Bên cạnh các khái niệm và tính chất về AXĐ đã trình bày ở trên thì khi khảo sát các phép toán trên AXĐ, các nhà nghiên cứu nhận thấy phép toán hội và phép toán hợp thành trên AXĐ cũng đóng một vai trò cơ bản trong việc giải quyết một số bài toán ứng dụng trong cơ sở dữ liệu. Phần sau đây sẽ lần lượt trình bày các định nghĩa, mệnh đề và định lý có liên quan đến hai phép toán trên. Ngoài những kết quả đã được tác giả công bố có liên quan đến các phép toán trên trong công trình [6], trong phần này của luận án cũng trình bày một vài kết quả nghiên cứu liên quan đến các phép toán này, cụ thể là phát biểu một điều kiện đủ để phép toán hợp thành các AXĐ là một AXĐ, đồng thời cũng chỉ ra điều kiện để họ con các AXĐ đóng với
phép toán hợp thành. Ở đây, Close(U) được ký hiệu là tập toàn thể các AXĐ trên tập U hữu hạn.
2.2.1. Phép toán hội
Định nghĩa 2.3
Cho các AXĐ f, g trên tập U hữu hạn. Ánh xạ h được xác định trên U như sau,
h(X) = f(X) g(X), với mọi X U. Ta gọi h là phép hội của các AXĐ f và g. Ký hiệu, h = f g.
Trong [6] tác giả đã phát biểu và chứng minh rằng hội của hai AXĐ là một AXĐ. Nói một cách khác, không gian các AXĐ đóng với phép toán hội.
2.2.2. Phép toán hợp thành
Định nghĩa 2.4
Cho hai AXĐ f và g trên tập U hữu hạn. Ánh xạ k được xác định trên U như sau, k(X) = f(g(X)), với mọi X U. Ta gọi k là phép hợp thành của hai ánh xạ đóng f và g.Ký hiệu, k = f g
37
Ngoài ra, cũng trong tài liệu trên, tác giả cũng phát biểu và chứng minh tính phản xạ, tính đồng biến luôn đúng với phép hợp thành các AXĐ. Tuy nhiên, phép toán này lại không thỏa tính lũy đẳng. Phản thí dụ sau đây minh họa cho điều này.
Giả sử có các ánh xạ f và g trên tập U = ABC như sau,
Đặt C là phần tử cố định trong U. Giả sử X U. Nếu C X ta đặt g(X)=X, ngược lại ta đặt g(X) = U. Đối với ánh xạ f , X U, ta đặt f(X) = XC.
Do ánh xạ tịnh tiến f = hC là AXĐ. Ta sẽ chứng minh g cũng là AXĐ.
Tính phản xạ của g là hiển nhiên. Ta kiểm tra tính đồng biến và lũy đẵng của g. Giả sử X Y U. Nếu C X thì C Y và do đó g(X)=g(Y)=U. Nếu C Y
thì C X và ta có g(X)=X Y = g(Y). Nếu C Y và C X thì g(X)=X U= g(Y). Vậy g thỏa tính đồng biến.
Nếu C X, theo giả thiết thì g(g(X)) = g(U) = U = g(X). Nếu C X thì cũng theo giả thiết ta có g(X) = X, suy ra g(g(X)) = g(X). Vậy g thỏa tính lũy đẵng.
Hay nói cách khác, g là AXĐ.
Đặt k = f g, ta chứng minh k không là AXĐ. Thật vậy, xét tập X ={A}. Khi đó, k(X)= f(g(A) )= f(A)= A C.
Mặt khác, k(k(X))=k(AC)=f(g(AC))=f(U)=U. Bất đẳng thức k(k(X))k(X)cho thấy phép hợp thành hai AXĐ không thoả tính lũy đẳng. Do đó, k không là AXĐ.
Từ phản thí dụ trên, do f g(A)=f(A)=AC, trong khi g f(A)=g(AC) = U. Như vậy, phép hợp thành cũng không thỏa tính giao hoán.
Ngoài ra, nếu ký hiệu Map(U) là tập các ánh xạ từ Poset(U) Poset(U),
trong [6] tác giả đã chỉ ra hợp thành của các ánh xạ trong Map(U) thỏa tính chất kết hợp. Do đó, trong biểu thức gồm một dãy các phép hợp thành các ánh xạ trong
Map(U), ta có thể gộp các phép hợp thành liên tiếp nhau thành từng nhóm bằng cách sử dụng các cặp dấu ngoặc. Chẳng hạn, nếu có các ánh xạ f, g, h, k thuộc
38
Định nghĩa 2.5
Cho tập hữu hạn U và các ánh xạ f, g Map(U). Ánh xạ f được nói là hẹp hơn ánh xạ g và ký hiệu là f g, nếu với mọi X U ta luôn có f(X) g(X).
Nếu ánh xạ f hẹp hơn ánh xạ g, ta cũng nói ánh xạ grộng hơn ánh xạ f và ký hiệu là gf.
Một số tính chất của quan hệ “hẹp hơn” với các ánh xạ trên Map(U) cũng được tác giả trình bày như sau,
(i) Phản xạ: f f,
(ii) Phản xứng: Nếu f g và g f thì f = g,
(iii) Bắc cầu:Nếu f g và g h thì f h.
Tử các tính chất trên, ta kết luận quan hệ “hẹp hơn” là một thứ tự bộ phận
trên Map(U).
Ngoài ra, một số tính chất về tính thành phần, tính gia tăng và tính tương đẳng của quan hệ “hẹp hơn” cũng được tác giả trong [6] trình bày qua các mệnh đề sau đây,
Mệnh đề 2.1
Hợp thành của hai AXĐ không hẹp hơn mỗi ánh xạ thành phần, tức là với mọi AXĐ f và g, ta có:
1. f g f , 2. f g g .
Mệnh đề sau phát biểu và chứng minh về tính gia tăng của quan hệ “hẹp hơn”
Mệnh đề 2.2
Với mọi AXĐ f, g và h trên U, nếu f g thì
1. f h g h, 2. h f h g
39
Mệnh đề 2.3
Với mọi AXĐ f, g, k và h trên U, nếu f k và g h thì fg kh
Từ các tính chất đã trình bày của quan hệ “hẹp hơn” và các tính chất của AXĐ, mệnh đề sau đây phát biểu một số các điều kiện tương đương,
Mệnh đề 2.4
Với mọi AXĐ f, g trên Ucác điều kiện sau đây là tương đương, (i) f g,
(ii) f g = g,
(iii) g f = g.
Bên cạnh đó, định lý sau đây trong tài liệu trên đã được tác giả chỉ ra điều kiện cần và đủ thứ nhất để phép hợp thành hai AXĐ là một AXĐ.
Định lý 2.1
Cho hai AXĐ f và g. Phép hợp thành f g và g f đồng thời là các AXĐ khi và chỉ khi chúng giao hoán.
Ngoài ra, tác giả cũng đã phát biểu và chứng minh thêm một định lý về một điều kiện cần và đủ thứ hai để hợp thành hai AXĐ là một AXĐ như sau,
Định lý 2.2
Hợp thành f g của hai AXĐ f và g là một AXĐ khi và chỉ khi f g f = f g.
Việc chứng minh hợp thành các AXĐ là một AXĐ theo các điều kiện cần và đủ của hai định lý trên rõ ràng phức tạp hơn việc chỉ ra một điều kiện đủ để phép hợp thành các AXĐ là một AXĐ. Từ nhận xét này, luận án sẽ trình bày một kết quả nghiên cứu thu được, cụ thể là phát biểu về một điều kiện đủ để phép hợp thành hai AXĐ là một AXĐ như sau,
Hệ quả 2.1
Cho các ánh xạ đóng f, g trên tập U hữu hạn. Nếu f g hay gf thì phép hợp thành f g và g f là các ánh xạ đóng.
40
Chứng minh
Nếu f g thì theo mệnh đề 2.4 ta có f g = g và g f = g. Suy ra f g = g f. Hay nói cách khác thì f và g giao hoán. Áp dụng định lý 2.1 thì các hợp thành f g
và g f là các ánh xạ đóng ■
Tuy nhiên, thí dụ sau sẽ cho thấy phần đảo của hệ quả trên thì không đúng. Nghĩa là, nếu phép hợp thành f g và g f là các AXĐ thì f và g chưa chắc đã sánh được với nhau.
Thí dụ 2.4
Cho các ánh xạ f, g trên tập U chứa ít nhất ba phần tử là A, B, C. Ta đặt,
f(X)=XB, nếu X chứa A, f(X)=X nếu X không chứa A và g(X)=XA nếu X chứa B,
g(X)=X nếu X không chứa B.
Theo cách thiết lập trên thì f, g là các ánh xạ đóng. Ta sẽ chứng tỏ phép hợp thành f g cũng là ánh xạ đóng nhưng f và g không sánh được với nhau. Trong các phần trên đã cho thấy phép hợp thành f g luôn thỏa các tính chất phản xạ và đồng biến. Ta chỉ cần kiểm tra tính lũy đẳng như sau,
Gọi I là tập con của U và không chứa các phần tử A và B. Ta xét các tập con X
của U lần lượt thuộc một trong ba dạng: X = I, X = AI, X = BI, X = ABI. Ta có,
f(ABI) = g(ABI) = ABI; f(I) = g(I) = I,
f(BI) = BI, g(BI) = ABI; f(AI) = ABI, g(AI) = AI
Do đó,
f g(I)= I, f g f g(I) = f g(I) = I;
f g(AI) = ABI, f g f g(AI) = f g(ABI) = ABI;
f g(BI) = ABI, f g f g(BI) = f g(ABI) = ABI;
41
Vậy hợp thành f g thỏa tính chất lũy đẳng và do đó f g là ánh xạ đóng. Mặt khác, các đẳng thức f(BI) = BI, g(BI) = ABI và f(AI) = ABI, g(AI) = AI cho thấy f và
g không sánh được với nhau, tức là f không hẹp hơn g và g không hẹp hơn f.
Ngoài ra, một kết quả mới của luận án trong phần này cũng chỉ ra điều kiện để một họ con các AXĐ đóng với phép hợp thành qua bổ đề sau đây,
Bổ đề 2.1
Cho GClose(U). Họ con các AXĐ G đóng với phép hợp thành nếu G là một
thứ tự toàn phần đối với phép “hẹp hơn” .
Quan hệ được gọi là thứ tự toàn phần trên tập M nếu với hai phần tử A, B
bất kỳ thuộc M đều có thể sánh được với nhau, nghĩa là ta luôn có AB hoặc BA.
Chứng minh
Do G Close(U), theo giả thiết tạo thành một quan hệ thứ tự toàn phần. Xét hai AXĐ bất kỳ f, g G. Ta có f g hay g f. Áp dụng hệ quả 2.1 thì các hợp thành f g và g f là các AXĐ. Hay nói cách khác, tập G Close(U) đóng với phép hợp thành do hợp thành của hai AXĐ bất kỳ trên G là một AXĐ ■
2.2.3. Ứng dụng phép toán hợp thành
Vận dụng các kết quả lý thuyết chung về các AXĐ, ta có thể nhận được các kết quả liên quan đến LĐQH đã công bố trong các công trình trước đây. Trong [12], [35] các tác giả cũng đã trình bày một số kết quả liên quan đến bao đóng, giàn giao của các tập đóng. Khóa và phản khóa của LĐQH cũng là trường hợp riêng của cơ sở và phản cơ sở trên ánh xạ đóng. Trong [6] tác giả đã phát biểu và chứng minh một điều kiện cần và đủ cho bài toán về tập phụ thuộc hàm đại diện của các LĐQH.
Bài toán được phát biểu như sau: Cho hai tập phụ thuộc hàm F và G trên cùng một tập thuộc tính U. Có tồn tại hay không tập phụ thuộc hàm H trên U thỏa tính chất sau: X U: (X)+H= ((X)+G)+F
Để tiện trình bày, ta ký hiệu f, g, h lần lượt là các ánh xạ tính bao đóng của các tập con thuộc tính theo các tập phụ thuộc hàm F, G, H tương ứng. Cụ thể là ta có
42
thể viết f(X) = X+F, g(X) = X+G, h(X) = X+H.
Do f, g là các ánh xạ đóng trên U nên tập phụ thuộc hàm H tồn tại khi và chỉ khi phép hợp thành f g là ánh xạ đóng. Lúc này, ta có thể vận dụng các định lý 2.1,
định lý 2.2 và hệ quả 2.1 của phép hợp thành AXĐ đã trình bày trong mục 2.2.2. Sau đây là một số thí dụ minh họa cho các trường hợp tồn tại và không tồn tại phụ thuộc hàm đại diện,
Thí dụ 2.5
Cho U=ABCD, tập PTH F={BA, ACD} và tập PTH G={BAD, ABC, CD}. Ta nhận thấy, mọi PTH f trong F đều thuộc về G+. Suy ra, F G, hay
X+F X+G, XU. Nếu gọi f, g lần lượt là các AXĐ tương ứng với phép tính bao đóng X+Fvà X+G, X U thì ta thu được f g. Áp dụng hệ quả 2.1 thì h = g f là AXĐ. Nói khác đi, tồn tại tập PTH H trên U thỏa X U: (X)+H= ((X)+F)+G. Cụ thể, trong thí dụ này, ta tính ngay được H = G ={BAD, ABC, CD}.
Thí dụ 2.6
Cho U = ABC và các tập PTH F ={AB}, G ={BC, AC}. Với mọi tập
X Poset(U) = {, A, B, C, AB, AC, BC, ABC}, ta có: ((X)+F)+G = ((X)+G)+F. Nếu gọi f, g lần lượt là các AXĐ tương ứng với phép tính bao đóng X+F và X+G, XU
thì ta nhận thấy f g = g f. Theo định lý 2.1, tồn tại tập PTH H trên U thỏa
XU: (X)+H = ((X)+F)+G. Cụ thể, ta tính được H = {ABC, BC}.
Thí dụ 2.7
Cho U=ABCD, tập PTH F={AB, CD} và tập PTH G={BC}. Xét tập
X = A, ta có: ((X)+F)+G = ((A)+F)+G = ABC ((A)+G)+F= AB. Nếu gọi f, g lần lượt là các AXĐ tương ứng với phép tính bao đóng X+Fvà X+G, X U thì ta nhận thấy
f g g f. Theo định lý 2.1, ta có thể kết luận không tồn tại tập PTH H trên U thỏa
43
Từ tập thuộc tính U và các tập phụ thuộc hàm F, G cho trước, để xác định tập phụ thuộc hàm đại diện H , ta có thể thực hiện như sau,
Gọi f, g là các ánh xạ đóng tính bao đóng của các tập thuộc tính X trong U:
XU, nếu f(X) g(X) thì H = G;
XU, nếu g(X) f(X) thì H = F;
XU, nếu f(g(X)) = g(f(X)) thì thêm các phụ thuộc hàm Xf(g(X)) vào H.
Nếu không thỏa một trong các trường hợp trên, nghĩa là tập phụ thuộc hàm đại diện H không tồn tại.
2.3. Cơ sở và phản cơ sở ánh xạ đóng
2.3.1. Cơ sở ánh xạ đóng
Trong [6], tác giả đã trình bày khá đầy đủ ý nghĩa về cơ sở của ánh xạ đóng. Phần sau đây sẽ tóm lược lại các khái niệm chính cùng một số tính chất và đặc trưng của cơ sở ánh xạ đóng,
Định nghĩa 2.6
Cho AXĐ f trên U. Tập con K của U được gọi là cơ sở của AXĐ f nếu K thỏa đồng thời hai tính chất sau đây,
i Tính toàn thể: fK = U, và
iiTính tối tiểu: X K: fX U.
Nếu K chỉ thỏa tính chất (i) thì K được gọi là siêu cơ sở của AXĐ f.
Base(f) được ký hiệu là tập các cơ sở của AXĐ f.
Một đặc trưng của cơ sở AXĐ cũng được tác giả trình bày như sau: Nếu gọi K
là một cơ sở của AXĐ f trên tập U. Khi đó, XK: f(X) K = X.
Từ đặc trưng trên, ta nhận thấy do X = f(X) K = fK(X), nên X chính là điểm bất động (tập đóng) đối với ánh xạ đóng fK.
Việc xác định cơ sở ánh xạ đóng theo đặc trưng trên cũng được tác giả phát biểu như sau: Cho AXĐ f trên U và siêu cơ sở K của f. Nếu X K: f(X) K = X
44
Định nghĩa 2.7
Cho f là AXĐ trên tập hữu hạn U. Phần tử A trong U được gọi là phần tử cơ sở
hoặc phần tử nguyên thủy của AXĐ f nếu A xuất hiện trong một cơ sở nào đó của f.
A được gọi là phần tử phi cơ sở hoặc phần tử phi nguyên thủy của AXĐ f nếu A
không xuất hiện trong bất kỳ cơ sở nào của f. Ta ký hiệu,
UBlà tập các phần tử cơ sở của AXĐ f trên U
Uo là tập các phần tử phi cơ sở của f.
UI là tập giao các cơ sở của f.
Khi đó, U = UB| Uo là một phân hoạch trên U.
Xác định cơ sở của AXĐ là bài toán rất cơ bản. Để tăng cường hiệu quả tính toán khi xác định cơ sở của AXĐ, tác giả đã trình bày một công thức tính tập giao các cơ sở trên ánh xạ đóng như sau: Cho AXĐ f trên tập hữu hạn U. Khi đó, tập
giao các cơ sở được tính như sau,
U X I U f X X U \ ( ( )\ )
Ngoài ra, trong tài liệu này, tác giả cũng đã phát biểu một điều kiện cần và đủ để AXĐ có duy nhất một cơ sở như sau: Nếu gọi f là một AXĐ trên tập hữu hạn U
thi f có duy nhất một cơ sở khi và chỉ khi f(UI) = U, trong đó UIlà giao các cơ sở.
2.3.2. Phản cơ sở ánh xạ đóng
Như đã trình bày ở phần trước, một khái niệm đối ngẫu với cơ sở AXĐ là phản cơ sở AXĐ. Khái niệm đối ngẫu ở đây theo nghĩa là cơ sở là tập bé nhất chứa các phần tử có ảnh là U, còn phản cơ sở là tập lớn nhất chứa các phần tử có ảnh khác U. Ta có thể sử dụng phản cơ sở thay cho vai trò của cơ sở, thuật toán xác định phản cơ sở từ cơ sở và ngược lại có độ phức tạp là tuyến tính [49]. Các khái niệm và tính chất liên quan đến phản cơ sở AXĐ trình bày trong[6] được tóm tắt lại như sau,
Định nghĩa 2.8
Cho AXĐ f trên U. Tập con P của U được gọi là phản cơ sở của AXĐ f nếu:
i fP U, và
45
Nói cách khác, phản cơ sở là tập con lớn nhất không chứa cơ sở của U. Ta ký