Định nghĩa 3.13
Hệ sinh AXĐ α = (U,F) gọi là cân bằng nếu α thỏa các tính chất sau: (B1) Hợp các vế trái, vế phải của các luật sinh trong F đúng bằng tập U:
LS(F) = RS(F) = U
(B2) F không chứa các luật sinh tầm thường, tức là các luật sinh có vế trái chứa vế phải: X,YU: XY (XYF)
(B3) Hai vế trái và phải của mọi luật sinh trong F rời nhau (không giao nhau):
f F: LS(f) RS(f) =
(B4) Các vế trái của mọi luật sinh trong F khác nhau đôi một:
95
Thí dụ 3.15
1. Cho hệ sinh α = (U, F) với U = BCGH và F= {BGH, CBG,CGB, H C}.
α là một hệ sinh cân bằng do thỏa các tính chất trên.
2. Nếu thêm vào U một phần tử, như I và không thay đổi tập luật sinh thì ta sẽ thu được một hệ sinh không cân bằng β = (UE, F) vì tính chất B1 bị vi phạm như sau,
LS(F)=RS(F) = BCGH BCGHI.
Ngoài bốn tính chất cơ bản đã trình bày trên, hệ sinh cân bằng còn thỏa một số các tính chất sau đây,
Tính chất 3.1
Hệ sinh cân bằng (HSCB) thỏa một số tính chất sau,
(B5) Nếu tập luật sinh F trong hệ sinh AXĐ α = (U,F) thỏa các tính chất B2, B3, B4 và chỉ có một luật sinh thì α không thể là HSCB.
Thật vậy, nếu F={X Y} và F thỏa các tính chất B2, B3, B4 thì LS(F) = X Y =
RS(F), vi phạm tính chất B1.
(B6) Từ tính chất B5 ta suy ra hệ sinh AXĐ chỉ có một thuộc tính thì không thể là HSCB. Thật vậy, gọi phần tử duy nhất là A, ta thấy chỉ có bốn khả năng tạo các luật sinh sau đây:
a. A A (tầm thường)
b. A (tầm thường)
c. (tầm thường)
d. A
Như vậy, ta chỉ có thể chọn U = A và F = hoặc F = { A}. Trường hợp thứ nhất, U = A, F = cho ta LS(F) = RS(F) = U. Trường hợp thứ hai, U = A, F = { A} cho ta LS(F) = A = RS(F). Trường hợp U = và F = ta có HSCB (,).
96
tính giao các cơ sở và để ý rằng theo tính chất B3:
f F: RS(f) LS(f)=, ta suy ra f F: RS(f) \ LS(f) = RS(f). Do đó, theo tính chất B1, U F RS f RS f LS f RS M F f f F ( ( )\ ( )) ( ) ( ) Khi đó UI = U \ M = U \ U = .
(B8) Nếu hệ sinh AXĐ α = (U, F) là HSCB thì X U, ta có α \ X cũng là HSCB. Tính chất này hiển nhiên đúng.
Từ các khái niệm và tính chất đã trình bày ở trên về hệ sinh cân bằng, trong công trình [V], các tác giả cũng đã đưa ra một phương pháp để biểu diễn cơ sở của một hệ sinh ánh xạ đóng cho trước theo cơ sở của hệ sinh cân bằng như sau: Mọi hệ sinh AXĐ α = (U,F) đều đưa được về dạng cân bằng β = (V,G) thỏa tính chất,
Base(α) = UI Base(β)
Trong đó UI là giao các cơ sở của α với độ phức tạp tuyến tính theo chiều dài dữ liệu vào O(n2m), trong đó n là số lượng phần tử trong U, m là số lượng luật sinh trong F.
Thí dụ 3.16
Cho hệ sinh α=(U,F), U= ABCDEH, F = {AHD, BCBH, HC, HB, E B}. Sau khi thu gọn về HSCB β=(V,G), V = CH, G = {C H, H C}, ta tính được UI = AE. Từ hệ sinh β, ta xác đinh được tập các cơ sở, cụ thể là Base(β) = {C, H}. Từ đây, ta suy ra,
Base(α) = UI Base(β) = AE {C,H} = {AEC,AEH}.
Sau đây là kết quả nghiên cứu thu được trong luận án khi xây dựng thuật toán thu gọn một hệ sinh AXĐ bất kỳ cho trước về dạng hệ sinh cân bằng. Phát biểu và chứng minh về tính đúng của thuật toán cũng được đề cập ở đây.
97