Như chúng ta đó biết, trong lụgic học phỏn đoỏn chõn thực là phỏn đoỏn phản ỏnh phự hợp với nội dung hiện thực khỏch quan. Phỏn đoỏn giả dối là phỏn đoỏn phản ỏnh sai lệch, mõu thuẫn hay khụng phự hợp với nội dung hiện thực khỏch quan. Để xỏc định tớnh chõn thực hay giả dối của một phỏn đoỏn, người ta đó sử dụng cơ sở lý luận khoa học hoặc kiểm nghiệm thực tiễn. Cỏc phương phỏp dựng để kiểm nghiệm tớnh chõn thực hay giả dối của một phỏn đoỏn được gọi là cỏc phương phỏp đỏnh giỏ tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn. Trong khoa học chỳng được phõn chia thành cỏc phương phỏp phõn tớch và cỏc phương phỏp thực nghiệm. Cỏc phương phỏp thực nghiệm là phương phỏp quan sỏt, đo đạc, thao tỏc thớ nghiệm, v.v.. Rừ ràng cỏc phương phỏp đú khụng thể ỏp dụng trong toỏn học thuần tỳy, bởi vỡ toỏn học thuần tỳy gắn liền với cỏc quan hệ và cỏc đối tượng trừu tượng. Tớnh chõn lý thực nghiệm chỉ cú thể ở trong toỏn học ứng dụng, trong đú cỏc trừu tượng của toỏn học thuần tỳy nhận được sự minh họa nhờ những khỏi niệm phản ỏnh cỏc tớnh chất và cỏc quan hệ của cỏc đối tượng hiện thực.
Xuất phỏt từ đặc trưng của đối tượng nghiờn cứu, tớnh chõn lý của cỏc mệnh đề toỏn học phải được xem xột trong mối liờn hệ sõu sắc giữa toỏn học lý thuyết và toỏn học ứng dụng. Mối liờn hệ đú được thể hiện ở chỗ toỏn học lý thuyết chỉ cú dựa vào toỏn học ứng dụng mới cú thể phỏn định được tớnh chõn lý và tớnh hiệu quả của lý thuyết của mỡnh. Đồng thời, toỏn học ứng dụng, tự nhiờn học và kỹ thuật đem lại cho toỏn học thuần tỳy những dữ liệu thực nghiệm, từ đú qua việc xử lý lý thuyết sẽ làm nảy sinh cỏc lý thuyết toỏn học khỏc nhau, cỏc hệ tiờn đề và cỏc phộp toỏn hỡnh thức khỏc nhau. Đến lượt mỡnh toỏn học lý thuyết cung cấp cho khoa học ứng dụng một cụng cụ toỏn học để nghiờn cứu cỏc tớnh quy luật về lượng của cỏc hiện tượng. Vớ dụ, toỏn học lý thuyết đó hoàn thiện cỏc lý thuyết về cỏc thiết diện cụ nớc, lý thuyết số ảo, hỡnh học phi Ơclit mà chỉ sau một thời
gian nhất định mới tỡm được sự ứng dụng. Như vậy, mối liờn hệ giữa toỏn học lý thuyết và toỏn học ứng dụng, giữa toỏn học và cỏc khoa học khỏc đó kớch thớch mạnh mẽ sự phỏt triển của cả bản thõn toỏn học lẫn cỏc khoa học ứng dụng.
Đặc điểm chủ yếu nhất của toỏn học thuần tỳy làm cho nú phõn biệt với khoa học tự nhiờn và cỏc khoa học thực nghiệm khỏc là ở chỗ, trong cỏc chứng minh của mỡnh toỏn học thuần tỳy khụng bao giờ đi đến cỏc phương phỏp thực nghiệm - thớ nghiệm và quan sỏt. Chỳng ta cú thể đo đạc hàng nghỡn lần tổng cỏc gúc của một tam giỏc và thấy rừ tổng đú bằng 1800. Nhưng cỏc kết quả như thế khụng được xem là chứng minh. Ở đõy, cỏi gỡ được thấy rừ nhờ sự nghiờn cứu của toỏn học thuần tỳy? Đú là tớnh chất trừu tượng được lý tưởng húa của đối tượng toỏn học. Những đối tượng xuất phỏt của hỡnh học và số học đó được phõn biệt rất rừ nột với cỏc đối tượng của khoa học tự nhiờn, bởi vỡ chỳng là những đối tượng trừu tượng được lý tưởng húa ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn, trong hỡnh học Ơclit người ta núi về "điểm" như là đối tượng khụng cú cỏc kớch thước hoặc "đường thẳng" như là những đường khụng cú bề rộng và bề dày, thỡ cú ý núi đú là những đối tượng cú được nhờ sự trừu tượng húa của trừu tượng, mà khụng phải là những đối tượng hiện thực. Rừ ràng khụng ở đõu trong thế giới hiện thực lại cú thể tỡm thấy những đối tượng cú cỏc tớnh chất nờu trờn. Điều đú cú nghĩa là cỏc đối tượng toỏn học được hỡnh thành khụng những chỉ nhờ sự trừu tượng húa những tớnh chất cơ bản khỏi những tớnh chất khụng cơ bản, mà cũn nhờ việc bổ sung cho chỳng những tớnh chất khỏc khụng cú trong cỏc đối tượng hiện thực. Chẳng hạn, tớnh chất "thẳng tắp" đặc trưng cho đường thẳng trong hỡnh học khụng thể cú ở những đường thẳng theo quan niệm của vật lý học.
Trong thực tế đó cú cỏch tiếp cận tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn toỏn học bằng cỏch đối chiếu tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn về cỏc đối tượng vật chất với tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn về cỏc đối tượng được lý tưởng húa. Thực chất của cỏch tiếp cận trờn là phộp ngoại suy tớnh chõn lý của toỏn học ứng dụng về tớnh chõn lý của toỏn học thuần tỳy.
Khi xem xột tớnh chõn lý trong toỏn học thuần tỳy, chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa duy vật siờu hỡnh đó khụng nhỡn nhận một cỏch biện chứng tớnh chất mõu thuẫn phức tạp trong sự phỏt triển của cỏc tri thức toỏn học. Từ đú họ khụng đỏnh giỏ được tầm quan trọng của tư duy sỏng tạo trong quỏ trỡnh đú, khụng thấy được sự cần thiết và lợi ích của sự trừu tượng húa và lý tưởng húa ở mức độ phức tạp hơn trong sự phỏt triển của khoa học. Khi trong toỏn học xuất hiện những khỏi niệm và lý thuyết trừu tượng hơn theo trỡnh độ phỏt triển của nú thỡ hạn chế của chủ nghĩa duy vật trước Mỏc càng thể hiện rừ nột hơn.
Vớ dụ, việc phỏt minh ra hỡnh học phi Ơclit là một bằng chứng về nhận định trờn. Như chỳng ta đó biết, hỡnh học Ơclit trong suốt hơn 2000 năm kể từ khi được thiết lập, được xem là học thuyết đỳng đắn duy nhất về cỏc tớnh chất của khụng gian vật lý xung quanh ta. Nhưng sau khi Lobasepxki, Gauxơ xõy dựng hỡnh học Hypecbolic và Riman xõy dựng hỡnh học Eliptic thỡ tỡnh hỡnh đó thay đổi hẳn. Sự thật, lỳc đầu nhiều nhà khoa học đó xem xột cỏc hỡnh học này như những bài tập toỏn học thuần tỳy, mà khụng phải là những lý thuyết khả dĩ của khụng gian. Sau này khi tớnh phi mõu thuẫn lụgic của hỡnh học phi Ơclớt đó được chứng minh thỡ trong hỡnh học đó xuất hiện nhiều quan điểm nghiờm tỳc về nú. Thậm chớ những quan điểm đú đó biến thành cuộc khủng hoảng về cơ sở của hỡnh học. Thật vậy, nếu cả hỡnh học phi Ơclớt lẫn hỡnh học Ơclớt đều phi mõu thuẫn lụgic thỡ mỗi hỡnh học đú đều là chõn lý và như vậy ta cú thể coi cỏc hệ thống hỡnh học cú chứa cỏc tiờn đề đối lập nhau đều là chõn lý? Lối
thoỏt khỏi cuộc khủng hoảng về cơ sở của hỡnh học đó tỡm được nhờ sự loại bỏ những quan niệm cũ, trong đú xem hỡnh học như một học thuyết về sự mụ tả cỏc tớnh chất thực nghiệm của khụng gian. Thực chất của cỏch nhỡn mới đến cỏc hệ thống hỡnh học là ở chỗ đó phỏt hiện trong hỡnh học phi Ơclớt những sự khẳng định trừu tượng mà tớnh chõn lý thực nghiệm của chỳng cú thể được kiểm tra nhờ sự minh họa cụ thể về sự phự hợp của cỏc khỏi niệm và tiờn đề cơ bản của hỡnh học đú trong hệ thống xỏc định của cỏc đối tượng hiện thực. Chớnh vỡ vậy, vấn đề cốt lừi để xem xột tớnh chõn lý của cỏc mệnh đề toỏn học là phải hiểu rừ nột đặc thự của đối tượng toỏn học và thiết lập được mối liờn hệ của nú với thế giới hiện thực.
Trong toỏn học thuần tỳy, tiờu chuẩn lụgic là khụng thể thiếu được đối với việc xỏc định tớnh chõn lý của cỏc mệnh đề toỏn học. Một mệnh đề toỏn học muốn được cụng nhận là chõn lý thỡ trước hết nú phải đảm bảo đầy đủ cỏc tiờu chớ sau đõy: Tớnh phi mõu thuẫn, tớnh độc lập, tớnh đầy đủ và tớnh rừ ràng. Đú chớnh là điều kiện cần để xột tớnh chõn lý trong toỏn học. Nhưng trong quỏ trỡnh ứng dụng, chỳng ta cú thể gặp những hệ thống mõu thuẫn. Chẳng hạn như giải tớch vụ cựng bộ vào thế kỷ XVIII, lý thuyết tập hợp của Cantor vào cuối thế kỷ XIX. Nếu điều đú xảy ra thỡ khụng phải vỡ thế mà vứt bỏ hoàn toàn cỏc hệ thống cú mõu thuẫn, mà chỳng phải được điều chỉnh sao cho hệ thống mới trở thành phi mõu thuẫn.
Để thiết lập tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn trong toỏn học thuần tỳy, người ta sử dụng cỏc phương phỏp phõn tớch. Đú là cỏc phương phỏp nghiờn cứu tớnh chõn lý dựa vào sự phõn tớch ý nghĩa của cỏc thuật ngữ trong phỏn đoỏn. í nghĩa của cỏc thuật ngữ đú được mụ tả trong khỏi niệm được cho bởi định nghĩa. Vỡ vậy, cỏc phương phỏp phõn tớch thiết lập tớnh chõn lý của phỏn đoỏn suy cho cựng là dựa trờn sự phõn tớch định nghĩa của cỏc khỏi niệm trong phỏn đoỏn.
Trong thực tế, phương phỏp phõn tớch đó được sử dụng để thiết lập tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn trong nhiều khoa học. Ở đõy, vấn đề cần làm rừ là ở chỗ nột đặc trưng của tớnh chõn lý của cỏc phỏn đoỏn toỏn học dựa trờn phương phỏp phõn tớch được thể hiện ở chỗ nào? Để trả lời cõu hỏi đú, chỳng ta cần biết rằng tất cả cỏc thuật ngữ trong nhận thức khoa học được phõn chia thành cỏc thuật ngữ thực nghiệm (thuật ngữ ký hiệu cỏc đối tượng thực nghiệm) và thuật ngữ lý thuyết (thuật ngữ ký hiệu cỏc đối tượng trừu tượng). Tiếp đú, cỏc thuật ngữ lý thuyết lại được phõn thành thuật ngữ mụ tả và thuật ngữ lụgớc. Cỏc thuật ngữ lụgic ký hiệu hoặc là một đối tượng hoặc là một dấu hiệu khỏi quỏt hay cỏc hệ từ "và", "nếu... thỡ", "hay là", và cỏc hệ từ khỏc. Đú là cỏc thuật ngữ khỏi quỏt, trong đú người ta khụng núi gỡ về cỏc đối tượng cụ thể, cỏc tớnh chất và cỏc quan hệ nào đú của hiện thực. Cỏc thuật ngữ mụ tả thỡ trỏi lại, chỳng ký hiệu cỏc đối tượng xỏc định nào đú. Vớ dụ, thuật ngữ "điện tử" ký hiệu một hạt cơ bản xỏc định, thuật ngữ "2" ký hiệu một số cụ thể, v.v..
Như vậy, xột về phương diện lụgic, một phỏn đoỏn là chõn lý nếu như tớnh chõn lý của nú được thiết lập chỉ dựa trờn cơ sở phõn tớch ý nghĩa của cỏc thuật ngữ. Xột về phương diện thực tế, một phỏn đoỏn là chõn lý nếu như tớnh chõn lý của nú được thiết lập khụng những chỉ trờn cơ sở phõn tớch cỏc thuật ngữ lụgic, mà trước hết là trờn cơ sở phõn tớch cỏc thuật ngữ mụ tả. Theo nhận định trờn, cú thể núi rằng cỏc chõn lý của toỏn học thuần tỳy cú sự phõn biệt cơ bản với cỏc chõn lý của lụgic học. Sự phõn biệt đú là ở chỗ trong khi cỏc chõn lý lụgic được giải thớch một cỏch đầy đủ bởi cỏc hệ tiờn đề thỡ cỏc chõn lý toỏn học, khụng thể cú được sự giải thớch đú. Về điều này định lý nổi tiếng của Gụđen về tớnh khụng đầy đủ đó chứng tỏ một cỏch rừ ràng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng việc thiết lập tớnh chõn lý phõn tớch trờn cơ sở định nghĩa cỏc thuật ngữ cú thể được thực hiện bằng nhiều cỏch thức khỏc nhau.
Trong quỏ trỡnh ỏp dụng toỏn học vào nghiờn cứu thế giới hiện thực, cỏc lý thuyết thuần tỳy của nú được biến thành cỏc lý thuyết ứng dụng. Tương ứng với điều đú, cỏc phỏn đoỏn chõn lý phõn tớch đó trở thành cỏc phỏn đoỏn chõn lý thực nghiệm. Điều đú cú nghĩa là giữa tớnh chõn lý thực nghiệm và tớnh chõn lý phõn tớch tồn tại mối liờn hệ sõu sắc, dự rằng đú là mối liờn hệ khụng trực tiếp. Như vậy, trong toỏn học ứng dụng sự minh họa cỏc khỏi niệm và tiờn đề cơ bản của lý thuyết tương ứng bởi những hỡnh ảnh xỏc định là một điều tất yếu. Vớ dụ, trong toỏn học ứng dụng ta cú thể coi cỏc tia sỏng là đối tượng thực nghiệm và chỳng chớnh là sự thể hiện của đối tượng trừu tượng như cỏc đường thẳng, cũn điểm thỡ cú thể xem như vị trớ giao nhau của hai tia sỏng. Cỏch tiếp cận như trờn để đỏnh giỏ tớnh chõn lý của tri thức hỡnh học đó phủ định những quan điểm trước đú xem xột tớnh chõn lý của hỡnh học chỉ dựa vào tớnh rừ ràng trực giỏc của cỏc tiờn đề. Như vậy, cỏch tiếp cận mới đến đối tượng nghiờn cứu của toỏn học đó làm thay đổi hoàn toàn những quan niệm trước đõy về bản chất của chõn lý toỏn học lẫn cỏc phương phỏp kiểm tra nó. Ở đõy cần phải phõn biệt tớnh chõn lý của toỏn học thuần tỳy với tớnh chõn lý của toỏn học ứng dụng. Để xỏc định tớnh chõn lý trong toỏn học thuần tỳy, người ta thường chỳ ý đến những điều khẳng định dựa trờn phương phỏp phõn tớch. Đú là những sự khẳng định, trong đú một số được thừa nhận khụng cần chứng minh gọi là cỏc tiờn đề, số cũn lại được rút ra từ cỏc tiờn đề theo cỏc quy tắc lụgic. Bản thõn những kết luận lụgic khụng đũi hỏi phải chỳ ý đến nội dung cụ thể, vỡ vậy mọi hoạt động của nhà toỏn học lý thuyết về cơ bản được quy về sự nghiờn cứu bằng phương phỏp phõn tớch - lụgic cỏc lý thuyết. Ngoài những kết luận của cỏc định lý từ cỏc tiờn đề nhà toỏn học lý thuyết cần phải rà soỏt lại bản thõn cỏc tiờn đề. Trước hết, ụng ta cần phải kiểm tra xem xột cỏc tiờn đề cú mõu thuẫn với nhau khụng. Trong phương phỏp tiờn đề, một hệ tiờn đề nhận định mõu thuẫn sẽ khụng cú sự minh họa thực tế nào, và vỡ thế
nú khụng phải là chõn lý. Một hệ tiờn đề như thế hoàn toàn khụng cú giỏ trị thực tiễn. Nhưng trong phương phỏp giả thuyết - diễn dịch, đối với một hệ tiờn đề giả định tỡnh hỡnh diễn ra khụng phải như vậy. Mõu thuẫn nội tại của hệ tiờn đề giả định sẽ được khắc phục khi người ta tỡm ra được kiến giải mới hợp lý và khi đú nú sẽ trở thành chõn lý. Tiếp đú, nhà toỏn học lý thuyết phải kiểm tra tớnh đỳng đắn của sự minh họa trong phạm vi của đối tượng toỏn học thuần tỳy. Vớ dụ, hỡnh học phi Ơclớt chỉ sau khi tỡm được sự minh họa nhờ cỏc đối tượng của hỡnh học Ơclớt thỡ nú mới được thừa nhận trong giới toỏn học. Như vậy, trong toỏn học thuần tỳy khụng bao giờ người ta sử dụng cỏc phương phỏp thực nghiệm để nghiờn cứu, nhất là khụng bao giờ chứng minh những điều khẳng định của mỡnh nhờ cỏc dữ liệu thực nghiệm và quan sỏt.
Trong toỏn học lý thuyết cả việc phõn tớch cỏc tiờn đề lẫn việc chứng minh cỏc định lý đều dựa trờn phương phỏp phõn tớch một cỏch thuần tỳy. Nếu như cỏc tiờn đề là chõn lý thỡ cỏc định lý được rút ra từ chỳng sẽ là chõn lý, bởi vỡ cỏc quy tắc lụgic trong phộp suy diễn sẽ chuyển tớnh chõn lý từ cỏc tiờn đề đến kết luận. Vỡ vậy cú thể núi rằng, trong toỏn học thuần tỳy tớnh chõn lý của một lý thuyết là dựa vào tớnh chõn lý phõn tớch của cỏc tiờn đề và tớnh đỳng đắn của cỏc kết luận lụgic. Độ tin cậy về tớnh chõn lý của cỏc tiờn đề phải được xỏc nhận trong thực tiễn qua nhiều thế kỷ của nhõn loại. Chớnh vỡ vậy khụng phải ngẫu nhiờn mà V.I. Lờnin nhận định: "Hoạt động thực tiễn của con người phải làm cho ý thức của con người lặp đi lặp lại hàng nghỡn triệu lần những hỡnh tượng lụgic khỏc nhau, để cho những hỡnh tượng này cú thể cú được ý nghĩa những cụng lý" [30, tr. 203]. Túm lại, tớnh chõn lý trong toỏn học lý thuyết cho dự cuối cựng phải liờn hệ với thực tiễn nhưng nú đó khụng phụ thuộc một cỏch trực tiếp vào những dữ liệu thực nghiệm cụ thể.
Trong toỏn học ứng dụng tỡnh hỡnh diễn ra hoàn toàn khỏc. Ở đõy cú sự minh họa thực nghiệm cỏc đối tượng trừu tượng, do đú tớnh chõn lý