Như chúng ta đó biết, trong toỏn học đại lượng là một trong những khỏi niệm rất cơ bản, nú được phõn chia thành cỏc đại lượng bất biến và đại lượng biến thiờn. Đại lượng bất biến là đại lượng giữ nguyờn giỏ trị của nú trong một quỏ trỡnh biến đổi đó cho. Chẳng hạn, khi nộn một chất khớ lý tưởng thỡ theo định luật Boyle - Mariotte, tớch của thể tớch khớ và ỏp lực là một đại lượng khụng đổi.
Đại lượng biến thiờn là đại lượng cú thể lấy những giỏ trị khỏc nhau. Chẳng hạn, đại lượng vụ cựng bộ hoặc khớ nộn một chất khớ lý tưởng thỡ ỏp lực và thể tớch của chất khớ đú biến thiờn, v.v..
Việc đưa đại lượng biến thiờn vào toỏn học (do Đờcactơ khởi xướng) là một bước nhảy vọt về chất trong toỏn học và khoa học núi chung, vỡ điều đú chứng tỏ một trỡnh độ mới về nhận thức cỏc hiện tượng tự nhiờn trong cỏc mối tương quan giữa chỳng.
Từ lập trường của triết học mỏcxớt, chỳng ta nhận thấy rằng trong toỏn học những đại lượng biến thiờn luụn luụn cú mối quan hệ mật thiết với những đại lượng bất biến, giống như mối quan hệ giữa vận động và đứng yờn trong thế giới khỏch quan vậy. Đú là mối quan hệ biện chứng sõu sắc, mà nếu thiếu nú thỡ khả năng ứng dụng của toỏn học vào thực tiễn sẽ bị hạn chế rất nhiều. Nhưng điều quan trọng hơn là ở chỗ, nếu khụng cú mối quan hệ với cỏc đại lượng bất biến thỡ sự tồn tại của cỏc đại lượng biến thiờn trong toỏn học cũng hoàn toàn khụng cú giỏ trị, chẳng hạn, khi x → 0 là một đại lượng biến thiờn được ứng dụng rất nhiều trong tớnh toỏn và trong thực hành, nhưng giỏ trị của nú chỉ thực sự được khẳng định khi cú mối liờn hệ , trong đú số 1 là đại lượng bất biến. Những đại lượng biến thiờn trong toỏn học là rất đa dạng và phong phỳ. Sự đa dạng và phong phỳ của chỳng dựa trờn nền tảng là sự thống nhất giữa hai mặt đối lập: biến thiờn và bất biến. Tư tưởng về mối quan hệ giữa biến thiờn và bất biến xuất hiện trong suốt quỏ trỡnh phỏt triển của toỏn học và nhờ đú mà toỏn học mới cú được sự ứng dụng rộng rói trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Vớ dụ, hàm số y = ax2 + bc + c, (a≠ 0) là đối tượng trực tiếp của toỏn học, với a, b, c bất kỳ chỳng ta cú thể nhận được rất nhiều hàm số cú đồ thị là đường cong Parabol. Trờn đường cong đú, ứng với mỗi giỏ trị thay đổi của biến x ta đều nhận được một giỏ trị tương ứng của y, nhưng cú một điều khụng hề biến đổi đú là đường cong luụn luụn cắt trục hoành tại hai
điểm với b2 - 4ac > 0.
Tương tự như vậy, trong hỡnh học chỳng ta cú thể cú rất nhiều tam giỏc vuụng với cạnh huyền là c và hai cạnh gúc vuụng a, b, nhưng cú cỏi khụng biến đổi đú là cụng thức tổng quỏt xỏc định mối quan hệ giữ a, b, c: a2 + b2 = c2.
Những đại lượng biến thiờn trong toỏn học xuất hiện trước hết là do nhu cầu của chớnh bản thõn toỏn học, nhưng suy cho cựng sự xuất hiện của chỳng là do nhu cầu thực tiễn quyết định. Vào thế kỷ thứ XVII, cỏc phương phỏp toỏn học được ỏp dụng hết sức mạnh mẽ vào khoa học tự nhiờn, trước hết là vào cơ học và thiờn văn học. Chẳng hạn, trong những năm 1632 - 1638, Galilờ đó tỡm được biểu thức toỏn học cho cỏc định luật về sự rơi tự do của cỏc vật thể; trước đú ít lõu (1609 - 1619) Keple đó phỏt minh và phỏt biểu dưới dạng toỏn học những định luật nổi tiếng về chuyển động của cỏc hành tinh. Năm 1686 I.Niutơn đó tỡm ra định luật vạn vật hấp dẫn: Hai vật thể bất kỳ hút nhau với một lực tỷ lệ thuận với cỏc khối lượng và tỷ lệ nghịch với bỡnh phương khoảng cỏch giữa chỳng (F = K). Từ đú, cỏc định luật chuyển động của cỏc hành tinh được giải thớch bởi sự hấp dẫn của mặt trời đối với chỳng.
Những thành tựu trong việc khỏm phỏ và phỏt triển về mặt toỏn học một số lớn quy luật tự nhiờn đó là cơ sở cho toỏn học chuyển sang nghiờn cứu những đại lượng biến thiờn, đỏnh dấu một bước phỏt triển về chất của toỏn học. Những đại lượng biến thiờn trong toỏn học xuất hiện đó kớch thớch mạnh mẽ nhu cầu ứng dụng của lý thuyết toỏn học. Trong bất cứ thời đại nào, toỏn học đều được phỏt triển dưới ảnh hưởng quyết định của thực tiễn, mà xột cho cựng là của sự tiến bộ về kinh tế và kỹ thuật. Sự biến đổi của thực tiễn, của cơ sở tư duy với vai trũ của toỏn học đó xảy ra đồng thời với những biến đổi sõu sắc về chất diễn ra trong nội dung của toỏn học. Việc nghiờn cứu cỏc số, cỏc đại lượng khụng đổi, cỏc hỡnh học đó được bổ sung bằng sự nghiờn cứu cỏc chuyển động, cỏc phộp biến đổi và sự phụ thuộc hàm số. Nội dung bờn trong của toỏn học đó biến đổi, làm cho nú chuyển sang một giai đoạn mới - giai đoạn toỏn học về cỏc đại lượng biến thiờn.
Khỏi niệm đại lượng biến thiờn lần đầu tiờn được Đờcactơ sử dụng trong toỏn học và đó đúng vai trũ quan trọng trong sự hỡnh thành và phỏt triển của toỏn học hiện đại. Chớnh vỡ vậy, trong tỏc phẩm nổi tiếng "Biện chứng của tự nhiờn" Ăngghen viết: "Đại lượng khả biến của Đờcactơ đó đỏnh dấu một bước ngoặt trong toỏn học. Với đại lượng đú, vận động và biện chứng đó đi vào toỏn học và phộp tớnh vi phõn và tớch phõn đó lập tức trở thành cần thiết" [30, tr. 756]. Vào thời kỳ đú trọng tõm của toỏn học hướng vào việc nghiờn cứu sự biến thiờn của cỏc hàm số theo cỏc biến số, sự nghiờn cứu đạo hàm rồi nguyờn hàm và tớch phõn. Những bài toỏn về cơ học và vật lý đó làm nảy sinh vẫn đề tỡm cỏc hàm số chưa biết căn cứ vào mối liờn hệ giữa cỏc hàm đú với cỏc đạo hàm của chỳng do cỏc định luật cơ học và vật lý cung cấp.
Trong lịch sử toỏn học, sự sỏng tạo ra phộp tớnh vi phõn và tớch phõn xứng đỏng được coi là một trong những thành tựu lớn nhất. Nú được trỡnh bày trong cỏc tỏc phẩm của Niutơn và Lepnớtxơ. Sau đú nú đó được cỏc nhà khoa học (trong đú cú C.Mỏc) phõn tớch và ỏp dụng vào việc nghiờn cứu tự nhiờn và xó hội. Ăngghen viết: "Giới tự nhiờn vận dụng những vi phõn ấy, tức là những phõn tử, theo một phương thức và theo những quy luật hoàn toàn giống như là toỏn học vận dụng những vi phõn trừu tượng của nó" [30, tr. 770].
Trong thực tế, khi người ta muốn nghiờn cứu chuyển động của một vật thỡ bắt buộc người ta phải nghiờn cứu mối quan hệ giữa vị trớ của vật đú và thời gian diễn ra vận động, tức là giữa khụng gian và thời gian. Ở đõy, cỏi đặc trưng cho mối quan hệ đú chớnh là sự tăng hay giảm tốc độ của sự vật được nghiờn cứu. Toỏn học đó nghiờn cứu cỏc mối quan hệ đú và biểu diễn chỳng dưới dạng cỏc phương trỡnh của chuyển động. Trước đú, trong toỏn học của thời kỳ Hy Lạp cổ đại và trong đại số học, người ta luụn luụn cho rằng, trong một chuyển động khi ta biết được vận tốc thỡ quóng đường
đi được bao giờ cũng tỉ lệ với thời gian đi. Nhưng điều khẳng định trờn chỉ đỳng đối với những vật chuyển động đều, vỡ chỉ cú chuyển động đều thỡ vận tốc mới luụn luụn khụng đổi. Đú là một thứ chuyển động cực kỳ lý tưởng, bởi vỡ trong thực tế khụng cú vật thể nào chuyển động đều cả, chuyển động bao giờ cũng cú vận tốc thay đổi. Như vậy, vấn đề đặt ra là làm sao đo được vận tốc tức thời ở từng thời điểm. Để giải quyết vấn đề này, người ta đó sử dụng những đại lượng biến thiờn trong toỏn học để xỏc định vận tốc của một chuyển động ở những thời điểm cần thiết. Vớ dụ, ta xột một chuyển động biến đổi theo phương trỡnh S = f(t), trong đú S: quóng đường đi, t: thời gian. Để tớnh vận tốc của chuyển động trờn ở một thời điểm t nào đú, người ta giả sử cộng thờm vào thời gian t + ∆t. Giả sử đoạn đường đi được của vật chuyển động trong thời gian ∆t là ∆S. Khi đú ta cú:
S + ∆S = f (t + ∆t) ⇔∆S = f (t + ∆t) - f(t)
Nếu như ∆t càng nhỏ thỡ ∆S càng nhỏ và vận tốc trung bỡnh trong đoạn rất bộ này được xem như khụng biến đổi và chớnh là . Điều đú đó dẫn tới một thực tế là khi tỡm vận tốc của một chuyển động biến đổi ở một thời điểm t nào đú, ta thấy ∆t càng nhỏ thỡ vận tốc trung bỡnh trờn đoạn ∆S càng gần với vận tốc ở thời điểm cần tỡm. Nếu gọi vận tốc ở thời điểm t là vt thỡ ta cú:
vt =
Một khi chúng ta đó đưa ra khỏi niệm vận tốc tức thời của một chuyển động thỡ rất cú thể là ở cỏc thời điểm khỏc nhau, vận tốc sẽ khỏc nhau.
Trong toỏn học, người ta gọi khỏi niệm ∆t → 0 là vụ cựng bộ. Khỏi niệm vụ cựng bộ là một trong những khỏi niệm quan trọng về đại lượng biến thiờn trong toỏn học. Khỏi niệm này đó cú quỏ trỡnh lịch sử hỡnh thành và gõy ra khụng ít tranh cói. Trước đõy đó cú thời kỳ người ta quan niệm
vụ cựng bộ là một số lớn hơn khụng và nhỏ hơn một số dương hữu hạn bất kỳ nào đú. Chớnh quan niệm này đó dẫn tới một loạt cỏc mõu thuẫn liờn quan đến vụ hạn thực tại và là nguyờn nhõn của cuộc khủng hoảng của cơ sở toỏn học vào thế kỷ XVII. Trờn thực tế, vụ cựng bộ cú lỳc phải xem như nú bằng khụng, điều đú cũng cú nghĩa là phải quan niệm nú như một quỏ trỡnh, là một đại lượng biến thiờn chứ khụng phải là một con số, khụng phải là một đại lượng tĩnh tại. Chỉ cú trờn cơ sở quan niệm như vậy thỡ việc vận dụng vụ cựng bộ mới giải quyết được những bài toỏn thực tiễn và mới chứng minh được nhiều định lý quan trọng trong giải tớch học. Việc đưa đại lượng vụ cựng bộ vào toỏn học đó trở thành sự kiện mở đầu của những biến đổi to lớn, cỏch mạng, làm thay đổi một cỏch nhanh chúng toàn bộ gương mặt của toỏn học và nõng cao vai trũ của nú trong hệ thống cỏc kiến thức về khoa học tự nhiờn hiện đại. Sự xuất hiện giải tớch cỏc đại lượng vụ cựng bộ đó được hoàn thiện qua một quỏ trỡnh lõu dài, bản chất toỏn học bờn trong của nú nằm trong sự tớch lũy và sự phõn tớch cỏc yếu tố của phộp tớnh vi phõn, tớch phõn và của lý thuyết chuỗi. Nguyờn nhõn kớch thớch quỏ trỡnh xuất hiện của cỏc đại lượng vụ cựng bộ, trước hết gồm cỏc nhu cầu của cơ học, thiờn văn học, vật lý học. Cỏc khoa học này khụng chỉ đũi hỏi toỏn học giải cỏc lớp bài toỏn khỏc nhau, mà chỳng đó làm giàu cỏc khỏi niệm của toỏn học về cỏc đại lượng liờn tục và cỏc chuyển động liờn tục, về bản chất và hỡnh thức của cỏc quan hệ hàm số. Trong sự tỏc động tương hỗ mật thiết giữa toỏn học và cỏc khoa học cú sử dụng toỏn học, người ta tỡm được cỏc phương phỏp vi phõn - cơ sở của toỏn học về cỏc đại lượng biến thiờn.
Từ thế kỷ thứ XVII, toỏn học đó cú đầy đủ những tiền đề cần thiết để xõy dựng được phộp tớnh về đại lượng vụ cựng bộ. Sự cú mặt của mụn đại số và kỹ thuật tớnh toỏn, việc ỏp dụng đại lượng biến thiờn và phương phỏp tọa độ vào trong toỏn học, sự quỏn triệt những ý niệm về vi phõn của thời cổ đại (đặc biệt là của Acsimet), sự tớch lũy cỏc phương phỏp giải bài
toỏn tớnh cầu phương, lập phương, xỏc định trọng tõm, tỡm tiếp tuyến, cực trị, v.v. là những cơ sở quan trọng cho sự ra đời của giải tớch cỏc đại lượng vụ cựng bộ. Đõy là một vấn đề cú ý nghĩa rất lớn khụng những chỉ đối với sự phỏt triển của toỏn học mà cũn cả trong lĩnh vực triết học. Trong tỏc phẩm "Biện chứng của tự nhiờn" Ăngghen viết:
Trong tất cả những thành tựu lý luận chưa chắc đó cú một thành tựu nào được mọi người xem là thắng lợi tối cao của trớ úc con người như sự phỏt minh ra phộp tớnh cỏc đại lượng vụ cựng nhỏ vào nửa cuối thế kỷ XVII. Nếu như chỳng ta đó gặp ở một nơi nào đú một thành tớch thuần tỳy và hoàn toàn riờng của trớ nóo con người, thỡ nơi đú chớnh là ở đõy. Cỏi bớ mật cho đến nay vẫn cũn bao trựm những đại lượng được sử dụng trong phộp tớnh cỏc đại lượng vụ cựng nhỏ - cỏc vi phõn và những cỏi vụ cựng nhỏ ở những bậc khỏc nhau là bằng chứng tốt nhất về tỡnh trạng vẫn cũn lưu hành cỏi ảo tưởng cho rằng ở đõy, thuần tỳy chỉ cú "nhưng sỏng tạo tự do và những sản phẩm của sự tưởng tượng" của trớ nóo con người, khụng phự hợp với thế giới khỏch quan. Thế nhưng ngược lại như vậy mới đỳng. Giới tự nhiờn cung cấp những nguyờn hỡnh của tất cả những đại lượng tưởng tượng đú [30, tr. 776].
Những đại lượng biến thiờn trong toỏn học đó được sử dụng để nghiờn cứu sự chuyển động của cỏc vật thể. Để thực hiện được điều đú, người ta đó đề cập đến hàng loạt vấn đề như vận động, tớnh liờn tục và giới hạn, trờn cơ sở đú thiết lập khỏi niệm về đạo hàm của hàm số. Lý thuyết giới hạn là một bộ phận quan trọng trong giải tớch học, nú đó sử dụng những đại lượng biến thiờn để rút ra những kết luận cú ý nghĩa thực tiễn rất lớn. Khỏi niệm về đạo hàm của một hàm số, cho phộp ta xỏc định được vận tốc và gia tốc của một chuyển động biến đổi ở những thời điểm nhất định. Để minh
chứng cho nhận định trờn, chỳng ta hóy trở lại vớ dụ về tỡm vận tốc tức thời của một chuyển động. Trong vớ dụ đú, nếu ta gọi y là quóng đường đi, x là thời gian chuyển động, thỡ khi đú giới hạn của tỷ số khi ∆x → 0 là vận tốc tức thời của chuyển động và người ta gọi giới hạn trờn là đạo hàm của hàm số y = f(x) theo biến số x. Nếu chỳng ta lấy đạo hàm một lần nữa tức là đạo hàm của vận tốc theo thời gian thỡ ta sẽ được gia tốc của chuyển động. Trong cơ học cổ điển, thụng thường người ta chỉ dựng đến đạo hàm bậc hai để xỏc định gia tốc thụi.
Như chúng ta đó biết, cụng thức của định luật Niutơn về lực là F = m.a, trong đú F: lực tỏc dụng vào vật; m: khối lượng của vật; a: gia tốc của vật.
Ở đõy, nếu gia tốc a là đạo hàm bậc hai của quóng đường theo thời gian thỡ tất cả mọi loại chuyển động, mọi phương trỡnh biểu diễn chuyển động của cơ học cổ điển đều cú thể đưa về vận dụng quy luật quan hệ giữa lực và gia tốc của chuyển động. Từ luận điểm trờn, trong thực tế muốn xỏc định vị trớ của một con tàu vũ trụ thỡ chỳng ta phải xỏc định xem trong khụng trung cú những lực nào tỏc động lờn con tàu từ đú dựa vào phương trỡnh F = m.a ta tớnh được gia tốc của nú. Từ chỗ biết được gia tốc, lại biết được vận tốc ban đầu v
ta tính đợc gia tốc của nó. Từ chỗ biết đợc gia tốc, lại biết đợc vận tốc ban đầu v0, ta sẽ tớnh được vận tốc con tàu ở thời điểm xỏc định theo cụng thức: vt = v0 + at. Trờn cơ sở đú, ta xỏc định được vị trớ của con tàu ở thời điểm t theo một hàm số thời gian. Vị trớ đú là một tọa độ nào đú trong khụng