Các khái niệm và tính chất ánh xạ đóng

Định nghĩa 2.1

Ánh xạ f: Poset(U)  Poset(U) được gọi là đóng trên U nếu với mọi tập con

X, Y U thỏa các tính chất sau, (i) Tính phản xạ: f(X) X, (ii) Tính đồng biến: Nếu XY thì f(X)  f(Y), (iii) Tính lũy đẳng: f(f(X)) = f(X). Thí dụ 2.1 Các ánh xạ sau đây là đóng

 Ánh xạ tối đại: (X) = U với mọi X U,

 Ánh xạ đồng nhất: e(X) = X với mọi X U,

 Ánh xạ tịnh tiến: hT(X) = TX với mọi X  U và T là tập con cố định tùy ý cho trước trong U.

Trường hợp T = U thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ tối đại,

hU = , trường hợp T =  thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ đồng nhất,

h = e. Điều này cho thấy có thể dùng ánh xạ tịnh tiến làm cơ sở đặc tả họ các ánh xạ đóng { , hT, e}.

Ngoài ba tính chất phản xạ, đồng biến và lũy đẳng, AXĐ còn thỏa một số các tính chất sau,

34

Gọi f là một AXĐ cho trước trên U.Khi đó, với mọi X,Y  U, ta thu được, (iv) f(f(X)Y) = f(Xf(Y)) = f(XY)

(v) fXY  fXfY

(vi) f(XY)  f(X) f(Y)

Thí dụ 2.2

Phép toán lấy bao đóng của tập thuộc tính trong lý thuyết cơ sở dữ liệu là một AXĐ. Ta có thể kiểm tra lại nhận xét này như sau,

- Tính phản xạ: XX + (hiển nhiên theo định nghĩa bao đóng). - Tính đồng biến: Nếu XY thì X +Y +

Giả sử XY và A  X +. Do A  X + XA  F +. Mặt khác, do XY nên

YX  F +. Áp dụng tính chất bắc cầu cho các phụ thuộc hàm trên, ta được

YA  F +. Hay nói cách khác thì A  Y +. Tính đồng biến chứng minh xong.

- Tính lũy đẳng: (X +)+ = X +

Do bao đóng thỏa tính phản xạ nên X +(X +)+. Mặt khác, giả sử A  (X +)+,

ta chứng minh A  X +. Do A (X +)+nên X +A  F +. Ngoài ra,B X +

thì theo định nghĩa bao đóng ta được XB  F +. Suy ra,XX +  F +. Áp dụng tính bắc cầu cho các phụ thuộc hàm trên, ta được XA  F +. Hay nói cách khác thì A  X +. Vậy(X +)+ X +. Từ hai bao hàm thức trên, ta suy ra (X +)+ = X +. Tính lũy đẳng được chứng minh.

Thí dụ 2.3

Cho cơ sở dữ liệu giao tác α = (T, I). Với XI và YT, ta định nghĩa,

Cit: Poset(I) → Poset(I), Cit(X) = i.t = i(t(X))

Cti: Poset(T) → Poset(T), Cti(Y) = t.i = t(i(Y))

Sử dụng các phát biểu (i), (ii) và (iii) trong tính chất của kết nối Galois đã được trình bày trong mục 1.4.2, ta chứng minh các ánh xạ hợp Cit và Cti là AXĐ.

35

Trước hết, ta chứng minh Citlàánh xạ đóng, việc chứng minh Cti là AXĐ hoàn toàn tương tự.

- Phản xạ:XCit(X)

Theo phát biểu (iii) thì XI thìXi(t(X)) = Cit(X). - Đồng biến:XYCit(X) Cit(Y)

Theo (ii), X, YI thỏa XY t(Y) t(X). Mặt khác, theo (i) với t(Y) t(X)

T thì i(t(X)) i(t(Y)) hay nói cách khác thì Cit(X) Cit(Y). - Lũy đẳng:Cit(X) = Cit(Cit(X)) hay i(t(i(Y))) = i(Y)

YT, theo (iii) thì Yt(i(Y)). Mặt khác, áp dụng (i) ta có i(t(i(Y))) i(Y). Theo (iii), XI, Xi(t(X)), YT, i(Y) I. Suy ra, YT ,i(Y) i(t(i(Y))). Từ hai bao hàm thức trên, ta suy ra i(t(i(Y))) = i(Y).

Vậy Cit là ánh xạ đóng.