Khóa của lược đồ quan hệ

Định nghĩa 1.7

Cho LĐQH a = (U, F). Tập thuộc tính K U gọi là khoá của LĐQH a nếu, (i) K+ = U

(ii) A K: (K \ A)+ U

Hai điều kiện trên tương đương với (i') K U

(ii') A K: K \ A↛ U

Nếu K thoả điều kiện (i) (hoặc (i') thì K được gọi là một siêu khoá.

Thuộc tính AU được gọi là thuộc tính khoá (nguyên thuỷ hoặc cơ sở) nếu A

có trong một khoá nào đấy. A được gọi là thuộc tính không khoá (không nguyên thuỷ hoặc thứ cấp) nếu A không xuất hiện trong bất kỳ khoá nào của LĐQH.

Cho LĐQH a = (U, F). Ta ký hiệu UK là tập các thuộc tính khóa của a và U0 là tập các thuộc tính không khóa của a. Ta có thể nhận thấy UK |Uo tạo thành một phân hoạch trên U. Một số các tính chất cơ bản về khóa của LĐQH được trình bày lại ở đây qua các định nghĩa và tính chất sau,

Định nghĩa 1.8

Tập thuộc tính YU được gọi là phụ thuộc đầy đủ vào tập thuộc tính X U, và được ký hiệu là XY nếu,

(i) XY, và

(ii) (A X): X \ A↛Y

Khi nghiên cứu về khóa của một LĐQH, trong nhiều công trình, chẳng hạn như trong [6], [35], [49], các tác giả đã phát biểu một số tính chất sau của khóa,

26

Cho LĐQH a = (U, F). Khi đó,

(i) K  U là một khoá khi và chỉ khi U phụ thuộc đầy đủ vào K.

(ii) Hai khoá khác nhau của mộtLĐQHkhông bao nhau. (iii) Mọi LĐQH đều có ít nhất một khoá.

Ngoài ra, trong công trình [6] tác giả đã phát biểu về tính chất đặc trưng của các thuộc tính khóa như sau,

Cho K là một khóa của LĐQH a = (U, F). Khi đó, X  K: X+ K=X.

Việc xác định khóa của một LĐQH đóng vai trò quan trọng. Trong [19], [20]

các tác giả đã trình bày một công thức tính giao các khóa và từ đó phát biểu điều kiện để một LĐQH có duy nhất một khóa. Công thức được mô tả như sau,

Cho LĐQH a = (U, F) với n thuộc tính trong U và m PTH trong F. Gọi UI là giao các khóa của a. Khi đó, ta có thể xác định giao các khóa của a bằng một thuật toán tuyến tính với độ phức tạp cỡ O(mn)qua công thức sau,

 F R L I U R L U    \ ( \ )

Từ công thức tính giao các khóa trên của LĐQH, phát biểu về điều kiện cần và đủ để một LĐQH có khóa duy nhất được các tác giả trong [20] trình bày như sau,

Cho LĐQH a = (U, F). Gọi UI là giao các khóa trong a. Khi đó a có một khóa duy nhất khi và chỉ khi UI + = U.

Một khái niệm đối ngẫu với khóa là phản khóa. Đối ngẫu ở đây được hiểu theo nghĩa khóa là tập nhỏ nhất có bao đóng là U, còn phản khóa là tập lớn nhất có bao đóng khác U. Khái niệm về một tập con được gọi là phản khóa và ký hiệu về các tập được sử dụng trong LĐQH được trình bày qua phần sau,