8. Cấu trúc luận văn
2.3.3. Vận dụng trong tình huống giải bài tập
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong thực tiễn dạy học, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra xem HS vận dụng lí thuyết vào bài tập như thế nào,...Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của HS,...Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
Vận dụng mô hình đa môn và xuyên môn trong tình huống giải bài tập
Việc tăng cường các ứng dụng ngoài Toán học sẽ làm rõ hơn vai trò công cụ của môn Toán trong các môn học khác ở trường phổ thông và trong đời sống lao động sản xuất. Đồng thời bước đầu giúp HS có năng lực thích ứng, năng lực thực hành, hình
thành năng lực giao tiếp Toán học. Phát triển năng lực dựa trên các kiến thức của nhiều môn học với sự kết hợp vào toán giải tích, kích thích sự hứng thú học tập cho HS rèn luyện năng lực nghiên cứu khoa học.
Nếu GV hướng dẫn HS vận dụng mô hình đa môn hoặc xuyên môn trong tình huống giải bài tập có hiệu quả thì ngoài mục đích giúp HS nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng theo tinh thần sẵn sàng ứng dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác, còn giúp HS biết đưa ra những ứng dụng chung cho nhiều môn học, lập được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học vào các bài tập có nội dung thực tế và qua mỗi bài tập ấy, làm cho HS cảm nhận được những điều thú vị cũng như vẻ đẹp của kiến thức được tích hợp.
Ví dụ 2.18: Bài toán về thực vật học.
Từ dãy số Phi-bo-na-xi, chia mỗi số cho số liền sau nó ta được dãy tỉ số:
1 1 2 3 5 8
, , , , , ,...
1 2 3 5 8 13 Các phân số của
dãy tỉ số này biểu thị cho một loại chỉ số phát triển của một số loại thực vật nhất định, thể hiện bằng sự phân bố của các lá xung quanh thân cây. Khi quan sát sự phân bố này, người ta thấy chúng được phân phối đều và cuộn theo một đường xoắn ốc theo hướng từ dưới lên (Hình 2.8). Trong trường hợp này đường xoắn ốc quấn 5 vòng xung quanh thân cây từ lá số 1 đến lá số 9 và 8 khoảng giữa các lá 1 đến lá 9. Tỉ số Phi-bo-na-xi của cây này là 5
8. Đối với mỗi cây nhất định, tỉ số này là
một hằng số sinh học. Chẳng hạn, với cây thông tỉ số này là 5
8 hoặc 8
13, còn với cây
hoa cúc tây là 21
34 . Các tỉ số này giúp cho các nhà thực vật học có thêm những số liệu
để phân loại và tìm ra quy luật phát triển của các loài cây.
Việc tăng cường rèn luyện vận dụng Toán học vào thực tiễn đời sống cho HS thông qua giải bài tập sẽ đảm bảo cho HS nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng đúng vào trong thực tiễn, biết một số ứng dụng của Toán học vào trong thực tiễn, rèn luyện cho HS có những kĩ năng vận dụng Toán học vào cuộc sống. Kĩ năng này là một mục tiêu quan trọng của môn Toán, nó càng cho HS thấy rõ hơn mối liên hệ giữa Toán học và đời sống. Ngoài ra, việc liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong giải bài tập còn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ cho HS. Các năng lực trí tuệ chung của HS như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện chứng, trong đó các năng lực trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa...được phát triển trong các hoạt động vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.
Ví dụ 2.19:(Bài tập 6-tr 166 Sách Bài tập Đại số và Giải tích 11)
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (Hình 2.7),người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng
1
10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất?
Lời giải:
Hình 2.9. Tháp nghiêng PISA
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1
10 độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d1 =
63, thời điểm chạm đất lần thứ hai là d2 = 63 + 2.63 10, thời điểm chạm đất lần thứ ba là d3 = 63 + 2.63 10 + 2. 2 63 10 ,..., thời điểm chạm đất lần thứ n (n > 1) là dn = 63 + 2.63 10 + 2. 2 63 10 +... + 2. 1 63
10n− (có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là: d = 63 + 2.63 10 + 2. 2 63 10 +... + 2. 1 63 10n− +...(mét). Nhận thấy tổng: 2.63 10 + 2. 632 10 +... + 2. 631 10n− +... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = 1
10, nên ta có: 2.63 10 + 2. 2 63 10 +... + 2. 1 63 10n− +... = 63 2. 10 1 1 10 − = 14. Vậy: d = 63 + 14 = 77(m)
Đây là bài toán có yếu tố thực tế, nên sau khi GV cho HS phân tích, khái quát hóa và tổng hợp các tri thức có trong các tình huống thực tế thì yêu cầu HS chuyển bài toán trên thành bài toán giải tích quen thuộc nào?
Sau khi giải quyết xong bài toán, GV nên giới thiệu cho HS biết công trình kiến trúc nổi tiếng Tháp nghiêng PISA - là một tòa tháp chuông tại thành phố Pisa ở đất nước Italia và cũng là nơi nhà bác học Galilei làm thí nghiệm về vật rơi tự do, nhờ thí nghiệm này mà ông trở thành tấm gương sáng cho các nhà nghiên cứu sau này, vì đã chỉ ra rằng: Người ta chỉ có thể rút ra kiến thức khoa học từ các quy luật khách quan của thiên nhiên, chứ không phải từ niềm tin.
Như vậy, qua việc giải bài toán thực tế này còn giúp HS có thêm hiểu biết về những kiến thức ngoài toán, từ đó tạo không khí, hứng thú và niềm đam mê trong học tập.
Ví dụ 2.20: (Vận dụng cấp số nhân trong lĩnh vực tài chính- ngân hàng)
Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là x% trong một năm. Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là: B1 = A + (tiền lãi) = A + x.A = (1 + x)A. Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhân thêm bội số (1 + x). Như vậy, số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành cấp số nhân với q = 1 + x. Gọi Bn là số tiền bạn có sau n năm thì: Bn = A (1 + x)n (*)
Trong thực tiễn cuộc sống, đôi khi chúng ta phải thực hiện bài toán ngược: Hiện tại ta cần số tiền là bao nhiêu để sau n năm có Bn đồng? (đây là một trong những bài toán thường gặp về tư vấn đầu tư tài chính).
Chẳng hạn, một công ty muốn bạn góp cổ phần vào 1 dự án đầu tư, số cổ phần quy ra tiền là 200 triệu đồng và sau 3 năm công ty trả cho bạn 270 triệu đồng. Với lãi suất Ngân hàng 7 % như hiện nay, hãy đánh giá xem có nên góp cổ phần để đầu tư dự án đó không? Hay bạn đem gửi 200 triệu đồng vào Ngân hàng?
Lời giải: Từ công thức (*) ta có: A = (1 n) n
B x
+
Nếu gửi Ngân hàng, để sau 3 năm bạn có 270 triệu đồng thì hiện tại số tiền bạn phải có là A = 3
270 (1 0, 07) ≈
+ 220,400 (triệu đồng).
Như vậy, việc góp vốn cổ phần sẽ đem lại cho bạn một khoản lợi nhuận là 20,400 triệu đồng so với gửi ngân hàng. Vậy đây là việc bạn nên làm.
Ví dụ 2.21: (Vận dụng cấp số nhân trong chăn nuôi)
Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện X cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2 %. Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số lượng đàn bò thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2012 là 15 000 con thì với tỉ lệ tăng đàn trên đây, đàn bò của huyện sẽ đạt được bao nhiêu con?
Lời giải: Thông thường bài toán trên được giải như sau:
Sau 1 năm đàn bò ở huyện này tăng được: 15 000 × 2% = 300 (con). Nên tổng
số bò sau năm thứ nhất (tức cuối năm 2012) là: 15 000 + 300 = 15 300 (con).
Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm: 15 300 × 2 % = 306 (con). Nên tổng số bò sau
năm thứ 2 (tức cuối năm 2013) là: 15 300 + 306 = 15 606 (con).
Sau 3 năm đàn bò lại tiếp tục tăng thêm: 15 606 × 2% = 312 (con). Như vậy
tổng số bò tính đến cuối năm thứ 3 (tức cuối năm 2014) là: 15 606 + 312 = 15 918 (con).
Bài toán đã được giải quyết xong. Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu tính số đàn bò sau nhiều năm của huyện X thì cách tính như trên sẽ rất vất vả, chậm và có thể nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhân ta sẽ đi tìm cách tính tổng quát hơn.
Gọi S0 là tổng số đàn bò theo thống kê ban đầu, q là tỉ lệ tăng đàn hàng năm, n là số năm phát triển (n ∈¥*) và Si (i = 1,2,...,n) là tổng số đàn bò sau i năm.
Ta có:
Số lượng bò sau 1 năm phát triển là: S1 = S0 + S0q = S0(1 + q) Số lượng bò sau 2 năm phát triển là: S2 = S1 + S1q = S0(1 + q)2
Số lượng bò sau 3 năm phát triển là: S3 = S2 + S2q = S0(1 + q)
Như vậy, tổng số con bò của huyện X sau mỗi năm phát triển lập thành một cấp số nhân với công bội là (1 + q) và S1 = S0(1 + q). Vậy sau n năm tổng số đàn bò là: Sn = S1(1 + q)n-1 = S0(1 + q).(1 + q)n-1 = S0(1 + q)n. Áp dụng công thức này cho bài toán trên ta có: S3 = 15000(1 + 0,02)3 = 15 918 (con).
Việc áp dụng cấp số nhân vào bài toán trên, một mặt cho HS thấy mối liên hệ cũng như cách vận dụng kiến thức cấp số nhân vào bài toán thực tiễn, mặt khác việc tìm ra công thức tổng quát còn giúp các nhà quản lí tính được số lượng bò (hoặc con gia súc khác) của huyện trong nhiều năm với sự tăng trưởng đều hàng năm, từ đó đưa ra được các dự báo và các chính sách phát triển, quy hoạch tiêu thụ một cách hợp lí. Ngoài các ứng dụng trên, cấp số nhân còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều các lĩnh vực khác của đời sống như trong trồng trọt, trong âm nhạc, dân số, trong sinh học, hoá học,...
Ví dụ 2.22: (Vận dụng cấp số nhân trong câu chuyện đời sống) Đố vui. ''Một hào đổi lấy năm xu ?''
Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được ''bán'' tiền cho ông ta theo thể thức sau: Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học ''bán'' cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá 1 đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ phú phải ''mua'' với giá gấp đôi giá của ngày hôm trước. Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học nọ đã mang lại cho ông ta một cơ hội hốt tiền ''nằm mơ cũng không thấy''.
Hỏi nhà tỉ phú đã lãi được bao nhiêu tiền trong cuộc ''mua-bán'' kì lạ này? Và nhà toán học của chúng ta có phải là kẻ ngốc nghếch mang đến cơ hội hốt tiền ''nằm mơ cũng không thấy'' cho nhà tỉ phú hay không?
Lời giải: Kí hiệu un (đồng) là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n. Khi đó, số tiền mà nhà toán học nhận được trong 30 ngày là: S30 = u1 + u2 + u3 +... + u30 = 1 + 2 + 22 + 23 +... + 229, nhận thấy đây là tổng của 30 số hạng đầu của một cấp số nhân với u1 = 1, công bội q = 2.
Từ đó, số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 30 ngày là: S30 = 1.1 230
1 2 −
− = 2
30 - 1 = 1 073 741 823 (đồng).
Nếu đem so sánh với số tiền 300 triệu đồng mà nhà tỉ phú nhận được từ nhà toán học thì nhà tỉ phú lãi hay lỗ?
Thông qua bài toán đố vui này giúp HS rèn luyện được một số kĩ năng như biết chuyển câu chuyện vui trong đời sống về bài toán vận dụng cấp số nhân,... đồng thời giảm căng thẳng và gây hứng thú cho HS trong giờ học.
Sau đây chúng tôi trình bày một ví dụ được trích từ Các bài giảng của Mirela của GS. Nguyễn Tiến Dũng. Qua ví dụ này thể hiện sự vận dụng mô hình tích hợp đa môn để giải quyết bài toán.
Ví dụ 2.23: Có một con khỉ gorilla có 3000 quả chuối để đem bán cho một cái
chợ ở cách nó những 1000km. Mỗi lần khỉ chỉ bê được ít nhất 1000 quả chuối thôi, và cũng không so ai giúp nó. Cứ đi hết 1km thì khỉ ăn hết 1 quả chuối (lúc nào nó cũng cần chuối để ăn thì mới đi được, kể cả khi không khuôn vác gì). Đến khi bán được chuối ở chợ rồi thì khỉ không cần phải ăn nữa (mà sẽ được đi lái máy bay chẳng hạn!). Hỏi rằng con khỉ sẽ mang được bao nhiêu quả chuối để bán?
Đây là một bài toán tối ưu, khỉ phải nghĩ ra cách nào thông minh để mang được chuối đến chợ, nếu vác 1000 quả đi 1000km thì khi đến chợ đã ăn hết chuối chẳng còn quả nào mà bán. Ta giả thiết rằng, trên đường đi đến chợ không có chổ nào có sẵn chuối cho khỉ ăn, mà chỉ có các chuối mang từ nhà khỉ đi thôi. Hơn nữa, nếu khỉ có để chuối ở đâu đó giữa đường mà không trông, thì lúc sau quay lại vẫn còn chuối chứ không bị ai lấy mất, không thì chú khỉ tội nghiệp của ta chỉ còn cách ngồi ăn chuối chứ không mấtt công bê đi bán nữa!
Mirela nhận thấy rằng khỉ có thể để chuối giữa đường quay lại tìm chuối tiếp nhưng để lại những chổ nào? Sau một lúc suy nghĩ, Mirella đưa ra một cách sau:
Khỉ mang đi 1000 quả chuối, dọc đường cứ 1km thì thả 1 quả xuống đất và ăn hết 1 quả. Đi được 250km thì thả thêm 250 quả xuống, còn đem 250 quả đi ngược lại để vừa đi vừa ăn cho đến khi về đến chỗ cũ. Sau đó lại đem 1000 quả chuối, trên đường ăn những quả thả dưới đất. Như vậy đi được 250km vẫn còn 1000 quả và đem 1000 quả này đi tiếp thêm 750km, sẽ ăn hết 750 quả và khi đến chợ còn 250 quả
Cách trên của Mirella đã thông minh hơn, con khỉ mang 1000 quả đi được đến chợ ăn hết cả 1000 quả và chẳng còn quả nào để bán rồi. Tuy nhiên khỉ còn để thừa lại lúc đi bán 1000 quả và ở chặng 250km để thừa đó thêm 250 quả nữa. Papa hỏi “thế khỉ làm gì với những quả đó”? Mirella trả lời “ nó làm xiếc tung chúng lên trời!”
Bỏ qua chuyện nói ngang của Mirella, bạn có thấy phương pháp của mirella là tối ưu chưa, hay có thể làm cách khác tốt hơn.
Có một cách đơn giản để làm cho cách của Mirella tốt lên thêm là: lần đầu tiên con khỉ đi, vẫn thả 1 quả chuối trên từng km, nhưng đi 333km thay vì đi 250km rồi đi ngược lại điểm xuất phát, không cần để lại quả chuối ở mốc 333km cả. Lần thứ 2 khỉ đi, thì trên đoạn đường 333km đầu chỉ nhặt chuối lên ăn, vẫn còn nguyên 1000 quả khi đi hết 333km. Sau đó mới ăn mỗi km 1 quả đang đem theo, và khi đến được chợ thì còn 33 quả. Nhưng cách này đã tối ưu chưa?