3.4.1 Nguyên tắc cơ bản của GB
D. Chen và DESeborg (2002) đề xuất một phương pháp điều chỉnh đa vòng PID dựa trên miền Gershgorin là một trong những cách quan trọng để tính toán độ lợi và tần số tối ưu.
Điểm tối ưu thứ l của miền Gershorin là điểm giao nhau của G(s) đi qua trục âm và có biên độ tối đa đồng thời nghịch đảo của độ lớn của điểm tối ưu thứ l. Điểm tối ưu xác định bởi độ lợi tối ưu (Kcul) và tần số tối ưu lth (ωcul). (Ví dụ, điểm A trong hình 3.11 là điểm tối ưu cho miền Gershgorin).
Độ lợi tối ưu và hàm tần số từ D.Chen và D.E. Seborg, 2002 là:
( )[ ( ) − ( )]+2 ( ) ( ) + 1 = 0 (3.16)
= { | | ( )|, ∀ (ω) ∈ } (3.17)
= ( ), ( )∈ (3.18)
Trong đó, ( ) ≜ ∑ ; | ( )| = ∑ ; ( ) là bán kính của miền Gershgogin và là phần thực của quá trình ( ( ) = ( ) + ( )).
- 25 -
Quy trình để thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống MIMO:
Bước 1: Tính toán tối ưu và độ lợi tần số cho mỗi vòng điều khiển.
Bước 2: Thiết lập các thông số điều khiển bằng cách sử dụng Ziegler và Nichols điều chỉnh các quy định trong Bảng 3.1.
Bảng 3.1 Sửa đổi quy tắc điều chỉnh Ziegler-Nichols Bộ điều khiển
PI 0.45 2
1.2 -
PID 0.6 14
Bảng 3.2 Thiết lập điều khiển PI cho tháp Wood và Berry (bằng phương pháp thiết kế đa vòng sử dụng miền Gershgorin).
f = 1 F=1.4
0.44/-0.1 0.31/-0.074
4.85/11.6 6.79/16.3
- -
3.4.2 Những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp GB
STT Ưu điểm Khuyết điểm
1
Phương pháp không giới hạn khi lớn hơn bậc hai cùng với quá trình thời gian trễ hoặc bất kỳ dạng đặc biệt khác
Phương pháp phụ thuộc vào các yếu tố sự điều chỉnh lại f và mỗi giá trị của các thông số bộ điều khiển mới f thu được.
2
Sử dụng mảng phân tích Nyquist để điều chỉnh bộ điều khiển đa vòng PI/PID nên dễ dàng hiểu được phương pháp này.
Một vài trường hợp hiệu suất vòng lặp kín với f = 1 tương tự với hiệu suất BLT. Có nghĩa là bộ điều khiển MIMO có thể không được cân bằng. 3 Việc bù trước là cần thiết để đạt được các ưu thế theo ma trận đường
chéo. 4
Nó cung cấp thiết lập điểm với tính năng theo dõi và loại bỏ nhiễu tốt cho các hệ thống tương tác ở một mức độ vừa phải.
- 26 -
3.4.3 Các dạng nghiên cứu 3.4.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB 3.4.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB
Phương pháp được cung cấp hệ thống kiểm soát của bộ điều khiển ở bảng 3.2. Theo hình 3.12 và 3.13 thể hiện các đáp ứng thời gian vòng lặp kín cho tháp WB và WW tương ứng bằng cách sử dụng phương pháp GB.
Trong hình 3.12 những phản hồi vòng lặp kín giữa GB và BLT của hệ thống điều khiển PI là như nhau, nhưng trong hình 3.13 là khác nhau. Nhìn chung, chúng có thời gian tăng với giá trị lớn và loại bỏ nhiễu trong vòng lặp kín. Bên cạnh đó, giá trị IAE, ISE và ITAE cũng là quá lớn khi so sánh với các phương pháp khác.
Hình 3.12 Bước đáp ứng cho tháp WB khi sử dụng phương pháp GB.
3.4.3.2 Ví dụ 2: Tháp WW
- 27 -
( ) = 13.62 1 + . , −21.683(1 + . ) (3.19)
Hình 3.13 Bước đáp ứng cho tháp WW khi sử dụng phương pháp GB.
3.5 Các phương pháp điều chỉnh phân tán λ (DLT) 3.5.1 Nguyên tắc cơ bản của DLT 3.5.1 Nguyên tắc cơ bản của DLT
Theo các hệ thống nxn, từng hàm truyền vòng lặp kín thu được bởi:
(s) = diag ( )( ) ( )( ) = dia ℎ ( ) (3.20)
Trong đó: ( ) = ( ) , bộ điều khiển theo đường chéo được xác định bởi:
( ) = diag{ ( )}
Các bộ điều khiển đa vòng có thể thu được từ ℎ ( )
( ) = ( ) - I = diag ( )( ( ) ( )) (3.21)
( ) và ℎ ( ) phải đáp ứng các giới hạn tương tác − với yêu cầu về tính ổn định. Vì lý do này, Grosdidier và Morari (1986) đã giới thiệu các giới han tương tác
- 28 -
− mà tiếp giáp với biên độ ℎ ( ). Lee và Egdgar (1998) đã sử dụng một điều kiện cân bằng pha kết hợp với giới hạn tương tác −. Nói chung, cả hai đều phụ thuộc vào:
ℎ ( ) = ( ( )) (3.22)
Sự điều chỉnh lại f trong BLT có thể được sử dụng cho phương pháp DLT (2.9) Trong đó, r là bậc của ( ) ; ℎ ( ) một phần không nhỏ của pha ( ) và λ là thông số thiết kế hoặc kiểm soát trong quá trình điều chỉnh IMC cho SISO. Chúng ta có thể thiết kế hệ thống điều khiển MIMO đáp ứng các giới hạn tương tác μ- và sự ổn định được ràng buộc bởi điều chỉnh λ.
3.5.2 Những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp DLT
STT Ưu điểm Khuyết điểm
1 Đáp ứng các biện pháp tương tác cho sự ổn định và các ràng buộc là μ- một điều kiện biên của sự ổn định.
Tính ổn định và hiệu suất độ nhạy phụ thuộc vào tham số điều chỉnh lại F và λ.
2 Rất dễ để thiết kế được hệ thống kiểm soát ổn định. Bộ điều khiển thử nghiệm có thể ảnh hưởng lớn đến hiệu suất của bộ điều khiển chính thức.
3 Phương pháp bị vọt lố và dao động cao hơn đáp ứng.
3.5.3 Các dạng nghiên cứu 3.5.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB 3.5.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB
Theo (2.9, 3.21 và 3.22), chúng ta có bộ điều khiển PI và PID tương ứng:
( ) = 0.22 1 + . , −0.14(1 + . ) (3.23)
- 29 -
Hình 3.14 Các bước đáp ứng cho tháp WB sử dụng phương pháp DLT.
Hình 3.14 thể hiện phương pháp DLT-PID mặc dù nó có dao động và vọt lố nhưng vẫn cho hiệu suất tốt hơn.
3.5.3.2 Ví dụ 2: Tháp WW
Theo các quy trình tương tự của DLT, chúng ta có điều khiển PI và PID tương ứng:
( ) = 33.33 1 + , −21.67(1 + ) (3.25)
( ) = 31.25 1 + + 2.86 , −18.06(1 + + 3.59 ) (3.26)
Hình 3.15 cho thấy sự so sánh giữa phương pháp DLT và BLT. Rõ ràng là DLT có được hiệu suất tốt.
- 30 -
Hình 3.15 Các bước đáp ứng cho tháp WW sử dụng phương pháp DLT.
3.6 Phương pháp một tham số (OPM) 3.6.1 Nguyên tắc cơ bản của OPM 3.6.1 Nguyên tắc cơ bản của OPM
Theo J. Jung, Choi J.Y và J .Lee [10], phương pháp điều chỉnh OPM được thể hiện, hàm truyền vòng lặp kín của hệ thống MIMO:
( )
( ) = [I + ( ) (s)] ( ) (s) = ( ) (3.27)
Bộ điều khiển đa vòng PID có thể được thể hiện dưới dạng, đáp ứng được các chức năng dưới đây:
(x) = ( ( )) = [I + ( ) (s)] ( ) (s) (3.28) Bộ điều khiển đa vòng lặp có một mô hình theo đường chéo ma trận Q(s) là:
( ) = ( ) (s) ( ) − 1 (3.29)
- 31 -
diag ( ( ) + 1) ( ) + (s) ( )) = I (3.30)
Trong đó, ( ) = ( ( ) − ( ) ( ) (3.31)
3.6.2 Những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp OPM
STT Ưu điểm Khuyết điểm
1 Có thể áp dụng cho quá trình có độ dao động cao. Là một phương pháp phức tạp vì lặp đi lặp lại nhiều lần. 2 Phương pháp yêu cầu việc tính toán nhiều hơn so với phương pháp tương
tự khác.
Đôi khi làm cho thời gian rủi ro lớn trong các phản ứng vòng lặp kín của hệ thống MIMO.
3 Phương pháp làm cho hệ thống kiểm soát cân bằng tốt và không có tương tác.
Phương pháp có thể giá trị sai số tuyệt đối lớn mà khó hạn chế được. 4 Phương pháp có thể được sử dụng để thiết kế hệ thống điều khiển đa
vòng mạnh mẽ.
Tính ổn định và vòng lặp không được đảm bảo khi có lỗi của hệ thống điều khiển tự động.
5
Các yếu tố ngoài chức năng hàm truyền vòng lặp kín đường chéo có thể làm suy giảm nghiêm trọng hiệu suất điều khiển.
3.6.3 Các dạng nghiên cứu 3.6.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB 3.6.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB
Theo (3.28, 3.29, và 3.30), chúng ta có bộ điều khiển PI và PID tương ứng:
( ) = 0.19 1 + . , −0.099(1 + . ) (3.32)
- 32 -
Hình 3.16 Các bước đáp ứng cho tháp WB sử dụng phương pháp OPM. Bước đáp ứng của hệ thống phản hồi MIMO này được thể hiện trong hình 3.16. Chỉ số hiệu suất IAE, ISE và ITAE của OPM là 28.35, 12.528 và 404.44. Ta thấy rằng OPM cho hiệu suất tốt hơn hiệu suất vòng lặp.
3.6.3.2 Ví dụ 2: Tháp WW
Theo (3.28, 3.29, và 3.30), chúng ta có điều khiển PI và PID tương ứng:
( ) = 19.10 1 + . , −10.81(1 + . ) (3.34)
- 33 -
Hình 3.17 Bước đáp ứng cho tháp WW sử dụng phương pháp OPM.
Hình 3.17 cho thấy rằng bộ điều khiển PID của phương pháp OPM cho hiệu suất tốt hơn so với các vòng lặp phương pháp BLT trong vòng lặp 1 và vòng lặp 2.
3.7 Chiến lược thiết kế độc lập
Theo Wang (2003) [22] cho quy trình 2x2:
( )
( ) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) (3.36)
Bộ điều khiển đa vòng:
( ) = 0( ) 0( ) (3.37)
Theo Maciejowski (1989), hàm truyền G1(s) giữa tín hiệu đầu vào ui và tín hiệu đầu ra yi :
g1 = g11 - (3.38)
- 34 -
Đặc điểm hiệu suất kỹ thuật từng vòng lặp kín có thể được tính toán trong thời hạn mong muốn của hàm truyền chức năng:
ℎ = (3.40)
Hàm truyền vòng lặp mở tương ứng là:
= (3.41)
Ki được thiết kế để phù hợp với thực tế vòng mở giki theo lệnh vòng mở :
= − = = ( ) (3.42)
= − = = ( ) (3.43)
Những cặp phương trình ghép nối được thực hiện để có được hai phương trình tách rời dưới đây:
1 + ∆ + 1 − + − ∆] + − 1 + = 0 (3.44) 1 + ∆ + 1 − + − ∆] + − 1 + = 0 (3.45) Trong đó: = 0.7 ; ξ = 0.707 ; = ; ∆ = − (3.46)
3.8 Phương pháp Wang 2 (RAIS) 3.8.1 Nguyên tắc cơ bản 3.8.1 Nguyên tắc cơ bản
Các hàm hữu tỉcó thể được định nghĩa là:
(s) = ⋯⋯ (3.47)
Sai số xấp xỉ e có thể được thể hiện:
- 35 -
Điều kiện | . (0)| < (3.49)
Trong đó (0) là quá trình xử lý g(s) tại tần số 0 và ε theo lý thuyết nó là ngưỡng giới hạn và giá trị của nó thường 0.1 - 0.15.
3.8.2 Những ưu điểm và nhược điểm của RAIS
STT Ưu điểm Khuyết điểm
1
Rais là một trong những phương pháp đơn giản độc lập cho bộ điều khiển PID đa vòng mà sử dụng tiến trình tương tác để cải thiện hiệu suất vòng lặp.
Phương pháp làm tăng thời gian nhiều trong phản hồi vòng kín.
2 Những giải pháp chính xác có thể được tính gần đúng bằng hàm truyền hữu tỉ.
Sự kết hợp vòng lặp kín giữa các vòng lặp vẫn còn lớn
3
Phương pháp gia tăng ảnh hưởng của sự tương tác cho các vòng lặp riêng lẻ để tăng tốc độ đáp ứng vòng lặp.
3.8.3 Các dạng nghiên cứu 3.8.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB 3.8.3.1 Ví dụ 1: Tháp WB
Xét phương pháp Rais, ta tính các hệ số của các hàm hữu tỉ.
Từ min{ , } = 0.58, bộ điều khiển đa vòng cho tháp WB có thể được xác định: (s) = ; (3.50) Trong đó: = 0.485s7 + 0.318s6+ 0.117s5 + 0.0249s4 + 0.00391s3 + 0.000469s2 + 0.000034s + 0.0000029 = -0.904 s3 – 0.0196 s2 – 0.00262 s – 0.00257 d1 = s7+ 0.453s6 + 0.218 s5 + 0.026 s4 + 0.0054 s3 + 0.000301 s2 + 0.0000327s d2 = s3+ 0.064 s2 + 0.0156 s
- 36 -
Các ràng buộc | . (0)| (lỗi tăng) tương ứng là 0.054 và 0.049 cho k1(s) và k2(s):
Hình 3.18 Bước đáp ứng cho tháp WB sử dụng phương pháp Wang 2.
Những phản ứng thời gian của mỗi vòng lặp sử dụng phương pháp Wang 2 được thể hiện trong hình 3.18. Nó chứng minh rằng phương pháp Wang 2 có cải tiến lớn trong hoạt động vòng lặp so với phương pháp BLT.
3.8.3.2 Ví dụ 2: Tháp WW
Chúng ta cũng có thể xác định bộ điều khiển đa vòng cho các mô hình tháp WW như ở ví dụ 1: (s) = ; (3.51) = 11.3s5 + 11.8s4 + 15.1s3 + 1.21s2 + 0.0414s + 0.000473 = -8.55s4 – 7.16s3 – 2.42s2 – 0.0995s – 0.00216 d1 = s5 + 0.73 s4 + 0.377s3 + 0.0301 s2 + 0.00028s d2 = s4+0.348s3+ 0.131s2 + 0.00161s Từ min{ , } = 0.16 rad/s
- 37 -
Hình 3.19 Bước đáp ứng cho tháp WW sử dụng phương pháp Wang 2.
Hình 3.19 cho thấy sự so sánh trong bước đáp ứng của hệ thống điều khiển thông tin phản hồi giữa phương pháp Wang 2 và BLT.
3.9 Phương pháp Wang 1 (CRPTRO)
Khi sử dụng phương pháp Wang 1, tương tác giữa các vòng lặp đôi khi là lớn. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách gia tăng ε trong biểu thức (3.49) làm cho bậc ki(s) thấp hơn.
Dựa trên mô phỏng mở rộng, khi hàm truyền mục tiêu qdi đáp ứng các thiết lập trong (53), chúng ta có bộ điều khiển đa vòng PID:
(s) = + + s = 1 (3.52)
3.9.1 Những ưu điểm và nhược điểm của phương pháp CRPTRO
STT Ưu điểm Khuyết điểm
1 Phương pháp tạo ra một trao đổi hợp lý giữa các vòng lặp và tách riêng hiệu suất.
Các hệ thống điều khiển MIMO làm tăng thời gian và thời gian thiết lập lớn.
- 38 - 2 Các bộ điều khiển bậc thấp thì rẻ hơn và dễ dàng thực hiện. 3 Bộ điều khiển đa vòng PID có thể được thiết lập bằng cách tính toán
bậc của tử số và mẫu số. 4
Chúng ta có thể áp dụng phương pháp bình phương tuyến tính trong miền tần số thay vì phương pháp tiếp cận bình phương tối thiểu.
3.9.2 Các dạng nghiên cứu 3.9.2.1 Ví dụ 1: Tháp WB 3.9.2.1 Ví dụ 1: Tháp WB
Theo phương pháp CRPTRO thì ta có được các bộ điều khiển PID đa vòng:
( ) = 0.571 1 + . + 1.02 , −0.113(1 + . + 1.05 ) (3.53)
Hình 3.20 Bước đáp ứng cho tháp WB sử dụng phương pháp Wang 1.
Hình 3.20 hiển thị bước đáp ứng của hệ thống điều khiển. Bằng cách sử dụng phương pháp Wang 1 là đường nét liền trong hình. Nó cho thấy phương pháp Rais
- 39 -
cho sự ổn định, hiệu suất mạnh mẽ và thời gian thiết lập ngắn hơn trong các kết hợp giữa các vòng lặp.
3.9.2.1 Ví dụ 2: Tháp WW
Sau quy trình như trên, chúng ta cũng có thể tìm bộ điều khiển đa vòng cho các mô hình cho tháp WW:
( ) = 41.6 1 + . + 1.81 , −19.4(1 + . + 0.054 ) (3.54)
Hình 3.21 Bước đáp ứng cho tháp WW bằng cách sử dụng phương pháp Wang 1. Hình 3.21 cho thấy các phản ứng thời gian vòng lặp kín của hệ thống điều khiển phản hồi, bằng cách sử dụng phương pháp Wang 1. Nó thỏa yêu cầu được đưa ra hơn phương pháp BLT trong cả hai vòng lặp.
- 40 -
CHƯƠNG 4
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG CỦA BỘ ĐIỀU KHIỂN
4.1 Các chỉ tiêu chất lượng
Yêu cầu đầu tiên của hệ thống điều khiển là ổn định. Tuy nhiên, yêu cầu này chưa đủ để đảm bảo hệ thống hoạt động tốt. Trong thực tế, hệ thống còn phải đồng thời thỏa mãn nhiều yêu cầu khác, bao gồm các chỉ tiêu chất lượng của đáp ứng quá độ(chất lượng động học) và sai số xác lập(chất lượng tĩnh học), khả năng chống nhiễu…
Thông thường, chất lượng động và tĩnh học của các hệ thống điều khiển được đánh giá thông qua đáp ứng quá độ đối với tín hiệu vào bậc thang đơn vị .
Chất lượng của hệ thống được đánh giá qua các tiêu chí sau:
Thời gian quá độ ts hay tset (setting time): là thời gian cần thiết để tín hiệu ra đạt và duy trì được giá trị xác lập y với sai số cho phép ±2% (hoặc ±5%)
Độ vọt lố % hay POT( độ quá điều chỉnh, Percent Overshoot): là sai lệch giữa giá trị cực đại và giá trị xác lập của đáp ứng, tính theo phần trăm:
% ymac y 100% POT y (4.1)
Hai chỉ tiêu độ vọt lố và thời gian quá độ thường trái ngược nhau: để có độ vọt lố nhỏ thì thời gian quá độ sẽ lớn và ngược lại. Sai số xác lập e hay ess(steady-
state error): là sai lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp ở trạng thái xác lập. Sai số xác lập đặc trưng cho độ chính xác của hệ thống điều khiển.
4.2Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng quá độ
Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE:
0
( ) min
- 41 -
Đối với hệ có đáp ứng quá độ không dao động thì tiêu IE chính là diện tích của hàm sai lệch e t( )tạo với thời gian t cần đạt giá trị cực tiểu thì chất lượng đạt tốt nhất.
Song đối với hệ số có đáp ứng quá độ dao động ổn định thì tiêu chuẩn IE không phản ánh đúng chất lượng của hệ thống do có miền diện tích âm đã được trừ bớt đi. Kết quả là giá trị tích phân nhỏ nhưng quá trình quá độ xấu. Vì vậy phải sử dụng tiêu chuẩn tích phân trị số tuyệt đối của sai lệch.
Tiêu chuẩn IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error – tích phân trị tuyệt đối biên độ sai số):
0
e(t) min
IAE dt (4.3)
Đối với hệ bậc hai: IAE min khi 0,707.