Sự phõn tớch những điều kiện cụ thể của quỏ trỡnh phỏt triển của đối tượng toỏn học đó chỉ ra rằng, thực tiễn khụng những chỉ là nguồn gốc và động lực của sự phỏt triển toỏn học mà cũn là tiờu chuẩn chõn lý của mỗi lý thuyết toỏn học. Song trong toỏn học, vấn đề coi thực tiễn như là một tiờu
chuẩn của chõn lý được thể hiện dưới những hỡnh thức rất đặc biệt, nhất là trong thời đại của chỳng ta, khi xem xột vấn đề tớnh chõn lý của cỏc hệ tiờn đề của toỏn học, chỳng ta nhận thấy rằng, cỏc hệ thống này sở dĩ được cỏc nhà khoa học quan tõm đến là vỡ chỳng phản ỏnh cỏc quan hệ nào đú của thế giới thực tại, cho dự đú chỉ là sự phản ỏnh giỏn tiếp. Trờn thực tế, quỏ trỡnh xỏc lập tớnh chõn lý của cỏc kết luận và cỏc lý thuyết toỏn học đó gặp khụng ít khú khăn. Đú là điều dễ hiểu, vỡ theo cỏch lập luận của toỏn học thỡ tớnh chõn lý của cỏc định lý toỏn học phụ thuộc trực tiếp vào tớnh chõn lý của cỏc tiờn đề, cho nờn nếu chỉ nhỡn vào hỡnh thức, chỳng ta rất dễ tưởng rằng, để xỏc lập tớnh chõn lý của mỗi lý thuyết toỏn học ta chỉ cần phải thử nghiệm cỏc tiờn đề mà lý thuyết đú dựa vào là đủ. Nhưng cú một điều dễ thấy là nhiều tiờn đề toỏn học khụng cho phộp bất cứ một sự thử nghiệm nào. Chẳng hạn, trong thực tế khụng cú một thớ nghiệm nào cú thể xỏc lập trực tiếp tớnh chõn lý của tiờn đề về đường thẳng song song trong hỡnh học Ơclớt. Tiờn đề này khẳng định rằng, hai đường thẳng song song khụng cắt nhau cho dự chỳng ta kộo dài chỳng vụ tận. Vỡ vậy, muốn thử nghiệm tiờn đề này, chỳng ta phải thử lại một tập hợp vụ hạn cỏc điểm trờn đường thẳng. Trong khi đú, một điều rất hiển nhiờn là trong thớ nghiệm, chỳng ta chỉ cú một số hữu hạn cỏc đối tượng và cỏc quỏ trỡnh.
Ngoài ra, như chỳng ta biết, hệ thống tiờn đề cú thể cú cả một tập hợp cỏc sự giải thớch cụ thể khỏc nhau, mà thiếu chỳng thỡ núi chung khụng cú một thử nghiệm nào cú thể làm được. Tất cả những điều đú buộc chỳng ta phải quay về phương phỏp giỏn tiếp để thử nghiệm cỏc kết luận và cỏc định lý toỏn học. Điều đú cú nghĩa là, chỳng ta khụng thử nghiệm bản thõn cỏc tiờn đề, mà thử nghiệm một số cỏc hệ quả lụgic của chỳng, tức là thử nghiệm cỏc định lý. Khi thực hiện điều đú, chỳng ta giả sử đó cho hệ tiờn đề được xột cựng với sự minh họa của nú, tức là về thực chất ta đó chuyển từ lĩnh vực toỏn học thuần tỳy sang lĩnh vực toỏn học ứng dụng. Ở đõy, chớnh toỏn học
thuần tỳy và lụgic cho phộp chỳng ta nhận được cỏc hệ quả, trong đú cú một số hệ quả cú thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. í nghĩa to lớn của cỏc hệ quả trong quỏ trỡnh xỏc lập chõn lý toỏn học chớnh là ở chỗ đú. Nhưng việc làm đú khụng phải là cốt yếu trong quỏ trỡnh thử nghiệm cỏc lý thuyết toỏn học. Ở đõy hoàn toàn khụng cú sự biến cỏc khẳng định của toỏn học thuần tỳy thành cỏc khẳng định của khoa học thực nghiệm. Chẳng hạn, trong vật lý thỡ khụng thể cú một sự thử nghiệm nào về lý thuyết toỏn học trừu tượng.
Thụng thường, để kiểm tra người ta chọn cỏc hệ quả của cỏc tiờn đề và biến chỳng thành cỏc giả thuyết thớ nghiệm, mà những giả thuyết đú cho phộp ta kiểm tra được bằng thực nghiệm. Vớ dụ, trong hỡnh học người ta thường dựng định lý về tổng cỏc gúc trong một tam giỏc để kiểm tra thực nghiệm.
Phương phỏp thử nghiệm giỏn tiếp cỏc khỏi niệm xuất phỏt và cỏc tiờn đề toỏn học khụng phải là một đặc điểm gỡ riờng biệt của tri thức toỏn học. Trong cỏc khoa học khỏc, cỏc nguyờn lý xuất phỏt cũng khụng thể kiểm tra trực tiếp được bằng thực nghiệm. Chẳng hạn như trong cơ học cổ điển của Niu tơn, chúng ta đó gặp một nguyờn lý như thế ở định luật quỏn tớnh. Định luật này núi rằng, một vật thể bất kỳ nếu khụng cú ngoại lực tỏc động lờn thỡ nú sẽ giữ nguyờn trạng thỏi đứng yờn hay chuyển động đều. Điều hiển nhiờn là trong bất cứ thớ nghiệm nào, chỳng ta cũng khụng thể loại trừ hoàn toàn ảnh hưởng của cỏc ngoại lực và như vậy khụng thể kiểm tra được tớnh đỳng đắn của định luật thứ nhất của chuyển động. Nhưng chỳng ta cú thể nhận được cỏc hệ quả từ cỏc định luật cơ bản của cơ học, một số trong chỳng cú thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. Phương phỏp kiểm tra giỏn tiếp như vậy chẳng qua là sự ỏp dụng cụ thể phương phỏp giả thuyết suy diễn, nú đúng vai trũ quan trọng trong vật lý và trong cỏc khoa học phỏt triển khỏc. Ở đõy, một số cỏc giả thuyết được sử dụng
với tư cỏch là cỏc tiờn đề của kết luận. Trờn cơ sở xỏc nhận cỏc hệ quả của cỏc giả thuyết này mà chỳng ta cú thể phỏn đoỏn về tớnh chõn lý của bản thõn cỏc giả thuyết. Phương phỏp thử nghiệm như thế đó được sử dụng rộng rói trong khoa học hiện đại. Nhà khoa học nổi tiếng Anhxtanh đó chỉ ra rằng, hệ thống hoàn thiện của vật lý lý thuyết gồm cỏc khỏi niệm, cỏc nguyờn lý cơ bản liờn quan đến cỏc khỏi niệm đú và cỏc hệ quả rút ra từ chỳng bằng con đường suy diễn lụgic. Chớnh cỏc hệ quả này phải phự hợp với từng thớ nghiệm của chỳng ta.
Cú thể núi rằng, để kiểm nghiệm tớnh chõn lý của cỏc mệnh đề toỏn học bằng thực nghiệm, trước hết chỳng ta phải đưa vào sự giải thớch tương ứng để biến cỏc tiờn đề toỏn học thành cỏc giả thuyết trung gian, mà tớnh chất đỳng hoặc sai của chỳng được xỏc lập bằng thực nghiệm. Vớ dụ, với cỏch giải thớch vật lý, cỏc tiờn đề toỏn học trở thành giả thuyết vật lý, từ đú xỏc lập tớnh đỳng hoặc sai của cỏc giả thuyết đú bằng thực nghiệm. Để làm được điều đú, thụng thường người ta kiểm tra bằng thực nghiệm một số cỏc hệ quả của cỏc giả thuyết. Nhưng cần nhớ rằng, sự xỏc nhận hoặc phủ định cỏc hệ quả đú chứng tỏ sự xỏc nhận hoặc phủ nhận một cỏch trực tiếp cỏc giả thuyết, chứ khụng phải là sự xỏc nhận hoặc phủ định bản thõn cỏc tiờn đề toỏn học. Chớnh sự xỏc nhận bằng thực nghiệm cỏc hệ quả của tiờn đề đó mang lại cho chúng ta một bằng chứng giỏn tiếp về sự phự hợp của cỏc hệ thống toỏn học đối với việc nghiờn cứu cỏc tớnh chất và cỏc quan hệ của thực tại.
Như vậy, trong toỏn học con đường đi từ thực nghiệm đến lý thuyết tỏ ra rất phức tạp, nú phải trải qua cỏc lý thuyết trung gian cú tớnh chất tự nhiờn học, bởi vỡ cỏc lý thuyết này đứng "gần" thực tại hơn so với toỏn học. Khi chúng ta núi về sự xỏc nhận bằng thực nghiệm cỏc hệ quả được rút ra một cỏch lụgic từ hệ tiờn đề nào đú, hoặc từ những nguyờn lý cơ bản của khoa học này hay khoa học khỏc, thỡ khụng thể coi sự xỏc nhận như thế là xong hẳn mà khụng cần phải xem xột lại, sửa chữa và làm chớnh xỏc thờm
nữa. Xột từ gúc độ lụgic thỡ rừ ràng khụng cú một thớ dụ nào được đưa ra để minh họa một giả thuyết (thậm chớ cả một tổng bất kỳ những thớ dụ) mà lại cú thể xỏc nhận giả thuyết đú một cỏch hoàn toàn được, cho dự chỉ cần một thớ dụ mõu thuẫn với nú là cú thể gõy nờn một sự xỏo trộn rất lớn, thậm chớ dẫn tới một cuộc khủng hoảng trong khoa học. Chẳng hạn, cỏc nghịch lý xuất hiện trong quan niệm về đại lượng vụ cựng bộ hoặc nghịch lý xuất hiện trong lý thuyết tập hợp của Cantor. Đương nhiờn, càng nhiều thớ dụ xỏc nhận giả thuyết thỡ càng thể hiện sự chắn chắn nú là chõn lý. Nhưng cũng hiển nhiờn chỳng ta khụng thể khẳng định rằng, giả thuyết đú bắt buộc phải là chõn lý thực sự. Một sự tổng quỏt húa thực nghiệm, hoặc một giả thuyết khụng bao giờ là hệ quả lụgic của cỏc tiờn đề của chỳng. Sự thực, chỳng luụn luụn bao hàm một cỏi gỡ đú nhiều hơn, chớnh vỡ vậy kết luận rút ra ở đõy khụng cú tớnh chất chắc chắn hoàn toàn. Cựng với thời gian, một điều cú thể xảy ra là cỏc kết quả của thớ nghiệm và quan sỏt mới sẽ làm giảm bớt mức độ xỏc nhận giả thuyết hoặc thậm chớ hoàn toàn phủ nhận nú. Như vậy, sự xỏc nhận cỏc hệ quả của cỏc giả thuyết chỉ cú thể xem như là chứng tỏ giả thuyết cú nhiều phần chắc là đỳng, chứ tuyệt nhiờn khụng thể coi đú là chứng tỏ tớnh xỏc thực của giả thuyết đú. Điều này cú ý nghĩa phương phỏp luận rất quan trọng, bởi vỡ nú chỉ ra tớnh tương đối của sự xỏc nhận một giả thuyết khoa học bất kỳ. Điều này rất phự hợp với luận điểm của Lờnin về tớnh tương đối của tiờu chuẩn thực tiễn với tớnh cỏch là tiờu chuẩn của chõn lý. Chẳng hạn như trong cơ học cổ điển thỡ khối lượng m của mọi vật thể được coi là một đại lượng bất biến trong mọi trường hợp, nhưng từ khi thuyết tương đối của Anhxtanh ra đời, một kết luận quan trọng đó được rút ra là khối lượng của một vật khụng phải là một đại lượng bất biến, mà được thay đổi theo tốc độ vận tốc của nú theo cụng thức
Trong đú:
- m: khối lượng của vật khi nú chuyển động với vận tốc v. - m0: là khối lượng của vật khi đứng yờn.
Chúng ta hoàn toàn nhận thấy rằng điều vừa nờu trờn ỏp dụng cho tất cả những khẳng định, trong đú cú cỏc tiờn đề toỏn học, thụng qua một sự giải thớch xỏc định, chỳng được biến thành cỏc giả thuyết nào đú của cỏc khẳng định ấy. Nhưng ở đõy, chỳng ta khụng thể núi gỡ trực tiếp về bản thõn cỏc tiờn đề toỏn học mà khụng xem xột theo sự giải thớch như thế được.
thế đợc.
Quỏ trỡnh thử nghiệm lý thuyết toỏn học, nhất là cỏc lý thuyết cú nội dung phong phỳ, cũn mang tớnh chất phức tạp hơn nhiều. Như chỳng ta đó biết, một lý thuyết toỏn học cú nội dung phong phỳ là một hệ thống suy diễn cỏc mệnh đề. Một số trong cỏc mệnh đề đú cho phộp một sự kiểm tra thực nghiệm, vỡ thế chỳng là cỏc khẳng định với mức độ trừu tượng thấp hơn so với cỏc khẳng định mà từ đú chỳng được rút ra. Về nguyờn tắc, trong thành phần của lý thuyết hoàn toàn cú thể cú những khẳng định mà mức độ trừu tượng của chỳng vượt xa cỏc khẳng định cú thể kiểm tra được bằng thực nghiệm. Đồng thời, những khẳng định cú mức độ trừu tượng cao sẽ chỉ đúng vai trũ phụ, là tiờn đề của cỏc kết luận cú mức độ tổng quỏt thấp hơn. Như vậy, rừ ràng khụng phải tất cả mọi lý thuyết toỏn học đều phải cú ứng dụng thực tế. Khi núi về sự thử nghiệm một lý thuyết thỡ người ta khụng chỳ ý tới cỏc bộ phận riờng biệt của nú, mà người ta xột nú trong toàn thể, người ta nắm lấy phần cốt lừi của chỳng. Để đảm bảo tớnh hài hũa
lụgic trong bản thõn lý thuyết, cú khi cần phải đưa vào những khõu nào đú khụng cho phộp kiểm tra được bằng thực nghiệm.
Trong thực tế, bản thõn tớnh chất thử nghiệm về tri thức toỏn học khụng phải là bất biến trong quỏ trỡnh phỏt triển của khoa học và thực tiễn xó hội. Nếu ở cỏc giai đoạn trước kia của sự phỏt triển xó hội, toỏn học đó liờn hệ chặt chẽ với sản xuất, thỡ về sau này mối liờn hệ đú trở nờn phức tạp hơn nhiều. Nền sản xuất xó hội ngày càng ảnh hưởng vào toỏn học qua cỏc nhu cầu của cỏc khoa học tự nhiờn và khoa học kỹ thuật. Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn đó trao cho cỏc nhà khoa học một cụng cụ cú hiệu lực để giải nhiều bài toỏn quan trọng của cơ học cỏc thiờn thể và của cỏc vật thể đó từng tồn tại trờn trỏi đất. Đến lượt mỡnh, việc nghiờn cứu cỏc định luật chuyển động cơ học ở thế kỷ thứ XVII và XVIII là do cỏc vấn đề cấp bỏch của sự phỏt triển sản xuất và kỹ thuật thỳc đẩy. Cựng với sự thay đổi tớnh chất mối liờn hệ của toỏn học với sản xuất, sự kiểm tra tớnh chõn lý của cỏc lý thuyết toỏn học bõy giờ đó được thực hiện thụng qua hầu hết cỏc khoa học tự nhiờn và kỹ thuật. Như chỳng ta đó biết, trong thời kỳ đầu của sự phỏt triển giải tớch toỏn học, khi mà cỏc nguyờn lý cơ bản của nú chưa được hiểu thấu một cỏch tường tận, người ta đó nhỡn thấy tớnh đỳng đắn của cỏc kết luận nhận được chớnh là trong sự phự hợp của chỳng với thớ nghiệm và thực tế. Cỏc kết luận này phự hợp với cỏc kết quả của cơ học và khoa học tự nhiờn chớnh xỏc núi chung. Cựng với thời gian, mối liờn hệ của toỏn học với tự nhiờn học và kỹ thuật khụng hề bị suy giảm, mà trỏi lại ngày càng được tăng cường. Mối liờn hệ đú gắn bú đến mức ta cú thể núi rằng, đến một thời kỳ nào đú toỏn học được phỏt triển và thử nghiệm trờn tài liệu của khoa học mà trước hết là của khoa học tự nhiờn và kỹ thuật, chứ khụng phải là của thực tế. Nhưng chớnh mối liờn hệ đú lại chứng minh sự phụ thuộc của quỏ trỡnh phỏt triển của toỏn học với cỏc đũi hỏi của thực tiễn xó
hội vật chất của loài người. Nhưng sẽ là sai sút, nếu chỳng ta cố quy toàn bộ sự phỏt triển của toỏn học về việc phục vụ cỏc vấn đề sản xuất và cỏc khoa học gần với toỏn học. Về vấn đề này, chủ nghĩa duy vật biện chứng, trong khi khẳng định thực tiễn chớnh là cơ sở quyết định của nhận thức đó hoàn toàn khụng phủ nhận tớnh độc lập tương đối của sự phỏt triển lý thuyết.
Trong khi núi về thực tiễn như là tiờu chuẩn của chõn lý, nếu chỳng ta lại khẳng định luụn rằng mỗi một lý thuyết toỏn học mới cú thể được thực tiễn xỏc nhận ngay lập tức, thỡ đú là một nhận thức khụng đỳng. Thực tiễn cú khi núi lờn rất chậm tiếng núi quyết định của mỡnh, bởi vỡ bản thõn thực tiễn cũng tự phỏt triển và cú cỏi mà hụm nay nú khụng thể làm nổi thỡ ngày mai nú cú thể khắc phục được. Khi Lụbasepxki phỏt triển hỡnh học Hybecbụlic thỡ thực tiễn của thời đại bấy giờ khụng thể khẳng định được tớnh chõn thực của nú. Hơn nữa, thực tiễn cú vẻ như chỉ xỏc nhận tớnh chõn thực của hỡnh học Ơclớt. Đú là một trong những lý do cơ bản đó làm cho ngay cả những nhà toỏn học vĩ đại nhất ở cuối thế kỷ XIX cũng cú thỏi độ thận trọng hoặc là phản đối rừ rệt đối với hỡnh học Hypecbụlớc. Nhưng chẳng bao lõu sau khi Lụbasepxki từ trần nhà toỏn học Bentrami đó phỏt hiện ra rằng, trong khụng gian Ơclớt, với những mẩu mặt cú độ cong õm khụng đổi, hỡnh học của Lụbasepxki được thực hiện, trong đú "đường thẳng" ở đõy là những "đường trắc địa". Sau đú ụng đó xõy dựng được một mẫu hoàn chỉnh về hỡnh học khụng gian ba chiều của Lụbasepxki từ những đối tượng của hỡnh học Ơclớt và do đú đó chứng minh rằng những mệnh đề của hỡnh học Hypecbolic cũng khỏch quan như là những chõn lý khỏch quan của hỡnh học Ơclớt. Ngoài ra, về sau này tớnh chõn thực và giỏ trị thực tiễn của hỡnh học phi Ơclớt khụng những chỉ được toỏn học xỏc nhận mà cũn được vật lý học xỏc nhận nữa (như thuyết tương đối; học thuyết về cấu tạo vật chất v.v.).
Như vậy, mặc dự xem thực tiễn là tiờu chuẩn cao nhất của chõn lý,