CÁC KHOA HỌC HIỆN ĐẠI
Trong thời đại ngày nay, mọi người đều thừa nhận sự cần thiết phải ứng dụng rộng rói cỏc phương phỏp toỏn học khi nghiờn cứu cỏc quỏ trỡnh biến đổi phức tạp nhất của tự nhiờn và xó hội. Tuy vậy, trờn thực tế cũng cú khụng ít những khuynh hướng muốn thu hẹp phạm vi ứng dụng của toỏn học bằng cỏch giới hạn nú trong những bài toỏn tớnh toỏn thuần tỳy. Điều này khụng cú gỡ lạ, bởi vỡ trong cỏc trường hợp khụng thể biểu thị được những hiện tượng này hoặc hiện tượng khỏc bởi những ước lượng bằng số hoặc là dưới cỏc dạng thức hỡnh học, người ta dễ xuất hiện ý tưởng nghi ngờ khả năng ứng dụng của toỏn học vào cỏc khoa học này. Đồng thời, mọi người đều biết rằng, việc ứng dụng cỏc khỏi niệm và cỏc phương phỏp cổ điển của toỏn học vào cỏc lĩnh vực mới nhất của khoa học đó vấp phải khụng ít những khú khăn rất cơ bản. Những khỏi niệm toỏn học như đại lượng, hàm số, v.v. rất cú hiệu lực trong cỏc quy luật cơ bản của cơ học, thiờn văn học và vật lý, nhưng trong một số ngành khỏc, chẳng hạn như
trong sinh học chỳng đó khụng mụ tả được những khớa cạnh căn bản nhất của sự sống.
Trong lịch sử phỏt triển của khoa học đó cú nhiều quan niệm cho rằng, toỏn học chỉ cú thể được sử dụng để nghiờn cứu cỏc dạng vận động vật chất được xỏc định cụ thể, cũn khi phải mụ tả bằng toỏn học cỏc hiện tượng được nghiờn cứu trong ngụn ngữ, trong địa chất, trong sinh học…, thỡ toỏn học khụng thể ỏp dụng được. Theo những quan niệm sai lầm đú, thỡ việc ứng dụng toỏn học vào sinh học và cỏc mụn khoa học xó hội cú nghĩa là đó đưa cỏc hỡnh thức cao của vận động xuống hỡnh thức thấp hơn, tức là rơi vào chủ nghĩa mỏy múc. Trong vấn đề này, nhiều nhà khoa học đó đi xa hơn và tổng quỏt hơn bằng cỏch xỏc định nguyờn nhõn của sự toỏn học húa cỏc khoa học là ở chỗ, bất kỡ hỡnh thức nào của vận động trong tự nhiờn cũng đều chứa trong nú sự vận động cơ học và vỡ thế ta luụn luụn mụ tả được nó theo quan niệm những nột đặc trưng về khụng gian và thời gian của nó, tức là mụ tả một cỏch định lượng. Về điểm này, Ăngghen đó từng nhấn mạnh rằng, nhiệm vụ đầu tiờn của khoa học là sự nghiờn cứu cỏc biến đổi cơ học trong cỏc lĩnh vực phức tạp hơn của tự nhiờn, như thế cũng đó đủ để rút ra kết luận về khả năng mụ tả bằng toỏn học cỏc hỡnh thức cao của vận động vật chất.
Những quan điểm đối lập với nhận định trờn đó cho rằng, với sự phức tạp của cấu trỳc về chất của cỏc hiện tượng, sự diễn đạt cỏc quan hệ về lượng trở nờn rất khú khăn, do đú, việc ứng dụng cỏc phương phỏp toỏn học trở nờn rất hạn chế.
Trờn thực tế, những quan điểm phản đối việc ứng dụng toỏn học vào cỏc lĩnh vực khỏc nhau của khoa học là hoàn toàn khụng cú căn cứ. Điều đú đó được thể hiện ở chỗ, người ta đó khụng phõn biệt giai đoạn phỏt triển hiện đại của tự nhiờn học và toỏn học với thời kỳ thống trị của cơ học từ thế kỷ XVII - thế kỷ XVIII. Những quan niệm trờn đó khụng xem xột đến cỏc tớnh chất độc đỏo của sự tỏc động tương hỗ giữa cỏc bộ mụn khoa
học hiện đại ngày càng trở nờn cú hiệu lực, đồng thời chỳng cũng khụng xem xột đến một sự thật quỏ rừ ràng đú là sự phỏt triển và mở rộng hơn nữa đối tượng toỏn học. Đồng thời với sự phỏt triển của cỏc ngành khoa học hiện đại, đối tượng của toỏn học cũng khụng ngừng mở rộng và phỏt triển ở trỡnh độ cao hơn, do đú, khả năng thõm nhập của nú vào cỏc khoa học khỏc khụng hề bị giảm bớt.
Trong "Biện chứng của tự nhiờn" Ăngghen đó đưa ra một trật tự cỏc khoa học theo mức độ chỳng sử dụng toỏn học. ễng viết: "Ứng dụng của toỏn học: Tuyệt đối trong cơ học của cỏc vật thể rắn; gần đỳng trong cơ học của chất khớ; khú hơn trong cơ học chất lỏng; dưới dạng ý đồ và tương đối trong vật lý học; trong húa học thỡ là những phương trỡnh bậc nhất đơn giản nhất; trong sinh vật học = 0" [30, tr.774]. Ở đõy cần phải hiểu rằng, Ăngghen chỉ làm đơn giản tỡnh hỡnh thực tế trong khoa học ở nửa cuối thế kỷ XIX, nhưng khụng phải vỡ thế mà lại rút ra kết luận rằng, tỡnh hỡnh đú là vĩnh viễn khụng thay đổi. Đương nhiờn, việc ứng dụng toỏn học vào cỏc lĩnh vực khỏc nhau của khoa học ngày càng thu được những giỏ trị to lớn khụng cú nghĩa là phủ định tớnh quy luật tổng quỏt do Ăngghen vạch ra. Sinh vật học là một mụn khoa học mà vào thế kỷ XIX, theo Ăngghen việc ứng dụng toỏn học trong đú = 0, thỡ ngày nay cũng đang sử dụng toỏn học rất mạnh, mặc dự cũn ở mức độ ít hơn so với cơ học và vật lý học.
Một điều chắc chắn là trong suốt cỏc thế kỷ XVIII, toỏn học đó tỡm được sự ứng dụng rộng rói trong cơ học và đi sõu một cỏch vững chắc vào vật lý học, đồng thời ngày nay nú đó thõm nhập vào sinh học và cỏc bộ mụn khoa học xó hội. Trờn thực tế, tớnh chất phức tạp của cỏc hiện tượng sinh học và cỏc hiện tượng xó hội khụng phải chỉ là trở ngại trong việc ứng dụng toỏn học mà trỏi lại chỳng cũn đũi hỏi sự ứng dụng rộng rói hơn đối với cỏc khoa học cú đối tượng đơn giản.
Trong thời đại của chỳng ta, sinh học cũn sử dụng toỏn học ở mức độ ít hơn so với cơ học và vật lý thỡ lý do chớnh là vỡ cụng cụ toỏn học được xõy dựng trờn cơ sở phõn tớch cỏc vấn đề kỹ thuật và cỏc vấn đề về giới vụ sinh cũn xa mới đỏp ứng được với cỏc vấn đề liờn quan đến thế giới của sự sống, chứ hoàn toàn khụng phải vỡ cỏc dạng vận động sinh học của vật chất khụng thể mụ tả được bằng toỏn học ở cỏc khớa cạnh vốn khụng quy được về vận động cơ học và vật lý. Việc toỏn học húa cỏc khoa học núi chung khụng chỉ đơn giản liờn hệ với sự mở rộng cỏc bộ mụn toỏn học, cỏc khỏi niệm và cỏc phương phỏp đó biết từ trước sang cỏc lĩnh vực mới của toỏn học, mà trước hết là liờn quan đến sự xõy dựng cỏc bộ mụn toỏn học mới, cỏc lý thuyết và cỏc phương phỏp thớch hợp với đối tượng nghiờn cứu mới. Chớnh vỡ vậy, việc ứng dụng toỏn học trong cỏc ngành khoa học mới tỏ ra cú giỏ trị rất cơ bản ngay cả với chớnh bản thõn toỏn học, bởi vỡ nú đó vượt ra khỏi phạm vi của cỏc phương phỏp toỏn học thuần tỳy cổ điển. Ngày nay khụng phải chỉ cú cỏc khoa học, trong đú cú ứng dụng toỏn học thay đổi mà chớnh bản thõn toỏn học qua đú cũng được hoàn thiện hơn. Trong toỏn học thường xuyờn xuất hiện cỏc chương mới, cỏc phương phỏp và cỏc khỏi niệm mới. Trờn thực tế khụng phải chỉ cú sự thõm nhập của toỏn học vào vật lý, mà cũn cú cả việc "Vật lý húa" toỏn học. Việc phỏt minh ra cỏc mỏy tớnh điện tử khụng phải chỉ cho khả năng giải được cỏc bài toỏn vốn từ trước đến nay con người khụng làm được, mà cũn dẫn tới sự phỏt minh ra mụn toỏn học "tớnh toỏn" mới.
Trong thời kỳ đầu của việc ứng dụng toỏn học trong sinh học đó diễn ra bằng việc sử dụng cỏc cụng cụ toỏn học đó biết, được xõy dựng trờn cơ sở phõn tớch cỏc bài toỏn kỹ thuật và cỏc bài toỏn về giới vụ sinh. Cú thể núi một cỏch hỡnh ảnh, cỏc nhà nghiờn cứu muốn đột phỏ vào một lĩnh vực hoàn toàn mới bằng cỏc phương tiện cũ sẵn cú trong quyền hạn sử dụng của mỡnh. Nhưng khả năng ứng dụng trong sinh học của cỏc phương phỏp
toỏn học đó được xõy dựng nhờ cỏc khoa học khỏc là rất hạn chế, bởi vỡ chỳng chỉ liờn quan tới những khớa cạnh của dạng vận động sinh học chung cho cả cỏc dạng vận động cơ học, vật lý và húa học. Núi túm lại, kiểu tư duy toỏn học đó hỡnh thành trờn cơ sở những vấn đề vật lý, cơ học, kỹ thuật là khỏ xa với sự tớnh toỏn tới đặc điểm sinh lý học, khụng thớch hợp với cỏc hiện tượng sinh lý cơ bản và cỏc khỏi niệm của khoa học sinh lý. Như vậy, rừ ràng là trờn con đường toỏn học húa cỏc khoa học về sinh học, vấn đề đặt ra là phải nghiờn cứu xem toỏn học cú thể được đưa vào sinh học từ bờn ngoài như thế nào? Đồng thời phải thiết lập cỏc khỏch thể toỏn học mới dựng trong sinh học từ bờn trong, từ chớnh bản thõn cỏc vấn đề đặt ra trước cỏc khoa học về sự sống. Một khi đó được trang bị lại bằng một cụng cụ toỏn học thật sự thớch hợp, sinh vật học và điều khiển học sinh học sẽ hợp nhất thành một khoa tổng hợp. Đõy chớnh là một bước phỏt triển mới của cỏc khoa học đú. Như vậy, một thực tế rất rừ ràng là toỏn học về cỏc quỏ trỡnh liờn tục được mụ tả bởi phương trỡnh vi phõn, tớch phõn hoặc vi - tớch phõn hoàn toàn khụng thớch hợp trong cỏc lĩnh vực như sinh học, địa chất, v.v. và điều cốt yếu là phải sỏng lập nờn những bộ phận mới của toỏn học với những khỏi niệm hoàn toàn mới.
Toỏn học khụng bao giờ dừng chõn tại chỗ, nú phỏt triển mạnh mẽ dưới ảnh hưởng của thực tiễn và của cỏc mụn khoa học khỏc, cũng như dưới ảnh hưởng của những đũi hỏi nội tại, đưa vào trong lĩnh vực nghiờn cứu của nú tất cả những hỡnh dạng khụng gian và những quan hệ số lượng ngày càng mới của thực tại. Sự phỏt triển của đối tượng toỏn học, sự phỏt minh ra cỏc cụng cụ toỏn học mới phự hợp với những ứng dụng trong cỏc lĩnh vực mới của khoa học đó tạo khả năng cho toỏn học thõm nhập vào cỏc ngành khoa học khỏc. Như vậy, một điều thường xảy ra là một khỏi niệm mới của toỏn học được thiết lập, đầu tiờn chỉ cú giỏ trị trong nội bộ toỏn học và chỉ về sau mới tỡm được giỏ trị thực tiễn bờn ngoài toỏn học. Vớ dụ,
khỏi niệm số ảo, mới đầu sự xuất hiện của nú chỉ là nhằm giải quyết những khú khăn của việc giải phương trỡnh bậc ba, nhưng sau đú nú đó được sử dụng trong cơ học lượng tử phản ỏnh khả năng của hạt và súng trong lưỡng tớnh bởi phương trỡnh Srụdingơ: HΨ = iЂ.
Trong lịch sử phỏt triển của toỏn học đó từng cú một thời kỳ khỏ lõu dài mối quan hệ tương hỗ giữa toỏn học và cỏc ứng dụng của nú cú một số sõu ngăn cỏch. Trước kia,cho dự ở những mức độ khỏc nhau, chúng ta đều cú thể chỉ ra một cỏch rừ nột cỏc lĩnh vực của toỏn học thực hành và những phần thuần tỳy lý luận của nú. Mối liờn hệ giữa toỏn học và cỏc khoa học khỏc được thụng qua cỏc bộ mụn của toỏn học ứng dụng, cũn những bộ mụn cũn lại chỉ cú giỏ trị trong nội bộ toỏn học, đỏp ứng những yờu cầu của toỏn học. Đến thế kỷ XX, rừ ràng khụng cú sự khỏc biệt thật sự giữa toỏn học ứng dụng và toỏn học thuần tỳy, mà chỉ cú sự khỏc biệt giữa cỏc phần của toỏn học cú thời hạn ứng dụng khỏc nhau. Vớ dụ, hỡnh học phi Ơclớt đó trở thành cơ sở lý luận của thuyết tương đối, cũn lý thuyết nhúm đó được ứng dụng rộng rói trong vật lý. Lụgic toỏn, trước đõy chỉ cú những người chuyờn nghiờn cứu cỏc vấn đề thuộc cơ sở của toỏn học là quan tõm đến thỡ ngày nay cũng khụng cũn là thuần tỳy lý thuyết, mà đó trở thành một khoa học thực hành liờn hệ chặt chẽ với toỏn học tớnh toỏn và điều khiển học.
Với sự phỏt triển mạnh mẽ của toỏn học, đặc biệt là toỏn học hiện đại, thỡ quan niệm về đối tượng trực tiếp của toỏn học cũng cú những điểm thay đổi rất cơ bản. Vớ dụ, nếu như trước đõy cỏc dạng của khụng gian ba chiều thụng thường là đối tượng đầu tiờn của việc nghiờn cứu hỡnh học, thỡ trong hỡnh học hiện đại người ta chỉ xột đến cỏc dạng tương tự với chỳng. Xột từ quan niệm đú thỡ cỏc đối tượng trong khụng gian n chiều và vụ hạn chiều khụng thể đồng nhất với cỏc hỡnh được nghiờn cứu trong hỡnh học sơ cấp. Chẳng hạn, khụng gian pha n chiều được hiểu là một tập hợp liờn tục
bất kỳ cỏc trạng thỏi của một hệ thống xỏc định cú n bậc tự do, tức là phụ thuộc vào n biến số. Như vậy, cỏc khỏi niệm "điểm", "đường", "mặt", v.v., cú ý nghĩa rất rộng rói. Vớ dụ như thị giỏc bỡnh thường của con người thớch ứng với ba mầu: Đỏ (Đ), xanh (X), lục (L), do đú bất kỳ một cảm giỏc nào về mầu sắc cũng cú thể xem như tổng hợp của ba mầu sắc nờu trờn với những cường độ nhất định là x,y, z, hay ta cú thể viết:
M = Đx + Xy + lz. Điều đú cú nghĩa là một tập hợp xỏc định về mầu sắc tương ứng với một tập hợp nào đú cỏc điểm trong khụng gian ba chiều.
Xột từ cỏch nhỡn đú thỡ trong hỡnh học sơ cấp những định nghĩa mà Ơclit đưa ra chỉ đơn thuần là sự mụ tả trực quan những sự kiện của kinh nghiệm đời sống hàng ngày và như vậy chỳng chỉ cú những ứng dụng rất hạn chế. Nếu cú yờu cầu phải mụ tả nhúm đối tượng khỏc thỡ lại phải xuất phỏt từ đầu.
Trong lịch sử phỏt triển của toỏn học, sự xuất hiện cỏc cụng trỡnh của Hinbec đó chỉ ra một giai đoạn mới trong sự phỏt triển của đối tượng toỏn học. Trong cuốn "Cơ sở hỡnh học", Hinbec đó xột ba loại đối tượng "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" và ba loại quan hệ lẫn nhau giữa chỳng biểu thị bằng cỏc từ "thuộc", "giữa" và "tương đẳng", trong đú hoàn toàn khụng cần thiết gỏn cho cỏc đối tượng và cỏc quan hệ này một biểu hiện trực quan thụng thường nào. Như vậy, vấn đề khụng phải là ở chỗ, cần phải hiểu "điểm" như là hỡnh ảnh tự nhiờn cú tớnh chất trực quan hỡnh học và "đường thẳng" như là của những vật cú tớnh chất "thẳng". Dưới danh từ "điểm", "đường thẳng", v.v. cú thể hiểu là cỏi gỡ cũng được, miễn là "cỏi đú" thỏa món cỏc tiờn đề đó được xỏc định. Thực tế, người ta đó từ bỏ mọi giả thuyết trực quan về đối tượng. Nhờ đú mà hệ thống tiờn đề mụ tả khụng
phải một tập hợp cỏc đối tượng cụ thể nào, mà cả một lớp trọn vẹn cỏc đối tượng đẳng cấu với nhau.
Với sự phỏt triển của toỏn học hiện đại và sự xõm nhập của nú ngày càng sõu rộng vào mọi lĩnh vực của khoa học đó nờu lờn vấn đề cần phải thảo luận về đối tượng của toỏn học. Phải chăng quan niệm kinh điển của Ăngghen về đối tượng của toỏn học đó thay đổi trong toỏn học hiện đại.
Vấn đề cần được lý giải là ở chỗ, để xỏc định lập quan hệ của toỏn học hiện đại đối với số lượng, chỳng ta cần phải nờu ra quan niệm rừ ràng về nội dung của phạm trự triết học này. Chẳng hạn, nhà biện chứng Hờghen khi núi về lượng đó hiểu rừ lượng như là sự xỏc định của sự tồn tại thuộc bờn ngoài nú và khụng phõn biệt được đối với cỏc dạng cụ thể của sự tồn tại, lượng khỏc với chất ở chỗ, chất là sự xỏc định trực tiếp đồng nhất với tồn tại. Chớnh quan niệm này của Hờghen về lượng đó là cơ sở cho cỏc nhà khoa học xỏc định đối tượng của toỏn học.