Từ lập trường duy vật biện chứng, Mỏc đó khẳng định rằng: "Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nú sử dụng toỏn học" [75, tr. 266]. Trờn thực tế, cả Mỏc và Ănghen đều nhỡn thấy ý nghĩa to lớn của toỏn học và cỏc phương phỏp của nú đối với việc nghiờn cứu cỏc hiện tượng tự nhiờn và xó hội. Trong tỏc phẩm nổi tiếng "Chống Đuy-rinh" Ăngghen đó nhấn mạnh: "Muốn cú một quan niệm vừa biện chứng vừa duy vật về tự nhiờn thỡ người ta phải biết toỏn học và khoa học tự nhiờn" [30, tr. 22].
Sự quan tõm của Mỏc và Ăngghen đối với toỏn học trước hết là do chớnh bản thõn toỏn học đó đưa tư tưởng vận động vào đối tượng trừu tượng của mỡnh. Sự xuất hiện cỏc đại lượng biến thiờn trong toỏn học đó bỏo hiệu một cuộc cỏch mạng thực sự trong sự phỏt triển của khoa học toỏn học, đỏnh dấu một sự phỏt triển về chất của toỏn học. Như chỳng ta đó biết rằng, để hiểu rừ được cỏc quy luật vận động của cỏc vật thể, bất luận là vật thể nào dự là viờn đạn đang bay trong khụng khớ hay cỏc hành tinh trong khụng gian vũ trụ thỡ điều cốt yếu là cần phải làm rừ vận tốc tức thời. Định luật thứ hai của Niutơn khẳng định rằng, vận tốc biến đổi của động lượng thỡ tỷ lệ với lực tỏc dụng. Muốn sử dụng định luật đú, cần biết cỏch tỡm tốc độ biến đổi của một đại lượng nào đú và để xỏc định quy luật về vận động do một lực biến đổi gõy ra thỡ cần biết cỏch giải bài toỏn ngược là xỏc định bản thõn đại lượng theo vận tốc thay đổi của nú. Niu tơn đó khụng thể phỏt triển được cơ học vỡ đó khụng phỏt triển được phương phỏp toỏn học phự hợp. Từ đú đó nảy sinh sự cần thiết phải nghiờn cứu cỏc phộp tớnh vi phõn và tớch phõn. Điều này đó được Ăngghen khẳng định: "Chỉ cú phộp tớnh vi phõn mới đem lại cho khoa học tự nhiờn khả năng miờu tả bằng toỏn học
khụng những chỉ những trạng thỏi, mà cả những quỏ trỡnh: vận động" [30, tr. 774]. Tư tưởng vận động đó giỏng một đũn mạnh mẽ vào phương phỏp siờu hỡnh với cỏc hỡnh thức bảo thủ của nú. Khi núi về toỏn học cao cấp, Ăngghen đó nhấn mạnh:
Toỏn học cao cấp đó gõy nờn một sự lẫn lộn nào đú khi nó coi chõn lý vĩnh viễn của toỏn học sơ cấp là một quan điểm đó được khắc phục thường khẳng định cỏi ngược lại với chõn lý ấy, và đưa ra những nguyờn lý hỡnh như là hết sức vụ lý đối với con mắt của những nhà toỏn học sơ cấp: Ở đõy, những phạm trự cứng nhắc đó bị núng chảy, toỏn học đó đi tới một lĩnh vực trong đú ngay cả những mối quan hệ giản đơn như những mối quan hệ của số lượng trừu tượng thuần tỳy, cỏi vụ hạn xấu cũng mang hỡnh thức hoàn toàn biện chứng và buộc những nhà toỏn học phải trở thành những nhà biện chứng một cỏch khụng tự giỏc và cũng khụng tự nguyện [30, tr. 682-685].
Chủ nghĩa duy vật trước Mỏc khụng thể đưa ra được những cơ sở cú tớnh thuyết phục để bỏc bỏ những quan điểm của chủ nghĩa duy tõm về toỏn học, bởi vỡ nú là chủ nghĩa duy vật thụ động. Vấn đề chỉ được giải quyết triệt để khi chủ nghĩa duy vật biện chứng ra đời, bởi vỡ từ đú mới cú dược khả năng xõy dựng cơ sở cho toỏn học một cỏch duy vật.
Ph.Ăngghen từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng đó đưa ra một định nghĩa nổi tiếng về đối tượng của toỏn học, trong đú coi đối tượng toỏn học là cỏc hỡnh dạng khụng gian và quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Trong định nghĩa này, điều cốt yếu là ở chỗ, toỏn học được xem như một khoa học nghiờn cứu những mặt xỏc định của thế giới hiện thực, nú cú nguồn gốc vật chất hoàn toàn thực tế. Định nghĩa này trước hết nhằm chống lại quan điểm duy tõm coi đối tượng của toỏn học là sản phẩm của tư duy thuần tỳy.
Từ quan niệm đú về đối tượng của toỏn học, chỳng ta nhận thấy rằng, vai trũ nhận thức của toỏn học khụng tỏch rời những hoạt động thực tiễn của con người. Cơ sở nhận thức của con người chớnh là thỏi độ tớch cực, chủ động đối với thực tại xung quanh, nhưng điều đú khụng cú nghĩa là tớnh tớch cực tinh thần như chủ nghĩa duy tõm đó khẳng định, mà là tớnh tớch cực trong quỏ trỡnh cải tạo thực tại bằng những hoạt động thực tiễn. Theo V.I.Lờnin, thực tại này khụng thỏa món nhu cầu của con người và con người đó bằng hành động của mỡnh quyết định cải tạo nú. Trong tỏc phẩm "Biện chứng của tự nhiờn" Ăngghen đó viết:
Từ trước tới nay, khoa học tự nhiờn cũng như triết học đó hoàn toàn coi thường ảnh hưởng của hoạt động con người đối với tư duy của họ. Hai mụn ấy một mặt chỉ biết cú tự nhiờn, mặt khỏc chỉ biết cú tư tưởng. Nhưng chớnh việc người ta biến đổi tự nhiờn, chứ khụng phải chỉ một mỡnh giới tự nhiờn, với tớnh cỏch giới tự nhiờn là cơ sở chủ yếu nhất và trực tiếp nhất của tư duy con người và trớ tuệ con người đó phỏt triển song song với việc người ta đó học cải biến tự nhiờn [30, tr. 720].
Trong tỏc phẩm "Chống Đuy-rinh" Ăngghen đó chỉ rừ rằng, xột về phương diện lịch sử, cỏc khỏi niệm xuất phỏt của toỏn học, đú là khỏi niệm số tự nhiờn, khỏi niệm đại lượng và hỡnh hỡnh học đó nảy sinh do nhu cầu thực tiễn của con người trong quỏ trỡnh lao động. Ăngghen viết: "Muốn đếm, chẳng những cần phải cú đối tượng để đếm mà cũn cần phải cú năng lực - khi khảo sỏt những đối tượng đú - gạt bỏ tất cả những thuộc tớnh khỏc của cỏc đối tượng ra, chỉ trừ số lượng của nú, và năng lực này là kết quả của một sự phỏt triển lịch sử lõu dài, dựa trờn kinh nghiệm" [30, tr. 58]. Như vậy, theo Ăngghen, để đếm, cần phải cú đối tượng, nhưng điều quan trọng là cần phải cú khả năng phõn biệt cỏc đối tượng đó đếm rồi với những đối tượng khỏc, khả năng phõn biệt cỏi này với cỏi kia, và cú khả năng bỏ qua mọi tớnh chất
của chỳng trừ số lượng. Cỏc khả năng đú khụng phải là bẩm sinh đối với ý thức con người, chỳng là sản phẩm của hoạt động thực tiễn. Để minh họa cho vấn đề này chỳng ta lấy một thực tế dễ hiểu là: Cỏc định luật về số tự nhiờn dường như hoàn toàn là hiển nhiờn đối với con người cú trỡnh độ văn húa hiện đại. Trỏi lại, đối với con người ở trỡnh độ văn húa nguyờn thủy, cỏc định luật này rất khú giải thớch.
Những tư tưởng của Mỏc về vai trũ của toỏn học trong nhận thức là hoàn toàn xuất phỏt từ mối quan hệ của đối tượng toỏn học với thế giới hiện thực. Trong đú, tư tưởng của Mỏc về cỏi gọi là "cỏch mạng trong phương phỏp" là biểu hiện rừ nột nhất. Trong cỏc tập "Bản thảo toỏn học", Mỏc đó nghiờn cứu riờng toỏn học và để lại nhiều tư tưởng cú giỏ trị về cỏc vấn đề mà chỳng ta quan tõm. Trong khi phõn tớch vấn đề về cơ sở của phộp tớnh vi phõn, Mỏc khẳng định rằng, việc sử dụng cỏc kớ hiệu trở thành bớ ẩn và khú hiểu, nếu ngay từ đầu chỳng được coi là cỏi đó cho, cỏi đó cú sẵn. Điều này đó xảy ra đối với cỏc nhà sỏng lập ra phộp tớnh vi phõn là Niu tơn, và Lepnitxơ với những người kế tục của cỏc ụng. Niutơn và Lepnitxơ trong khi tỡm cỏc đạo hàm và vi phõn của hàm số, ngay từ đầu họ đó coi số gia của đối số như là cỏc vi phõn. Điều bớ ẩn và khú hiểu là ở chỗ, khi lấy vi phõn một hàm số xỏc định y = f(x), một bộ phận nào đú được bỏ đi coi như vụ cựng nhỏ, nhưng nếu số hạng bỏ đi khỏc 0, thỡ việc bỏ nú là một phộp toỏn khụng hợp lý, nếu cú dx = 0 thỡ khi đú cả dy cũng bằng 0 và đẳng thức của chỳng ta biến thành đồng nhất thức 0 = 0. Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và khụng là 0. Lẽ đương nhiờn là ở đõy khụng cú phộp biện chứng nào cả, trỏi lại, điều này đi đến chỗ là gỏn cho cỏc vi phõn những tớnh chất bớ ẩn đặc biệt nào đú, khỏc với tớnh chất của cỏc đại lượng thụng thường. Chớnh việc làm này tạo cho nhà duy tõm Beccơly cỏi cớ để gọi cỏc vi phõn một cỏch chõm biếm và hài ước là "búng ma của cỏc đại lượng chết".
Theo Mỏc, để vứt bỏ tấm màn bớ ẩn ở cỏc khỏi niệm và kớ hiệu của phộp tớnh vi phõn thỡ cần phải làm cho kớ hiệu đặc trưng đối với phộp tớnh đú khụng xuất hiện như là điểm xuất phỏt, mà như là kết quả của quỏ trỡnh hoạt động thực tế, khụng chứa một chỳt gỡ là kớ hiệu. Mỏc cho rằng, điểm xuất phỏt phải nằm trong giới hạn của đại số thụng thường, mà chưa yờu cầu những thuật toỏn đặc biệt của phộp tớnh vi phõn và cỏc kớ hiệu của nó. Ở đõy, điều cốt yếu là ở chỗ, Mỏc đó yờu cầu cỏi gỡ để tỡm được đạo hàm của một hàm số xỏc định. Để tỡm đạo hàm của hàm số y = f(x) trước hết, Mỏc thiết lập cỏc số gia hữu hạn ∆x và ∆y. Trong khi nhiều nhà triết học, chẳng hạn như D.Alembecxơ coi cỏc số gia đú như những cỏi đó tồn tại từ trước, bất luận sự biến đổi nào của cỏc biến số, thỡ Mỏc lại coi chỳng như là kết quả của sự biến đổi của cỏc biến số. Ở Mỏc, việc khử cỏc số gia xảy ra là do kết quả của sự biến đổi ngược của cỏc biến số x và y. Đồng thời, C.Mỏc cũng cho rằng, việc lấy vi phõn một hàm số là một phộp toỏn bao gồm việc tớnh và khử cỏc số gia hữu hạn. C,Mỏc viết:
Lỳc đầu là việc tớnh cỏc số gia và sau đú là việc khử chỳng, như vậy sẽ dẫn đến khụng cú gỡ hết. Tất cả những khú khăn trong việc hiểu phộp tớnh vi phõn (cũng như trong việc hiểu phủ định của phủ định núi chung) chớnh là ở chỗ làm sao thấy được ở chỗ nào nú khỏc với thủ tục đơn giản như thế và vỡ vậy nú dẫn đến kết quả thực tế nào [75, tr. 29].
Túm lại, theo C.Mỏc, hệ số vi phõn bằng kớ hiệu xuất hiện khụng phải như điểm xuất phỏt, mà như sự phản ỏnh của việc tỡm ra đạo hàm trong một quỏ trỡnh đại số đớch thực nào đú, khụng chứa một kớ hiệu đặc trưng cho phộp tớnh vi phõn nào. Như vậy, C.Mỏc đó chứng minh tớnh hiệu quả của phộp biện chứng duy vật trong sự phỏt triển của nhận thức toỏn học trờn cơ sở vận dụng quan điểm toàn diện trong việc phõn tớch và lập lại phộp biện chứng của cỏc đại lượng biến đổi. C.Mỏc viết:
Hệ số vi phõn bằng kớ hiệu như vậy trở thành điểm xuất phỏt độc lập mà ta chỉ cần tỡm cỏi tương đương thực tế của nú. Như vậy, sự mở đầu được chuyển từ một cực là đại số sang cực kia là kớ hiệu, do đú phộp tớnh vi phõn cũng xuất hiện như một phộp tớnh đặc thự nào đú, thao tỏc độc lập trờn một mảnh đất riờng [75, tr. 55-56].
Như vậy, quan điểm xem vi phõn như một kớ hiệu "tỏc chiến" đó được C.Mỏc nghiờn cứu một cỏch rất sõu sắc, trong đú tiến trỡnh suy luận của ụng dựa trờn cơ sở con đường lịch sử lõu dài của sự phỏt triển khỏi niệm vi phõn. Theo C.Mỏc, bản thõn vi phõn từ một khỏch thể trừu tượng, tức là đối tượng trực tiếp của toỏn học, đó trở thành phương tiện tỡm ra cỏi chưa tỡm được.
Khỏc với C.Mỏc và Ph.Ăngghen, V.I. Lờnin đó khụng nghiờn cứu riờng toỏn học và cỏc vấn đề triết học của nú, nhưng trong cỏc tỏc phẩm của ụng, chỳng ta cú thể tỡm thấy nhiều tư tưởng liờn quan đến toỏn học, đặc biệt là trong cỏc tỏc phẩm "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phờ phỏn" và "Bút ký triết học". Cỏc kết luận của V.I. Lờnin về phương phỏp luận rút ra từ việc phõn tớch cuộc cỏch mạng mới nhất trong khoa học tự nhiờn thỡ vụ cựng quý giỏ. Theo nhận xột của V.I. Lờnin, nguyờn nhõn số một để sinh ra chủ nghĩa duy tõm vật lý chớnh là việc toỏn học húa vật lý trong cỏc điều kiện của cuộc cỏch mạng mới nhất trong khoa học tự nhiờn. Đồng thời, V.I. Lờnin cho rằng, bản thõn việc toỏn học thõm nhập vào vật lý cũng là một thắng lợi của khoa học tự nhiờn. Theo V.I. Lờnin, chớnh việc toỏn học húa vật lý học đó gúp phần khẳng định nhiều luận điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng về bản chất vụ cựng vụ tận của giới tự nhiờn. ễng viết: "Vật lý học hiện đại đang nằm trờn giường đẻ, nú đang đẻ ra chủ nghĩa duy vật biện chứng. Một cuộc sinh đẻ đau đớn. Kốm theo sinh vật sống và cú sức sống, khụng trỏnh khỏi cú một vài sản phẩm chết,..." [24, tr. 388]. Song, đỳng như sự đỏnh giỏ của V.I.
Lờnin, bản thõn cỏc nhà duy tõm vật lý do sự nhận thức khụng đỳng đắn về đối tượng toỏn học, coi đối tượng toỏn học khụng phải là sự phản ỏnh những mặt nhất định của tự nhiờn, mà như là cỏc kiến tạo tinh thần do con người sỏng tạo tựy sở thớch của mỡnh. Từ sai lầm đú, những nhà duy tõm vật lý đó đi đến kết luận rằng, một khi toỏn học được ỏp dụng vào vật lý học, thỡ dường như vật lý quan hệ khụng phải với vật chất mà trước hết là chỉ với cỏc kớ hiệu quy ước. V.I. Lờnin nhận định: "Những tiến bộ lớn của khoa học tự nhiờn, tiếp cận những yếu tố thuần nhất và đơn giản của vật chất mà những quy luật vận động cú thể diễn giải được bằng toỏn học, đó làm cho cỏc nhà toỏn học quờn mất vật chất. "Vật chất tiờu tan", chỉ cũn lại những phương trỡnh" [24, tr. 381].
V.I.Lờnin, trong khi bỏc bỏ quan điểm duy tõm chủ quan đối với việc toỏn học húa khoa học tự nhiờn, đó nờu lờn một luận điểm:
Nếu lấy một vật thể nào đú làm đơn vị thỡ sự vận động (cơ giới) của tất cả cỏc vật thể khỏc đều cú thể biểu hiện bằng một tỷ số gia tốc đơn giản. Nhưng cỏc "vật thể" (nghĩa là vật chất) nối chung cũng khụng phải vỡ thế mà tiờu tan, khụng tồn tại độc lập với ý thức của chỳng ta nữa. Nếu đem toàn bộ thế giới qui thành vận động của điện tử thỡ cú thể loại trừ điện tử ra khỏi cỏc phương trỡnh được chớnh là vỡ bất cứ ở chỗ nào cũng đều cú bao hàm điện tử cả, và mối quan hệ lẫn nhau giữa cỏc nhúm hay tập hợp điện tử sẽ được quy thành gia tốc giữa cỏc nhúm ấy với nhau, nếu cỏc hỡnh thức của vận động cũng đơn giản như trong cơ học [24, tr. 356-357].
Lờnin đó giải thớch một cỏch sõu sắc sự xõm nhập của toỏn học vào khoa học tự nhiờn hiện đại. Điều đú được thể hiện rất rừ khi ụng chỉ ra rằng, việc toỏn học húa tri thức vật lý cú thể thực hiện được là nhờ khoa
học tiến gần đến một số yếu tố đơn giản và thuần nhất của vật chất, cỏc yếu tố này cú khả năng được đo lường và tớnh toỏn bằng toỏn học.
Tư tưởng của Lờnin cho rằng, nhiều phương trỡnh vi phõn thuộc về cỏc lĩnh vực khỏc nhau của cỏc hiện tượng lại rất giống nhau chớnh là tư tưởng rất cú giỏ trị. Lờnin nhấn mạnh rằng, sự giống nhau đú của cỏc phương trỡnh vi phõn đó nờu bật tớnh thống nhất của tự nhiờn. Điều đú chứng tỏ cỏc vi phõn toỏn học đó tham gia vào việc phản ỏnh cỏc khớa cạnh khỏc nhau của thế giới hiện thực.
Giỏ trị di sản triết học của Lờnin đối với toỏn học khụng chỉ giới hạn trong cỏc tỏc phẩm mà ở đú cú những lời phỏt biểu trực tiếp gắn với toỏn học.