Trong lịch sử toỏn học, cỏc phỏt minh của người Hy Lạp cổ đại đó làm thay đổi mạnh mẽ phong cỏch tư duy lụgớc và phương hướng của toàn bộ tư tưởng toỏn học. Chớnh những phỏt minh đú đó tạo ra cỏc nguyờn tắc của tư duy khoa học mà cho đến ngày nay vẫn cũn nguyờn giỏ trị. Theo cỏch đỏnh giỏ của Lờnin, cỏc giỏ trị của tư tưởng Hy Lạp cổ đại là ở chỗ, chỳng đó tạo ra cỏc "hệ thống thử nghiệm" của tư duy lý thuyết.
Trong thời kỳ cổ đại một trong những khuynh hướng nổi bật là khuynh hướng coi toỏn học và cỏc đối tượng của nú khụng phải là cỏi gỡ
đú xa lạ với thế giới bờn ngoài được tri giỏc cảm tớnh mà trỏi lại chỳng như là những bộ phận cấu thành thế giới đú. Quan điểm này thể hiện rừ nhất trong tư tưởng của trường phỏi Pitago về số. Trường phỏi này đó coi cỏc số là khởi nguyờn của toàn bộ những cỏi đang tồn tại. Cỏc số ở trường phỏi Pitago chớnh là đối tượng của toỏn học, chỳng xuất hiện như là những thành phần cấu tạo nào đú giỳp cho con người khả năng định hướng thế giới xung quanh. Cỏc số đối với trường phỏi này là nguyờn tắc thể thức húa cỏc đồ vật nhằm mục đớch làm cho ý thức con người nắm được chỳng. Số làm cho con người cú thể phõn biệt được đồ vật này với đồ vật khỏc, hợp nhất cỏc đồ vật khỏc nhau thành nhúm, so sỏnh chỳng và núi chung là xõy dựng cỏc đồ vật khụng chỉ trong đời sống mà trong cả ý thức. Đú chớnh là quan điểm cú tớnh chất nhận thức luận đối với toỏn học. Trong học thuyết
về số của trường phỏi Pitago, chúng ta nhỡn thấy rất rừ cả khuynh hướng khoa học và tụn giỏo thần bớ đan xen nhau. Chớnh sự kết hợp đú đó tạo ra
mõu thuẫn bờn trong của phương phỏp tư duy của trường phỏi này. Pitago đó ỏp dụng cỏc phương phỏp số lượng trong lý thuyết õm nhạc, đó tỡm ra định lý Pitago về tam giỏc vuụng và một loạt cỏc định lý về cỏc số nguyờn tố, về cấp số. Cú thể núi rằng, những người theo trường phỏi Pitago đó cố gắng "toỏn học húa thực tại", song chủ nghĩa thần bớ và chủ nghĩa duy tõm của trường phỏi này đó kỡm hóm sự phỏt triển của toỏn học. Từ lập trường đú họ đó phủ định tớnh vụ tỉ trong hỡnh học (tức là, tớnh vụ ước của đường chộo hỡnh vuụng với cỏc cạnh của nú), mà chớnh phỏt minh này đó dẫn tới cuộc khủng hoảng đầu tiờn trong lịch sử của cỏc cơ sở phương phỏp luận của lý thuyết toỏn học về số lượng. Về thực chất, mõu thuẫn mà phỏi Pitago nờu ra giữa tớnh giỏn đoạn và tớnh liờn tục, giữa số học và hỡnh học, về sau này đó thỳc đẩy sự phỏt triển của cỏc quan niệm về số lượng.
Zenon, bằng cỏc nghịch lý của mỡnh đó chỉ ra một cỏch đầy đủ hơn và sõu sắc hơn bản chất bờn trong và đặc điểm của số lượng. Nếu như trước đú, số lượng được hiểu là số, là cỏi gỡ hoàn toàn rời rạc, thỡ nguyờn lý của Zenon đó chỉ ra rằng "số lượng trong tự thõn" và "số lượng cho cỏi khỏc" là cỏc dạng, cỏc yếu tố, cỏc phương diện và hỡnh thức thể hiện của số lượng.
Trong nghịch lý "Asin và con rựa", Zờnon đó phỏt hiện ra mối liờn hệ bờn trong giữa cỏc tập hợp vụ hạn khỏc nhau về đại lượng. Thật vậy, giữa tập hợp vụ hạn cỏc đoạn thẳng mà Asin đó chạy qua và tập hợp vụ hạn cỏc đoạn thẳng mà con rựa đó bũ qua, cú thể xỏc lập một sự tương ứng một - một. Kết quả là cả tập hợp vụ hạn thỡ tương đương với một bộ phận vụ hạn thực sự của nú. Nghịch lý này đó phỏt hiện ra một tỡnh huống ly kỳ là: một "bộ phận" của thời gian bằng "toàn thể" thời gian đú. Điều này thật vụ lý. Tiờn đề "toàn thể lớn hơn bộ phận" chỉ cú nghĩa trong phạm vi cỏc đại lượng hữu hạn, cũn trong phạm vi cỏc đại lượng vụ hạn thỡ lại tồn tại
nguyờn tắc bộ phận tương đương với toàn thể. Nguyờn tắc này cú giỏ trị nền tảng trong việc nhận thức cỏc quan hệ số lượng. Cụng lao lịch sử của Zenon là ở chỗ, ụng đó chứng minh được rằng, cỏc khỏi niệm "bộ phận", "toàn thể" và bằng nhau chỉ cú thực trong phạm vi đối tượng hữu hạn, nghĩa là trong lĩnh vực cỏc đại lượng hữu hạn. Khi chuyển sang phạm vi đối tượng vụ hạn, cỏc khỏi niệm đú cần được tổng quỏt húa.
Tuy nhiờn, Zenon đó đồng nhất sự tương đương với sự bằng nhau, trong khi đú chỳng khỏc nhau một cỏch rất cơ bản. Cơ sở cỏc nghịch lý của Zenon cũn bao hàm khỏi niệm tập hợp vụ hạn, khỏi niệm này cú một giỏ trị logic - nhận thức to lớn. Với sự xuất hiện của nú thỡ việc nhận thức cỏc phương diện số lượng trở thành sõu sắc hơn và khỏi niệm số nguyờn được tỏch ra, phõn húa thành khỏi niệm lực lượng và khỏi niệm số lượng xỏc định.
Trong sự phỏt triển của cỏc quan niệm số lượng trong toỏn học,
quan niệm vụ hạn đúng vai trũ rất quan trọng. Cú thể núi rằng, thành tựu
vĩ đại của người Hy Lạp là biến sự đối lập cực đoan của vụ hạn và hữu hạn thành cụng cụ cú hiệu lực để nhận thức thực tại. Về vấn đề này, trong triết học và toỏn học cổ đại Hy Lạp đó nảy sinh hai quan niệm đối lập nhau về vụ hạn. Thứ nhất, quan niệm vụ hạn thực tại được nảy sinh trong lũng triết học, sau đú chuyển sang phạm vi toỏn học và đó cú ảnh hưởng tớch cực to lớn đối với toỏn học. Trong quan niệm này đó phản ỏnh khớa cạnh ổn định, tĩnh tại của vụ hạn. Quan niệm này cho đến ngày nay vẫn cũn giữ nguyờn giỏ trị. Thứ hai, quan niệm về vụ hạn tiềm năng nảy sinh trờn cơ sở giải quyết cỏc mõu thuẫn trong hệ thống của Zenon. Aristote là người đầu tiờn đưa ra quan niệm khoa học về vụ hạn tiềm năng. Ở đõy cần phải hiểu rằng, nếu vụ hạn thực tại là cỏi hoàn chỉnh, cỏi đó hoàn thành, tức là mặt ổn định của vụ hạn, thỡ vụ hạn tiềm năng là cỏi chưa hoàn chỉnh, cỏi đang hỡnh thành, đang phỏt triển, tức là nú bao hàm mặt động của vụ hạn đa dạng và mõu thuẫn. Chớnh vỡ vậy giữa vụ hạn thực tại và vụ hạn tiềm năng vừa cú
sự thống nhất vừa biểu thị sự tỏch đụi của vụ hạn thống nhất và sự nhận thức cỏc mặt, cỏc bộ phận độc lập của nú.
Trong cỏc tỏc phẩm của Platon đó thể hiện sự cố gắng mụ tả phộp biện chứng của cỏi đơn nhất và cỏi đa tạp, cỏi vụ hạn và cỏi hữu hạn, phỏt hiện bản chất của tri thức lý thuyết. Theo Platon, toỏn học là cụng cụ để phỏt triển tư duy logic, và ụng đó phỏt hiện ra phương phỏp phõn tớch toỏn học. Đối với Platon, toỏn học là một trong những nguồn gốc quan trọng của toàn bộ tư duy khoa học. Theo ụng, toỏn học phỏt triển trờn cơ sở của sự suy luận nằm ở trung gian giữa cảm giỏc và tư duy.
Platon đó phõn biệt phương phỏp nhận thức toỏn học với cả nhận thức cảm tớnh và nhận thức thụng qua cỏc ý niệm. ễng cho rằng, tri thức toỏn học khụng phải là tri thức trựng với cỏi đạt được nhờ ý niệm. Đồng thời cũng như cỏc ý niệm, cỏc đối tượng toỏn học khụng biến đổi, cỏc tớnh chất của chỳng khụng phụ thuộc vào cỏc khuụn mẫu đơn nhất thể hiện chỳng. Tuy nhiờn, những cỏi đú chưa phải là cỏc ý niệm, bởi vỡ nhà toỏn học trong cỏc phộp chứng minh của mỡnh đó bắt buộc phải dựa vào cỏc hỡnh riờng lẻ như họ vẫn thường thực hiện trong hỡnh học. Theo Platon, khi nhà toỏn học sử dụng cỏc hỡnh được nhận thức một cỏch cảm tớnh mà tự ụng ta vẽ ra, đồng thời suy luận về cỏc hỡnh vẽ đú, thỡ ụng ta tiến hành phộp chứng minh khụng phải đối với cỏc đồ vật được nhận thức một cỏch cảm tớnh, mà đối với những hỡnh là đại diện đơn nhất của cỏc đồ vật đú. Vớ dụ, khi nghiờn cứu cỏc hỡnh tam giỏc, nhà toỏn học chứng minh cỏc mệnh đề khụng chỉ đỳng với hỡnh tam giỏc vuụng vẽ trờn giấy, mà cũn đỳng với hỡnh tam giỏc vuụng khỏc, nghĩa là đỳng đối với cỏc tam giỏc vuụng núi chung. Chớnh vỡ vậy, Platon đó coi phương phỏp toỏn học thấp hơn so với trớ tuệ, vỡ trớ tuệ khụng cần dựa vào cỏc đồ vật cảm tớnh, mà chỉ xuất phỏt từ cỏc giả thiết thụi, vẫn đạt được cỏc nguyờn lý của cỏc giả thiết. Platon gọi phương phỏp toỏn học là suy luận và đặt nú ở trung gian giữa trớ tuệ thuần
tỳy và biểu tượng cảm tớnh. Tư tưởng này của trường phỏi Platon đó thể hiện rất rừ khi đối lập gay gắt cỏc đồ vật đơn nhất được nhận thức cảm tớnh với cỏc kiến tạo toỏn học trừu tượng. Nhưng trong bối cảnh như vậy, thỡ cỏc luận đề toỏn học lấy từ đõu ra? Platon đó trả lời cõu hỏi đú bằng lý thuyết hồi tưởng của mỡnh. Từ lý thuyết hồi tưởng Platon rút ra kết luận rằng, trong bản thõn con người chưa biết về một cỏi gỡ đú vẫn tồn tại những ý kiến đỳng về cỏi mà người ta chưa biết đú. Theo ụng, cỏ thể trong quỏ trỡnh nhận thức liờn hệ với cỏc sự kiện thụng qua lăng kớnh của một số khỏi niệm, người đú sẽ nhớ lại cỏc sự kiện và chỳng chớnh là sản phẩm của đời sống quỏ khứ, là tiền thế của nú. Như vậy, trong cỏi vỏ huyền bớ mà Platon bao trựm lờn cỏc sự kiện đú, cú một tư tưởng hợp lý về bản chất xó hội của tư duy núi chung và tư duy toỏn học núi riờng.
Trong quan điểm của Aristote, đối tượng của toỏn học khụng tồn tại riờng lẻ, cũng khụng tồn tại ở bờn trong cỏc đồ vật cảm tớnh. Nú được xỏc định bằng con đường loại bỏ mọi thuộc tớnh cảm tớnh và chỉ giữ lại tớnh xỏc định về số lượng và tớnh liờn tục. Như vậy, theo Aristote, toỏn học khụng phải là khoa học về cỏc đồ vật cảm tớnh, song nú cũng khụng phải là khoa học về cỏc đối tượng khỏc tồn tại ở bờn ngoài cỏc đồ vật đú. Aristote đó minh họa quan niệm đú bằng cỏc vớ dụ về sự vận động. ễng cho rằng, khi cỏc đồ vật chỉ được coi là cỏc đồ vật đang vận động thỡ đối với chỳng cú thể ỏp dụng nhiều suy luận, bất kể chỳng là cỏi gỡ. Nhưng từ đú khụng thể kết luận rằng, sự vận động đang tồn tại tỏch rời cỏc đồ vật cảm tớnh. Từ quan điểm đú, chỉ cú thể gỏn cho cỏc đối tượng toỏn học sự tồn tại độc lập, trong chừng mực ta cú thể gỏn sự tồn tại độc lập khụng chỉ cho những cỏi cú khả năng tồn tại cụ lập, mà cũn cho cả những cỏi khụng cú khả năng tồn tại như vậy. Về vấn đề này, V.I.Lờnin đó nhận xột rằng, Aristote đó giải quyết một cỏch tuyệt vời, chớnh xỏc, rừ ràng, một cỏch duy vật những khú khăn của vấn đề trừu tượng húa toỏn học. Lờnin viết: "Toỏn học và cỏc
khoa học khỏc trừu tượng húa một trong những mặt của vật thể, của hiện tượng của sự sống" [25, tr. 395].
Trong khi giải quyết về cơ bản một cỏch duy vật một số vấn đề triết học phức tạp nhất của toỏn học, Aristốt và cỏc nhà duy vật trước Mỏc đó phạm tất cả những thiếu sút của chủ nghĩa duy vật cũ, chủ nghĩa duy vật thụ động, khụng chỳ ý đến vai trũ tớch cực, sỏng tạo của chủ thể. Cỏc đối tượng toỏn học trừu tượng là sự phản ỏnh của thực tại ra bờn ngoài và khụng phụ thuộc vào con người, nhưng khụng phải là sự phản ỏnh tiờu cực, thụ động, mà là sự phản ỏnh tớch cực, cú định hướng thực tiễn rừ ràng. Như vậy, cỏc đối tượng toỏn học cú những tớnh chất mà trong tự nhiờn khụng cú. Theo nghĩa đú, khụng thể đồng ý với Aristốt khi ngay từ đầu ụng đó giới hạn phạm vi của cỏc nguyờn lý xuất phỏt của toỏn học vào "những cỏi tồn tại" và khụng chấp nhận những kiến tạo "thuần tỳy", "tưởng tượng" mà theo ụng là chỳng tương đương với những cỏi ảo tưởng khụng hề tồn tại.
Trong lịch sử khoa học, tỏc phẩm "Cơ sở" nổi tiếng của Ơclớt được coi là sự tổng hợp toàn bộ toỏn học Hy Lạp cổ đại. Quan điểm lịch sử xem "cơ sở" của Ơclớt là cụng trỡnh xỏc định cỏc trỡnh độ và giai đoạn khỏc nhau của tư duy toỏn học cổ đại là hoàn toàn đỳng đắn. Cụng lao của Ơclớt là ở sự tổng quỏt húa ở mức độ cao hơn và phỏt triển cỏc lý thuyết toỏn học của cỏc nhà toỏn học tiền bối và đương thời của mỡnh về số lượng, là sự kết nối logic của tất cả cỏc lớp quan điểm của toỏn học Hy Lạp cổ đại. Trong tỏc phẩm "Cơ sở" của Ơclớt đó trỡnh bày số học và hỡnh học, nhưng hỡnh học được xõy dựng bằng phương phỏp tiờn đề, cũn số học được xõy dựng bằng phương phỏp sinh thành. Như vậy, một mặt Ơclớt gần với phương phỏp luận của Acsimột, Platon và Aristốt, mặt khỏc ụng gần với phương phỏp luận của Đờmụcrit. Việc sử dụng phương phỏp tiờn đề để xõy dựng lý thuyết số lượng đó chứng tỏ giỏ trị lịch sử của tỏc phẩm "Cơ sở". So với tất cả cỏc cụng trỡnh trước đú, lý thuyết về cỏc phộp chứng minh trong "Cơ sở"
đều là mới lạ. Đồng thời, trong tỏc phẩm "Cơ sở" cũng mang đậm dấu ấn về tớnh hạn chế của phương phỏp tư duy thời cổ đại. Cỏc thiếu sút cơ bản của tỏc phẩm này là cỏc khỏi niệm xuất phỏt khụng được định nghĩa trong khuụn khổ của hệ lý thuyết đú, chỳng khụng rừ ràng và khụng chặt chẽ. Ơclớt chưa hiểu biết đầy đủ về đường thẳng và phộp chứng minh lụgic về tớnh song song của cỏc đường thẳng chưa được thỏa đỏng, do đú "cơ sở" đó phải nhường chỗ cho cỏc hệ lý thuyết khỏc phỏt triển đầy đủ hơn của Lụbasepxki, Bụliai, Rieman, v.v..
Cụng trỡnh nổi tiếng của Acsimột về "phộp đếm cỏc hạt cỏt" đó trỡnh bày việc xỏc định số hạt cỏt trong khụng gian vũ trụ. Trong cụng trỡnh đú, ụng đó chứng minh tớnh vụ hạn của những dóy số. Đồng thời, Acsimột cũng đó nờu ra biểu thức gần đỳng đối với số π, đó phỏt triển cỏc cơ sở của phộp tớnh vi phõn và tớch phõn.
Túm lại, những tài liệu của cỏc nhà khoa học cổ đại đó chứng tỏ rằng, tư tưởng Hy Lạp cổ đại đó nờu cỏc vấn đề liờn quan tới phộp biện chứng
của chất lượng và số lượng, của giỏn đoạn và liờn tục, của hữu hạn và vụ hạn, nhưng toỏn học về cỏc vấn đề đú lại chưa quỏn triệt tư tưởng của vụ
hạn. Đồng thời, mặc dự toỏn học thời đú cú bao hàm yếu tố của vấn đề biến đổi, của cỏc số vụ tỉ, của cỏc đại lượng vụ cựng bộ, song nú vẫn chỉ ở trong khuụn khổ của hữu hạn, tức là của cỏc số ở ngoài phạm vi của mõu thuẫn. Khi đỏnh giỏ cỏc thành tựu của triết học Hy Lạp cổ đại, Lờnin đó nhận xột rằng, ở đú cú sự cụng nhận miễn cưỡng, vỡ bị cưỡng bức sự thống nhất của cỏc mõu thuẫn, tuy khụng cụng nhận phộp biện chứng do sự hốn nhỏt trong tư tưởng.
Cú thể núi rằng, những khú khăn về nhận thức luận nảy sinh trong tư duy toỏn học cổ đại và cơ sở kinh tế nguyờn thủy thấp kộm của xó hội chớnh là nguồn gốc của những hạn chế của lý thuyết toỏn học Hy Lạp cổ đại về số lượng. Vớ dụ, trỡnh độ trừu tượng toỏn học thời đú khụng cho
phộp người Hy Lạp giải được bài toỏn cầu phương hỡnh trũn, chia ba một gúc, bài toỏn về sự tồn tại cỏc số vụ tỉ, v.v.. Việc tư duy cổ đại "Sợ hói"