diễn ra trong đầu HS, các em có thể tự đặt ra những câu hỏi: có những kết quả nào có thể xảy ra khi sự kiện, hiện tượng xảy ra (phép thử thực hiện)? Đây là một quá trình làm việc xây dựng mô hình định tính của HS.
Thứ hai, dạy học xác suất có nhiều vấn đề liên quan đến mô hình toán học: không gian mẫu là mô hình toán của phép thử; xác suất là mô hình toán để lượng
hóa khả năng xảy ra biến cố ngẫu nhiên. Do đó, dạy học phần này có cơ hội để
rèn luyện một số thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Trước hết, thông qua dạy học xác suất ở trường THPT, ta có thể rèn luyện cho HS về mặt ngôn ngữ (cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học) và thông qua đó rèn luyện cho HS kỹ năng mô hình hóa các bài toán xác suất. Điều đó, được thể hiện qua một số hoạt động chính sau:
- Hướng dẫn cho HS dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em khi dùng ngôn ngữ của mình có thể diễn ta biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp.
- Hướng dẫn HS “toán học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy rằng: nhiều HS (ngay cả một số GV) cũng làm tắt bỏ qua công đoạn này, khi giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho HS cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kí hiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để góp phần bồi dưỡng năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho HS xét bài toán sau:
Bài toán: Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác suất để: a. Mặt có số chấm là số nguyên tố xuất hiện.
b. Mặt có số chấm không phải là số nguyên tố xuất hiện.
GV có thể yêu cầu HS lập bảng sau đây để hướng dẫn các em thực hiện các hoạt động sau:
Cái được biểu diễn (cái được kí hiệu) Cái biểu diễn (kí hiệu) Phép thử: Gieo con súc sắc Ω = {1,2,3,4,5,6}Ư A: “xuất hiện số chấm là số nguyên tố” ΩA = {2,3,5} Khả năng xảy ra biến cố A là 1
2
1 P (A)
2
= =
B: “xuất hiện số châm không là số nguyên tố” ΩB = {1,4,6} Khả năng xảy ra biến cố B là 1
2
1 P(B)
2
=
giúp cho người học thấy được sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Thông qua đó, HS cũng thấy được rằng: Q chính là mô hình toán của phép thử thứ tự là các tập hợp mô tả các biến cố A, B. Trong thực tiễn dạy học do không tách bạch rõ ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu cái được biểu diễn nên nhiều HS đã mắc sai lầm.
- Giải thích cho HS khái niệm xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng