8. Cấu trúc luận văn
2.1.1. Tổ chức dạy học tích hợp theo hướng theo hướng tiếp cận nội dung toán
toán trong các bài toán PISA
Qua tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về PISA chúng tôi thấy rằng có những thuận lợi sau trong việc khai thác những tư tưởng, bài toán của PISA vào dạy học môn Toán theo hướng tăng cường liên hệ giữa thực tiễn:
- Những kiến thức trong PISA được xây dựng bởi một đội ngũ chuyên gia hàng đầu về giáo dục nên đảm bảo tính hệ thống, tính khoa học, tính chính xác.
- Kiến thức Toán học sử dụng trong PISA có nhiều điểm tương đồng với nội dung chương trình Sách giáo khoa hiện đang sử dụng ở nước ta (trừ nội dung về Xác suất, HS của Việt Nam được học ở lớp 11)
- Nội dung các bài toán trong PISA đều đề cao tính ứng dụng của Toán học vào thực tiễn vừa giúp HS thấy được vai trò quan trọng của Toán học trong cuộc sống vừa hấp dẫn, kích thích được ham muốn tìm tòi, khám phá của các em.
- Những bài tập trong PISA cho thấy nhiều mặt những ứng dụng của toán học trong cuộc sống có thể là nguồn cung cấp tư liệu hữu ích cho hoạt động học tập và giảng dạy.
- Các câu hỏi phân ra nhiều mức độ giúp đánh giá đầy đủ được năng lực tư duy, năng lực ngôn ngữ, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS.
Nội dung toán trong các bài toán của PISA không thuộc chuyên đề toán học rõ ràng nào (Đại số, Giải tích, hình học,…) mà tích hợp chúng trong một bài toán; Các nội dung tích hợp đó ẩn trong các nhiệm vụ (câu hỏi) của bài toán chứ không nêu một cách tường minh như các bài toán truyền thống; Về mặt toán học, các tri thức toán ẩn trong các bài toán PISA cũng khá đơn giản chứ không phức tạp, hàn lâm như những bài toán trong Sách giáo khoa của chúng ta. Do đó, để giải được các bài toán này, không đòi hỏi HS có nhiều tri thức toán, mà đòi hỏi HS cần có năng lực ghi nhớ, vận dụng và khái quát mới có thể làm được.
Nhìn chung các bài toán PISA bao quát được hết các nội dung toán học, bao gồm: Số lượng; Biến thiên và Quan hệ; Hình phẳng và hình khối; Đại lượng và ngẫu
nhiên. Đây là những nội dung tổng quát nhất, không đi sâu vào các chuyên đề cụ thể, một phần là bởi PISA là chương trình đánh giá HS với quy mô quốc tế, nên những nội dung này phù hợp với HS của tất cả các quốc gia mà không phụ thuộc vào chương trình của từng nước; mặt khác, mục tiêu của PISA là đánh giá năng lực, những kỹ năng cần thiết nhất đối với HS trước khi bước vào cuộc sống lao động nên cũng không đòi hỏi những tri thức toán học chuyên sâu. Có thể nói, nội dung toán trong các bài toán PISA khác cơ bản so với những nội dung truyền thống trong Sách giáo khoa Việt Nam, điều đó cũng giải thích vì sao HS của chúng ta có thể giải được những bài toán rất phức tạp (về mặt toán học) nhưng lại rất lúng túng trước các bài toán của PISA. [13]
2.1.1.1. Bài toán của PISA
Các bài toán của PISA đều xuất phát từ bối cảnh, tình huống và những vấn đề thực tiễn của cuộc sống cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu có thể xảy ra hàng ngày. Các bài toán PISA bao phủ toàn bộ nội dung toán cơ bản phổ thông, được thiết kế dưới dạng các bài tập rất sinh động, có hình ảnh, bảng biểu, đồ thị minh họa và thách thức người giải bởi lời dẫn và cách đặt các câu hỏi từ dễ đến khó. Ta tìm hiểu hai đặc điểm nổi trội làm nên tính đặc thù của các bài toán PISA
- Thế giới thực tiễn: Các bài bài toán của PISA có một đặc điểm rất đặc thù và nổi bật đó là đều xuất phát từ các tình huống, các vấn đề của thực tiễn, rất gần gũi với đời sống hằng ngày của cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu như: người đi bộ, tham quan ở trường, băng chuyền, xây dựng hình khối, khúc côn cầu trên băng, tốc độ đua xe, trồng táo, trang trại, diện tích lục địa,... Kèm theo lời dẫn khá lôi cuốn và thách thức, nêu ra các dữ kiện của bài toán là các hình ảnh, mô hình, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị,... làm cho người đọc có cảm giác là mình đang đứng trước thực tiễn đó, đó là vấn đề của mình, tạo hứng thú và động cơ thúc đẩy giải bài toán. Điều này khác xa các bài toán khô khan mà học sinh của chúng ta đang học.
Vì các bài toán của PISA rất gần với thực tế nên ngoài mục đích là đưa ra vấn đề cần giải quyết cho học sinh, bài toán còn cung cấp rất nhiều thông tin bổ ích từ thực tiễn như các môn thể thao, các công nghệ ứng dụng trong đời sống, địa lí thế giới, lịch sử, thời tiết, sản xuất, quản lý nhân sự, điều khiển máy móc,... Do đó, có thể nói các bài toán PISA ngoài là đề thi còn là một hình thức truyền tải bài học đầy kiến thức cho học sinh. Không cần phải bắt các em học, để làm được bài toán các em phải đọc đi, đọc lại, nghiên cứu kỹ bài toán chính là một cách học hết sức hiệu quả của các em rồi mà ngay bản thân các em cũng không biết là mình đang học. Hơn nữa, các bài toán PISA phản ánh các vấn đề thực tiễn gần gũi với học sinh nên tạo cho các em ý thức
xung quanh mình lúc nào cũng tồn tại các bài toán mà mình hoàn toàn có thể giải quyết được, giúp các em tiếp cận với nghiên cứu khoa học và học tập suốt đời.
- Thế giới toán học: Các bài toán của PISA bao phủ hầu như toàn bộ các nội dung toán học cơ bản ở phổ thông: số học, đại số, giải tích, tình học phẳng, hình học giải tích, tập hợp thống kê, tọa độ, đồ thị,... Một bài toán PISA có thể chứa nhiều đơn vị kiến thức của các phân môn khác nhau, nên khi giải cần có kiến thức tổng hợp và phải rất thận trọng khi thực hiện quá trình toán học hóa để giải quyết bài toán. Về độ khó, các bài toán PISA không yêu cầu cao về kiến thức toán cũng như các kỹ năng biến đổi toán học. Xét thuần túy về mặt toán học thì chúng không khó và rất cơ bản. Nếu bài toán đã được toán học hóa thành một bài toán học thuần túy thì đối với học sinh trung bình trở lên ở Việt Nam việc giải chúng không có gì khó khăn. Nhưng các bài toán PISA lại đòi hỏi kỹ năng phán đoán, phân tích, suy luận và đặc biệt là kỹ năng giải quyết vấn đề. Cái khó trong các bài toán này đó là phải thấy được “thế giới toán học trong bài toán” và vận dụng những kiến thức nào của toán học để giải quyết chúng. Như vậy, để giải được các bài toán PISA học sinh cần có kiến thức toán cơ bản và khá tổng hợp; đồng thời, phải thường xuyên được rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề và thực hiện thành thục quá trình toán học hóa.
2.1.1.2. Tiếp cận Quy trình toán học hóa trong các bài toán của PISA a. Hai thế giới và Quy trình toán học hóa trong các bài toán của PISA
Như đã trình bày trên đặc trưng của các bài toán PISA là chứa đựng hai thế giới, thế giới thực tế và thế giới toán học trong mỗi bài toán. Các bài toán PISA luôn xuất phát từ các tình huống thực tiễn thường ngày trong cuộc sống và được giải quyết bởi các công cụ toán học. Việc “dịch mã” từ ngôn ngữ, yêu cầu thực tế sang ký hiệu, ngôn ngữ toán học, chúng ta gọi là quá trình toán học hóa. Quá trình toán học hóa này trong các bài toán của PISA đi theo một quy trình thống nhất như sau:
Sơ đồ 2.1. Quá trình toán học hóa
b. Quy trình 3 giai đoạn toán học hóa
Giai đoạn thứ nhất. Quy trình toán học hóa bắt đầu bằng việc chuyển bài toán từ thế giới thực sang bài toán của thế giới toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề được đặt ra trong thực tế; Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thuyết phù hợp; Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngôn ngữ kí hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến, nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết; Chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học, chẳng hạn như thành một mô hình toán.
Giai đoạn thứ hai. Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa. Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán, toàn bộ quá trình có thế tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về hoàn cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các kết nối và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm: Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau; Dùng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và
Lời giải của Vấn đề thực Giai đoạn thứ nhất Bước 1, 2, 3 G ia i đo ạn th ứ h ai B ư ớc 4 Giai đoạn thứ ba Bước 5 G ia i đo ạn th ứ b a B ư ớc 5
Thế giới thực Thế giới toán học
Vấn đề của Thế giới thực Lời giải Toán học Vấn đề của Toán học
các phép toán; Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; Kết hợp và tích hợp các mô hình; Lập luận; Tổng quát hóa.
Giai đoạn thứ ba. Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặt biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là: Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn chế của nó; Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả.
- Quy trình 5 bước toán học hóa
Bước 1. Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế
Bước 2. Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố toán học tương thích
Bước 3. Dần thoát khỏi thực tiễn thông qua các quá trình: Đặt giả thiết, khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành vấn đề của toán học
Bước 4. Giải quyết bài toán
Bước 5. Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của thế giới thực, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải.
2.1.1.3. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận PISA theo chủđề tích hợp.
Bài toán 1_ Kim nghạch xuất khẩu
a. Xác định nội dung cần học và năng lực cần đạt
Nội dung Thể hiện Năng lực cần đạt Quan hệ, biểu đồ,
Hàm số - đồ thị, sự biến thiên
Câu hỏi 1
- Quan sát
- Tính toán, suy luận - Biểu thị, biểu đạt Câu hỏi 2
- Quan sát
- Tính toán, suy luận - Kết nối
- Lập luận, giải quyết vấn đề Câu hỏi 3
- Liên kết tính toán - Phân tích, so sánh
- - Lập luận, Khái quát hóa
b. Xác định bài toán thực tiễn tương ứng
Biểu đồ sau cho biết các nhóm hàng có kim ngạch xuất khẩu lớn nhất của Việt Nam trong 6 tháng đầu năm 2009 và 6 tháng đầu năm 2010
Biểu đồ 9 nhóm hàng có kim nghạch xuất khẩu lớn nhất 6 tháng đầu năm 2009 và 6 tháng đầu năm 2010
Nguồn: Tổng cục Hải quan
Câu hỏi 1: Từ biểu đồ, bạn hãy cho biết nhóm hàng dệt may có kim ngạch xuất khẩu tăng bao nhiêu phần trăm so với cùng kỳ năm trước (2009). Hãy giải thích cách làm để tính được tỷ lệ đó.
Câu hỏi 2: Theo biểu đồ, bạn hãy cho biết những nhóm hàng nào giảm so với cùng kỳ năm trước (2009) và giảm bao nhiêu phần trăm, hãy chỉ ra cách tính toán thể hiện làm thế nào bạn thu được các con số đó.
Câu hỏi 3: Bạn An cho rằng nhóm hàng dệt may có kim nghạch xuất khẩu tăng ở mức cao nhất trong khi bạn Bình khẳng định nhóm hàng máy móc, thiết bị mới là nhóm hàng có kim nghạch xuất khẩu tăng cao nhất. Hãy đưa ra câu trả lời đúng cho câu hỏi này và giải thích bằng cách nào bạn tìm ra câu trả lời đó.
c. Thực hiện quy trình toán học hóa 3 giai đoạn, 5 bước
Giai đoạn 1. Toán học hóa
Bước 1. Bắt đầu từ một vấn đề đặt ra trong thực tế
Biểu đồ 9 nhóm hàng có kim nghạch xuất khẩu lớn nhất 6 tháng đầu năm 2009 và 6 tháng đầu năm 2010.
Bước 2. Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố toán học tương thích
Đâu là ẩn?Tỷ lệ tăng, giảm kim ngạch xuất khẩu của 9 nhóm mặt hàng
Đâu là dữ kiện?Biểu đồ
Đâu là điều kiện? Tính toán và suy luận dựa trên biểu đồ.
Bước 3. Đặt giả thiết, khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành vấn đề của toán học.
Ngôn ngữ thực Ngôn ngữ toán học
Chúng ta có 9 nhóm mặt hàng Đối số x1; x2; … x9
Kim nghạch xuất khẩu năm 2009 Hàm số f(x)và 2010 Hàm số g(x) Mức chênh lệch kinh ngạch năm a = g(xi) - f(xi), i=1,2,…,9
năm 2010 so với 2009 Tỷ lệ tăng, giảm 100% ( ) a t f x = ×
Giai đoạn 2. Suy luận toán học
Bước 4. Giải quyết bài toán
Câu hỏi 1: Ta có: f(x1) = 4102; g(x1) = 4823. Vậy a1 = g(x1) - f(x1) = 721
1 1 1 100% 17, 6% ( ) a t f x ⇒ = × ≈
Câu hỏi 2: Những nhóm hàng nào ứng với hệ số a < 0 thì kim nghạch xuất khẩu giảm so với cùng kỳ năm trước (2009) bao gồm các nhóm hàng: Dầu thô; gạo; đá, kim loại quý. Tỷ lệ giảm được tính: ( ) ( ) 100% ( ) g x f x t f x − = ×
Như vậy tỷ lệ giảm của Dầu thô; gạo; đá, kim loại quý tương ứng là: 15,3%; 1%; 40,9%.
Câu hỏi 3: Sở dĩ hai Bạn An và Bình có các kết luận khác nhau về mức tăng cao nhất của kim nghạch xuất khẩu là vì hai bạn đã dựa trên 2 cơ sở khác nhau. Bạn An dựa vào hệ số a (tức mức chênh lệch kim ngạch xuất khẩu giữa năm 2010 so với năm 2009), a càng lớn thì mức chênh lệch càng lớn, nhóm hàng dệt may có mức chênh lệch này lớn nhất nên bạn An đã kết luận nhóm hàng này có mức tăng cao nhất. Bạn Bình lại dựa vào hệ số t (tức tỷ lệ tăng so với năm trước), t càng lớn thì tỷ lệ càng lớn, nhóm hàng máy móc có hệ số t=68,9% là cao nhất (hàng dệt may có hệ số t = 17,6%)
Do vậy, kết luận của bạn Bình là đúng, do dựa vào cơ sở đúng là tỷ lệ tăng so với năm trước, hệ số này phản ánh đúng mức tăng kim nghạch xuất khẩu của các nhóm mặt hàng.
Giai đoạn 3. Ý nghĩa lời giải thực
Bước 5. Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của thế giới thực.
Câu hỏi 1: Hàng dệt may có kim nghạch xuất khẩu tăng 17,6% so với cùng kỳ năm 2009
Câu hỏi 2: Kim nghạch xuất khẩu của Dầu thô; gạo; kim loại, đá quý là giảm so với năm 2009, tỷ lệ giảm tương ứng là: 15,3%; 1%; 40,9%.
Câu hỏi 3: Kết luận, kim nghạch xuất khẩu của nhóm mặt hàng máy móc, thiết bị có mức tăng cao nhất, tỷ lệ tăng là 68,9%
d. Xác định phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học
Phương pháp dạy học: Phương pháp phù hợp để tổ chức dạy học với bài toán