8. Cấu trúc luận văn
1.2.7. Một số mô hình dạy học môn Toán theo hướng tích hợp
1.2.7.1. Mô hình đơn môn
Đây là mô hình tích hợp trong chính ngay nội bộ môn Toán, tức là tích hợp những nội dung giải tích với các phân môn hình học, đại số,...các lĩnh vực nội dung của cùng môn Toán. Hay nói một cách khác: mô hình đơn môn là dùng kiến thức nội bộ của một môn học để giải quyết một bài toán nào đó. Chẳng hạn, dùng kiến thức đạo hàm để giải bài toán lượng giác hay đại số...Khi đó, một tình huống mới đặt ra do nhu cầu phát triển của toán học cũng chính là cái gốc ''tích hợp'' của một kiến thức mới. Theo chúng tôi, đây là quá trình tích hợp thường xuất hiện trong SGK, giáo trình môn Toán.
Chẳng hạn, sử dụng kiến thức Giải tích là Giới hạn, tính liên tục và Đạo hàm để giải bài toán phương trình đại số và lượng giác sau:
Ví dụ 1.3: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ: xn + a1xn−1 + a2xn−2 +... + an−1x + an = 0 Lời giải: Đặt f(x) = xn + a1xn−1 + a2xn−2 +... + an−1x + an Hàm số f(x) xác định trênR. Ta có xlim ( )→+∞ f x =xlim→+∞(xn + a1xn−1 + a2xn−2 +... + an−1x + an) = xlim→+∞xn(1 + nn n n x a x a x a x a + + + −− + 1 1 2 2 1 ... ) = +∞. Vì lim ( ) x f x →+∞ = +∞
lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nếu số dương này là 1 thì f(xn) 〉 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) 〉 1. (1)
Tương tự xlim ( )→−∞ f x = −∞ (do n lẻ).
Vì xlim ( )→−∞ f x = −∞ nên với dãy số (xn) bất kì mà xn →−∞, ta luôn có
limf(xn) = - ∞, hay lim[-f(xn)] = + ∞. Do đó, - f(xn) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nếu số dương này là 1 thì - f(xn) 〉 1, kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại số b sao cho - f(b) 〉 1 hay f(b) 〈- 1. (2)
Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) 〈 0. Mặt khác,hàm đa thức f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên [ ]a;b . Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.
1.2.7.2. Mô hình đa môn
Đây là mô hình tích hợp một nội dung, một vấn đề trong các môn học khác nhau theo góc độ mà mỗi môn học đó cho phép. Thí dụ: Nội dung Giáo dục môi trường có thể tích hợp vào nhiều môn học khác nhau như Toán học, Vật lý, Sinh học, Hóa học,... nhưng trong mỗi bộ môn, Giáo dục môi trường có những khía cạnh riêng biệt [37].
Hay nói một cách khác, ''quan điểm tích hợp đa môn là quan điểm theo định hướng: những tình huống, những ''đề tài'', nội dung kiến thức nào đó được xem xét, nghiên cứu theo những quan điểm khác nhau nghĩa là theo những môn học khác nhau. Thí dụ: nghiên cứu giải bài Toán theo quan điểm Toán học, theo quan điểm Vật lý, Sinh học. Quan điểm này, những môn học tiếp tục được tiếp cận một cách riêng rẽ và chỉ gặp nhau ở một số thời điểm trong quá trình nghiên cứu các đề tài. Như vậy, các môn học chưa thực sự được tích hợp'' (Trích dẫn [46, tr. 48]Mô hình này thường được vận dụng trong dạy học Giải tích theo hướng tích hợp kiến thức giải tích vào giải quyết một số bài toán có nội dung thực tế. Do đó, để phù hợp với thực tiễn dạy và học Giải tích, trong luận văn này, bài toán có nội dung tích hợp được chúng tôi hiểu là: Những bài toán do tất cả các tình huống DHTH nói trên đem lại chỉ giới hạn trong phạm vi ''có chứa đựng yếu tố công cụ toán học'' và việc giải thích, làm rõ ''cội nguồn tích hợp hoặc ứng dụng của toán học'' chỉ mang ý nghĩa tương đối, không bắt buộc HS phải hiểu đầy đủ.
Ví dụ 1.4: Người ta xây một cái tháp có tường gạch bao xung quanh. Theo kế hoạch thì số gạch để xây tường tầng 1 là 7500 viên. Cứ lên mỗi tầng số gạch dùng để xây tường giảm đi 700 viên. Hỏi tháp cao bao nhiêu tầng, biết rằng tổng số gạch dùng để xây tường là 42 300 viên.
Ta nhận thấy, số gạch của mỗi tầng theo thứ tự từ dưới lên lập thành một cấp số cộng với u1 = 7 500, d = - 700, tổng các số hạng của nó bằng 42 300.
Giả sử ngôi tháp có n tầng (n nguyên dương), áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng, ta có: 42 300 = 2 ] ) 1 ( 2 [ u1+ n− d n
Thay số vào ta được n = 9. Vậy ngôi tháp cao 9 tầng.
1.2.7.3. Mô hình liên môn
''Mô hình liên môn là mô hình trong đó chúng ta đề xuất những tình huống chỉ có thể được tiếp cận một cách hợp lí qua sự soi sáng của nhiều môn học. Ở đây chúng ta nhấn mạnh đến sự liên kết các môn học, làm cho chúng tích hợp với nhau để giải quyết một tình huống cho trước: các quá trình học tập sẽ không được đề cập một cách rời rạc mà phải liên kết với nhau xung quanh những vấn đề phải giải quyết'' (Trích dẫn [20, tr. 48]). Nội dung môn học tích hợp theo hướng liên môn được cấu tạo thành những phần riêng biệt mang đặc trưng của từng môn hay phân môn nhưng có chung cấu trúc chương, cấu trúc bài và phương pháp nhận thức và đánh giá. Tích hợp nội dung của nhiều môn học (Toán giải tích, Vật lý, Hóa học...) khác nhau trong một chủ đề, trong khi các môn học vẫn độc lập với nhau. Mô hình này hướng việc tích hợp các môn học khác trong nhà trường. Các hoạt động này có thể được tiến hành trong các giờ học toán nhưng cũng có thể được GV các bộ môn khác tiến hành trong khi dạy học các bộ môn đó. Với vai trò là môn học công cụ, nội dung, kĩ năng và các phương pháp toán học xâm nhập vào tất cả các môn học khác trong nhà trường phổ thông. Tập trung khai thác những ứng dụng có tính liên môn, tích hợp như vậy vừa giúp củng cố kiến thức, vừa giúp dạy học hiệu quả các bộ môn nên được các GV khác quan tâm, ủng hộ. Ngoài ra, vận dụng kiến thức liên môn giúp cho giờ học sẽ trở nên sinh động hơn, vì không chỉ có GV là người trình bày mà HS cũng tham gia vào quá trình tiếp nhận kiến thức, từ đó phát huy tính tích cực của HS.
Dạy học theo hướng tích hợp liên môn còn góp phần phát triển tư duy liên hệ, liên tưởng ở HS. Tạo cho HS một thói quen trong tư duy, lập luận, tức là khi xem xét một vấn đề phải đặt chúng trong một hệ quy chiếu, từ đó mới có thể nhận thức vấn đề một cách thấu đáo.
Trong quá trình dạy học GV có thể kết hợp chỉ ra những công cụ Giải tích sẽ được vận dụng trong các loại bài tập của một số bộ môn. Điều này sẽ giúp HS dễ định hướng trong khi giải các bài tập thuộc các bộ môn khác. Chẳng hạn:
Khi dạy về cấp số cộng và cấp số nhân, GV có thể tích hợp một số các bài tập Vật lý, Hóa học hay Sinh học có liên quan. Tích hợp các bài toán kinh tế, các bài tập ứng dụng trong các lĩnh vực sản xuất và đời sống.
Ví dụ 1.5: (Vận dụng cấp số nhân trong Sinh học)
Sinh học là môn khoa học tự nhiên nên nó liên quan nhiều đến toán học. Toán học giúp các nhà sinh học xử lý các thông số sinh học trong nghiên cứu khoa học ở các cấp độ khác nhau của thế giới sinh sống cũng như áp dụng toán học vào dạy học môn sinh học ở trường phổ thông.
Xét bài toán sinh sản của trùng biến hình Amip: Một con Amip sau một giây nó tự phân thành 2 con Amip và cứ sau mỗi giây, mỗi con Amip con ấy lại tự phân ra làm 2. Tính xem sau 25 giây có tất cả bao nhiêu con Amip?
Lời giải:
Sau 25 giây thì số con Amip sẽ là:
S = 1 + 2 + 22 + 23 +... + 225
Nhận thấy tổng S là tổng của một cấp số nhân có 26 số hạng, có u1
= 1 và công bội q = 2. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta được số con Amip cần tìm là:
S = 1. 1 2 1 226 − − = 67 108 863 (con).
Ví dụ 1.6: (Vận dụng cấp số nhân trong Hóa học)
Chu kì bán rã của 1 nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa). Tính khối lượng còn lại của 40 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng sau 20 năm).
Lời giải:
Kí hiệu Un(gam) là khối lượng còn lại của 40 gam poloni sau n chu kì bán rã. Ta có 7314 ngày gồm 53 (= 7314: 138) chu kì bán rã.
Theo giả thiết, ta có dãy số (Un) lập thành cấp số nhân với U1 = 40: 2 =20 và công bội q = 2 1 . Do đó: U53 = 20.( 2 1 )52 ≈ 4,44.10−15(gam).
Như vậy, dạy học theo mô hình liên môn muốn nhấn mạnh đến sự liên kết giữa các môn học, làm cho chúng tích hợp với nhau để giải quyết một tình huống cho trước.
Dạy học theo hướng tích hợp xuyên môn là hình thức chọn những kiến thức cốt lõi, những nội dung giao thoa giữa các môn học với nhau để dạy. Trong cách tiếp cận tích hợp xuyên môn, GV là người tổ chức chương trình học tập xoay quanh các vấn đề và quan tâm của người học, trong đó ''chủ yếu phát triển những kĩ năng mà học sinh có thể sử dụng trong tất cả các môn học, trong tất cả các tình huống, chẳng hạn, nêu một giả thiết, đọc thông tin, thông báo thông tin, giải một bài toán,...Những kĩ năng này là những kĩ năng xuyên môn, có thể lĩnh hội được những kĩ năng này trong từng môn học hoặc trong những hoạt động chung cho nhiều môn học'' (Trích dẫn [38, tr. 48).
Chẳng hạn, khi dạy về đạo hàm có thể cho HS biết rằng, đạo hàm là công cụ hữu hiệu nhất trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần gũi với cuộc sống thực tiễn và một số bài toán ở các môn học khác trong nhà trường phổ thông như Vật lí, Hóa học,...
Ví dụ 1.7: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một tàu chạy về hướng nam với vận tốc 6 hải lý / giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý / giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất?
Lời giải:
Gọi d là khoảng cách giữa hai tàu tại thời điểm t sau khi xuất phát. Ta có: d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7t)2 + (6t)2 Suy ra d = 85t2 −70t +25. Áp dụng đạo hàm, với hàm số d(t) = 85t2 −70t +25, với t ∈ R ta được d nhỏ nhất khi
t =
17 7
(giờ), khi đó ta có d ≈ 3,25.
Ví dụ 1.8: Một nguồn điện với suất điện động E và điện trở r được nối với một biến trở R. Hỏi với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt ở mạch ngoài sẽ đạt cực đại? Lời giải: A B A 1 B 1 d E r R
Theo công thức tính công suất: P = RI2 với I = r R E + . Suy ra 2 2 E R P (R r) = + ,
(R > 0). Áp dụng Đạo hàm ta được P lớn nhất khi R = r.
Ví dụ 1.9:Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít và ôxy. Hãy xác định nồng độ khí «xy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất?
Lời giải: Ta có phương trình phản ứng: 2NO + O2 = 2NO2
Nếu gọi x là nồng độ % của khí NO, y là nồng độ % của khí O2, k là hằng số chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào các chất tham gia phản ứng. Khi đó: Tốc độ của phản ứng trên là: v = kx2y = kx2(100 - x)
= -kx3 + 100kx2 (0 < x < 100)
Áp dụng Đạo hàm ta được v lớn nhất khi x = 66,67 %. Suy ra nồng độ % của khí ôxy là y = 33,33 %.
Trong 4 mô hình tích hợp trên, mỗi mô hình có những mặt mạnh và khó khăn, vì vậy khi áp dụng cần hết sức lưu ý tới những đặc điểm. Tuy nhiên yêu cầu của xã hội và dạy học ngày nay đòi hỏi chúng ta phải hướng tới hai mô hình liên môn và xuyên môn. Mô hình liên môn cho phép việc phối hợp kiến thức, kĩ năng của nhiều môn học để nghiên cứu và giải quyết một tình huống. Mô hình xuyên môn, cho phép phát triển ở HS những kiến thức, kỹ năng xuyên môn để có thể áp dụng trong mọi tình huống, giải quyết vấn đề.
1.3. Dạy học tích hợp với việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn