Chương này đã trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản cùng với các phép toán hội và phép hợp thành của ánh xạ đóng. Các khái niệm cơ bản nhất về lý thuyết giàn giao cũng được trình bày trong phần này. Một số kết quả nghiên cứu về phép hợp thành các AXĐ và các ứng dụng lý thuyết giàn giao vào lĩnh vực khai phá dữ liệu, cụ thể là bài toán ẩn tập mục nhạy cảm và bài toán xác định tập phổ biến tối đại cũng được trình bày ở đây. Ngoài ra, trong chương cũng mô tả một số đối tượng cơ bản trong lý thuyết ánh xạ đóng như cơ sở, phản cơ sở, mối quan hệ giữa các đối tượng này và các tập phần tử đặc biệt của ánh xạ đóng. Nội dung trong chương này là cơ sở chủ yếu để trình bày tiếp các kết quả nghiên cứu ở chương sau với một số đóng góp và đề xuất trong luận án.
66
CHƯƠNG 3
HỆ SINH ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Các kết quả nghiên cứu tổng quát về ánh xạ đóng được trình bày trong chương trước của luận án cho thấy có thể thiết lập một số cầu nối giữa nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ sở dữ liệu, các hệ suy dẫn, logic, lý thuyết tập thô và tập mờ,…. Mỗi ánh xạ đóng được mô tả thông qua một hệ suy dẫn gọi là hệ sinh AXĐ. Trong chương này, luận án sẽ trình bày các định nghĩa, tính chất quan trọng của hệ sinh AXĐ và kết quả nghiên cứu thu được khi biểu diễn phản cơ sở của hệ sinh AXĐ thông qua kỹ thuật thu gọn hệ sinh với vế phải tối đại của tập luật sinh. Ngoài ra, với mục tiêu nâng cao hiệu quả trong quá trình tính toán các đối tượng, trong chương cũng đề xuất thuật toán để thu gọn hệ sinh bất kỳ về dạng một hệ sinh đặc biệt gọi là hệ sinh cân bằng. Bên cạnh đó, với một tiếp cận khác, trong chương cũng trình bày một số kết quả nghiên cứu thu được về các dạng giản lược tập luật sinh. Cách tiếp cận này cũng nhằm mục đích nâng cao hiệu quả tính toán các đối tượng của một hệ suy dẫn. Phần thứ nhất của chương trình bày các khái niệm của hệ sinh ánh xạ đóng, khái niệm về ánh xạ cảm sinh và thuật toán xác định ảnh của một tập con trong U. Định lý khẳng định mỗi hệ sinh xác định duy nhất một AXĐ và ngược lại, mỗi ánh xạ đóng thì xác định một hệ sinh cũng được trình bày trong phần này. Phần thứ hai và phần thứ ba của chương trình bày các định nghĩa, thuật toán để giản lược tập luật sinh cho trước về dạng thu gọn. Kỹ thuật thu gọn hệ sinh AXĐ cùng với định lý thiết lập công thức biểu diễn ảnh của tập con các phần tử theo phép thu gọn hệ sinh cũng được trình bày ở đây. Phần thứ tư của chương trình bày các khái niệm về cơ sở, phản cơ sở của hệ sinh AXĐ cùng với các tính chất liên quan đến biểu diễn phản cơ sở theo kỹ thuật thu gọn hệ sinh. Định lý phát biểu về mối liên quan đến tập đóng khi thu gọn một hệ sinh AXĐ cũng được trình bày trong phần này. Ngoài ra, trong phần này của luận án cũng trình bày một số kết quả thu được
67
như phát biểu về mối tương quan giữa cơ sở và phản cơ sở của hệ sinh AXĐ, phát biểu các mệnh đề, định lý về phương pháp biểu diễn phản cơ sở của hệ sinh theo vế phải tối đại của tập luật sinh. Phần thứ năm của chương trình bày một ứng dụng của hệ sinh AXĐ để giải bài toán của một hệ suy dẫn, cụ thể là với bài toán khi biết trước một số sự kiện, ta có thể xác định được sự kiện kết quả là sự kiện gì? Hoặc bài toán với các sự kiện cho trước thì sự kiện cần kết luận là đúng hay sai? Phần thứ sáu của chương trình bày một số khái niệm về một hệ suy dẫn đặc biệt gọi là hệ sinh cân bằng cùng với một số tính chất cơ bản. Trong phần này, luận án cũng đã đề xuất một thuật toán thu gọn một hệ sinh AXĐ cho trước về dạng hệ sinh cân bằng và chứng minh tính đúng của thuật toán. Phần cuối cùng của chương là một ứng dụng của hệ sinh AXĐ trong lý thuyết cơ sở dữ liệu.
Ký hiệu Poset(X) là họ toàn thể các tập con của X với thứ tự bộ phận bao hàm (). Chẳng hạn, với U = ABC, ta có Poset(U) = {, A, B, C, AB, AC, BC, ABC}.
Cho , Poset(U) và M, PPoset(U). Phép toán trên Poset(U) được sử dụng với ý nghĩa như sau,
- MP = MP (hợp của hai tập con M và P)
- M = {MX | X} và - = {XY | X, Y}
68