THIẾT LẬP NHỮNG KHÁI NIỆM XUẤT PHÁT CỦA TOÁN HỌC
Như chúng ta đó biết, đối tượng của toỏn học chớnh là cỏc hỡnh thức khụng gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Đú là những hỡnh dạng và những quan hệ được tỏch ra ở dạng thuần tỳy và hoàn toàn được trừu tượng húa khỏi nội dung của chỳng. Vỡ vậy, ở đõy cú một vấn đề cần phải làm sỏng tỏ, đú là: Những quan hệ số lượng và những hỡnh thức khụng gian được tỏch ra một cỏch thực sự khỏi nội dung của chỳng bằng cỏch nào? Chớnh việc khảo sỏt cỏc phương phỏp cơ bản của sự trừu tượng húa trong toỏn học, mà nhờ đú ta cú thể thiết lập được những khỏi niệm xuất phỏt của toỏn học như số, hỡnh, v.v., đó cho phộp chỳng ta khả năng hiểu tốt hơn quan hệ của cỏc khỏi niệm toỏn học với hiện thực, đồng thời phõn biệt được sự trừu tượng húa trong toỏn học với sự trừu tượng húa trong cỏc khoa học khỏc.
Từ việc xem xột quỏ trỡnh lịch sử phỏt triển của toỏn học, chỳng ta nhận thấy rằng, cỏc phương phỏp trừu tượng húa phổ biến nhất trong toỏn học là sự trừu tượng đồng nhất húa, sự trừu tượng phõn tớch hoặc cụ lập và cỏc sự trừu tượng khỏc nhau về khả năng thực hiện được, nhưng trong đú sự trừu tượng đồng nhất húa là phương phỏp cơ bản nhất, nhờ đú ta suy ra được tớnh chất hoặc quan hệ chung cho tất cả cỏc đối tượng được xột.
Chớnh vỡ vậy, trừu tượng đồng nhất húa thường được gọi là trừu tượng khỏi quỏt húa.
Đứng trờn quan điểm của lý thuyết kinh nghiệm về trừu tượng húa, quỏ trỡnh tỏch cỏc tớnh chất toỏn học của cỏc đối tượng như là số và hỡnh được thực hiện ở việc tước bỏ dần dần tất cả những tớnh chất khụng toỏn học và cuối cựng đi đến cỏc tớnh chất toỏn học phải tỡm. Nhưng phương phỏp đú cực kỳ đơn giản húa bức tranh thực tế, bởi vỡ, sự vật cú một tập hợp vụ số cỏc tớnh chất, đồng thời cỏc tớnh chất toỏn học lại khụng tồn tại dưới dạng "thuần tỳy" trong bản thõn cỏc đối tượng. Hạn chế này của lý thuyết kinh nghiệm đó bị cỏc nhà duy tõm sử dụng để chống đối quan điểm duy vật đối với toỏn học. Trong khi đú, việc nghiờn cứu chi tiết cỏc phương phỏp trừu tượng húa để hỡnh thành cỏc khỏi niệm toỏn học đó chứng tỏ một cỏch rừ ràng tớnh chất duy vật biện chứng của cỏc phương phỏp này và sự sai lầm của cỏc quan niệm duy tõm về nhận thức tiờn thiờn, đặc biệt là trong toỏn học. Để hiểu rừ thực chất sự trừu tượng húa của phộp đồng nhất, chỳng ta quay trở lại phõn tớch quỏ trỡnh hỡnh thành khỏi niệm số tự nhiờn, đú là điểm xuất phỏt của sự phỏt triển toàn bộ toỏn học.
Đối với mọi người hiện nay, khỏi niệm số hầu như rất quen thuộc, mặc dự khụng phải ai cũng hiểu tường tận về nú. Hầu như người ta đều xem như mọi phộp so sỏnh và phộp đếm cỏc đồ vật đều được giả thiết là đó cú cỏc số tự nhiờn rồi. Trong khi đú, nhiều sự kiện lịch sử đó chứng tỏ chắc chắn rằng, trong sự phỏt triển của xó hội loài người đó cú thời kỳ mà con người khụng hề cú chỳt quan niệm rừ ràng nào về số, nhưng vẫn làm được phộp so sỏnh và phộp đếm cỏc tập hợp khỏc nhau. Khỏi niệm số xuất hiện rất muộn, bởi vỡ sự suy nghĩ trừu tượng cũng cần phải cú một khả năng nhất định. Chỳng ta cú thể núi về quỏ trỡnh hỡnh thành khỏi niệm số như sau: Khi núi về một số nào đú, chỳng ta biết rất rừ nhiều tập hợp khỏc nhau của cỏc sự vật cú thể cựng ứng với số đú. Chẳng hạn, số 5 cú thể là 5 ngún
tay, 5 bó hoa hoặc số đỉnh của một ngũ giỏc, v.v.. Do đú, khỏi niệm này phản ỏnh đặc điểm về lượng xỏc định của cỏc tập hợp đú. Dự rằng, cỏc tập hợp nờu ra khỏc nhau về bản chất, nhưng tất cả chỳng đều cú một tớnh chất chung được đặc trưng bởi con số 5.
Vấn đề cần phải giải quyết là ở chỗ, bằng con đường nào trong quỏ trỡnh hoạt động thực tiễn, con người đó đi đến sự trừu tượng húa một tớnh chất chung cho cỏc tập hợp như là con số. Chỳng ta hoàn toàn dễ nhận thấy rằng, một sự trừu tượng húa như thế khụng thể thực hiện được nếu khụng tồn tại cỏc tập hợp xỏc định cỏc sự vật. Trờn thực tế, muốn so sỏnh hai tập hợp cỏc sự vật ta chỉ cần bằng cỏch này hay cỏch khỏc sắp đặt cỏc phần tử của chỳng tương ứng với nhau, chẳng hạn, nếu cho mỗi ngún tay của chỳng ta ứng với một và chỉ một đối tượng thỡ chỳng ta cú thể thiết lập được một tập hợp gồm 5 phần tử, vớ dụ như: 5 con gà tương đương với tập hợp 5 ngún tay, cũn tập hợp 10 con gà sẽ khụng tương đương. Mặc dự trong khi thực hiện việc làm trờn chỳng ta sử dụng cỏc số, nhưng về nguyờn tắc ta cú thể so sỏnh cỏc tập hợp mà khụng cần tới cỏc số. Nhiều nhà nghiờn cứu đó khẳng định rằng, ở nhiều vựng thổ dõn, người ta khụng cú tờn gọi cho cỏc số lớn hơn 5, song họ lại đếm được cỏc tập hợp khỏc nhau của cỏc đối tượng mà số lượng vượt quỏ 5. Họ đếm theo cỏc ngún chõn và cỏc ngún tay và như vậy họ chỉ cần cú trước mặt cỏc đồ vật phải đếm. Chỳng ta dễ dàng nhận thấy phộp đếm như vậy được thực hiện theo nguyờn tắc: ứng với cỏc phần tử của một tập hợp xỏc định là cỏc ngún tay và cỏc ngún chõn, người ta đặt tương ứng với cỏc phần tử của tập hợp khỏc. Nếu với mỗi phần tử của tập hợp này tương ứng với một và chỉ một phần tử của tập hợp kia, thỡ cỏc tập hợp cần phải so sỏnh được coi là tương đương với nhau. Phộp so sỏnh như vậy, ngày nay vẫn được con người sử dụng một cỏch mỏy múc. Vớ dụ, chỳng ta cú thể khụng biết số lượng chỗ ngồi trong một hội trường, nhưng nếu chỳng ta biết rằng tất cả cỏc chỗ đều cú người ngồi và khụng cú
đại biểu nào thiếu chỗ ngồi thỡ số chỗ đỳng bằng số đại biểu. Chớnh vỡ vậy, chỳng ta cú thể so sỏnh cỏc tập hợp khỏc nhau của cỏc đối tượng khỏc nhau mà khụng cần cú khỏi niệm về số.
Sự nghiờn cứu của cỏc nhà khoa học như nhõn chủng học, khảo cổ học, v.v. đó cho ta cơ sở để khẳng định rằng về phương diện lịch sử, ngay từ thời cộng sản nguyờn thủy phộp đếm đó bắt đầu được phỏt triển. Trước tiờn, người ta khụng tỏch tớnh chất của cỏc số khỏi bản thõn cỏc tập hợp phải đếm. Tuy vậy, họ cú thể thiết lập được sự bằng nhau về lượng của tập hợp này với tập hợp khỏc bằng phộp so sỏnh cỏc phần tử của chỳng. Sau này, cựng với việc phỏt triển của sản xuất và việc mở rộng cỏc mối liờn hệ kinh tế giữa cỏc bộ lạc, kỹ thuật đếm sơ khai đó được hoàn thiện dần. Muốn biết về lượng của một tập hợp đồ vật nào đú, cần phải chọn một tập hợp đồ vật xỏc định để biểu thị lượng của tập hợp khỏc. Thụng thường người ta chọn cỏc tập hợp xỏc định là cỏc ngún tay, ngún chõn, cỏc que nhỏ, cỏc vỏ ốc, cỏc viờn sỏi, v.v.. Như vậy, trong giai đoạn này, tớnh chất chung của tất cả cỏc tập hợp cú số lượng bằng nhau được biểu thị qua tớnh chất của một tập hợp đặc biệt nào đú. Tiếp đú, khi sự trao đổi giữa cỏc bộ lạc ngày càng phỏt triển thỡ xuất hiện điều bất tiện ở chỗ, cỏc bộ lạc khỏc nhau thường sử dụng cỏc tập hợp đồ vật khỏc nhau làm tiờu chuẩn so sỏnh. Vớ dụ, cú bộ lạc chọn que nhỏ, cú bộ lạc chọn vỏ ốc, cú bộ lạc chọn những viờn đỏ nhỏ, v.v.. Chớnh vỡ thế, do ảnh hưởng của cỏc nhu cầu trao đổi và sự phỏt triển của đời sống kinh tế, dần dần buộc người ta phải đưa ra một tập hợp xỏc định làm đại diện về lượng cho một tập hợp bất kỳ. Trờn cơ sở đú, phải kinh qua sự phỏt triển lịch sử lõu dài thỡ khỏi niệm số mới được giải phúng khỏi cỏi vỏ vật chất cụ thể và cuối cựng được diễn tả như là một số núi chung. Khỏi niệm trừu tượng về số như là tớnh chất chung của tất cả cỏc tập hợp tương đương cỏc đồ vật được củng cố trước hết là trong lời núi và sau đú là trong cỏc chữ số.
Lịch sử hỡnh thành số tự nhiờn cú thể chia làm bốn giai đoạn lớn, tương ứng với bốn giai đoạn liờn tiếp trong sự phỏt triển của bản thõn kỹ thuật đếm. Giai đoạn thứ nhất bắt đầu từ việc thiết lập sự bằng nhau về lượng của cỏc tập hợp khỏc nhau. Ở đõy, tớnh chất chung của cỏc tập hợp tương đương được kết hợp hoàn toàn với bản tớnh cụ thể của cỏc tập hợp được so sỏnh. Ở giai đoạn thứ hai, số lượng của một tập hợp xỏc định nào đú được biểu diễn qua cả một loạt cỏc tập hợp khỏc tương đương với nó. Ở đõy, tớnh chất chung của tất cả cỏc tập hợp đó bắt đầu được ý thức như là một cỏi gỡ khỏc với bản tớnh cụ thể của bản thõn tập hợp. Đến giai đoạn thứ ba, khi mà một tập hợp xỏc định được lấy làm tiờu chuẩn đặc biệt về lượng, người ta mới bắt đầu phõn biệt tớnh chất chung này với tất cả cỏc tớnh chất đặc biệt của tập hợp. Đến giai đoạn thứ tư, tớnh chất chung của tất cả cỏc tập hợp tương đương được trừu tượng húa khỏi bản thõn tập hợp và biểu diễn dưới dạng "thuần tỳy", tức là giống như khỏi niệm trừu tượng của số tự nhiờn. Bõy giờ, chớnh cỏc số tự nhiờn biểu diễn tiờu chuẩn về lượng. Thật vậy, ở giai đoạn này, khi đếm chỳng ta cho tương ứng mỗi đối tượng của một tập hợp được đếm với một số xỏc định trong dóy số tự nhiờn, cụ thể với một số là số hiệu của nú trong dóy này.
Trong lịch sử hỡnh thành khỏi niệm số đó cú nhiều nhà toỏn học đưa ra định nghĩa logic của khỏi niệm đú. Điển hỡnh là định nghĩa của Frờghờ và Rỳtxen. Trong cơ sở của định nghĩa đú đó chứa đựng khỏi niệm tương ứng đơn trị hai chiều hoặc khỏi niệm đồng dạng của cỏc lớp. Tại đõy, một vấn đề phải núi rừ là thế nào là sự tương ứng đơn trị hai chiều và hai lớp đồng dạng. Sự tương ứng đơn trị hai chiều là sự tương ứng biểu thị một quan hệ xỏc định giữa cỏc phần tử của hai tập hợp, trong đú mỗi phần tử của tập hợp thứ nhất được đặt tương ứng với một và chỉ một phần tử của tập hợp thứ hai và ngược lại, cũn hai lớp hoặc hai tập hợp được coi là đồng
dạng hoặc tương đương nếu giữa chỳng cú thể thiết lập được sự tương ứng đơn trị hai chiều.
Xột về phương diện lịch sử, chỳng ta cần lưu ý rằng, nếu sự trừu tượng húa tớnh chất chung của cỏc tập hợp tương đương và từ đú dễ dàng hỡnh thành nờn khỏi niệm số, thỡ nguyờn nhõn chớnh là do điều đú đó được chuẩn bị bởi thực tiễn lõu dài trước đú của nhõn loại và trong quỏ trỡnh đú tư duy trừu tượng của con người đó được phỏt triển.
Trong thớ dụ về sự hỡnh thành khỏi niệm số, ta cú thể phỏt hiện được cỏc đặc điểm của sự trừu tượng đồng nhất húa đúng một vai trũ quan trọng trong toỏn học. Sự trừu tượng húa như thế bắt đầu từ sự thiết lập quan hệ loại bằng nhau giữa cỏc tập hợp được nghiờn cứu. Chẳng hạn, chỳng ta xột quan hệ tương ứng đơn trị hai chiều giữa cỏc tập hợp cho định nghĩa số. Muốn xỏc định khỏi niệm hỡnh hỡnh học, chỳng ta phải xột quan hệ đồng dạng của cỏc hỡnh. Đối với định nghĩa đồng dư cỏc số theo một mụ đun nào đú, chỳng ta phải nghiờn cứu quan hệ đồng dư, v.v.. Tất cả cỏc quan hệ tương ứng đơn trị hai chiều, quan hệ đồng dạng của cỏc hỡnh lẫn quan hệ đồng dư của cỏc số đều được đặc trưng bởi ba tớnh chất quan trọng sau đõy:
- Tớnh chất đối xứng: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B thỡ tập hợp B cũng tương đương với tập hợp A. Nếu hỡnh φ1 đồng dạng với hỡnh φ2, thỡ hỡnh φ2 cũng đồng dạng với hỡnh φ1. Bằng ngụn ngữ logic toỏn, tớnh chất này được biểu diễn như sau: xRy → yRx (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R đối với phần tử y, thỡ phần tử y cũng nằm trong quan hệ R ấy với phần tử x).
Tớnh chất bắc cầu: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B, cũn tập
hợp B tương đương với tập hợp C, thỡ tập hợp A tương đương với tập hợp C. Nếu hỡnh φ1 đồng dạng với hỡnh φ2, cũn hỡnh φ2 đồng dạng với φ3, thỡ hỡnh φ1 đồng dạng với hỡnh φ3. Bằng kớ hiệu logic, điều đú được viết như sau: (xRy &
yRz) → xRz (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R đối với phần tử y, cũn y cựng nằm trong quan hệ đú đối với z, thỡ x cũng nằm trong quan hệ R đối với z).
Tớnh phản xạ: Mỗi tập hợp tương đương với chớnh mỡnh, mỗi hỡnh
đồng dạng với chớnh mỡnh. Bằng kớ hiệu logic, tớnh chất này được viết dưới dạng: xRx.
Nếu giữa cỏc đối tượng xỏc định tồn tại một quan hệ cú cỏc tớnh chất đối xứng, bắc cầu và phản xạ, thỡ dựa vào quan hệ đú ta cú thể tỏch ra, hoặc trừu tượng húa một tớnh chất chung nào đú vốn cú cho tất cả cỏc đối tượng này. Trong cỏc thớ dụ nờu trờn đó chứng tỏ rằng, nhờ sự tương ứng đơn trị hai chiều, tớnh chất của cỏc số đó được trừu tượng húa, quan hệ đồng dạng tỏch ra tớnh chất chung của cỏc vật thể hỡnh học như là một hỡnh, quan hệ đồng dư giữa cỏc số tỏch ra cỏc số đồng dư theo mụđun đó cho, v.v..
Quan hệ cú cỏc tớnh chất đối xứng, bắc cầu, phản xạ thỡ tương tự như quan hệ bằng nhau, vỡ thế người ta thường gọi nú là quan hệ loại bằng nhau. Nhưng rừ ràng, nếu như cỏc đối tượng được nghiờn cứu là đồng nhất hoàn toàn, thỡ chỳng ta khụng thể từ cỏi gỡ mà trừu tượng húa được, bởi vỡ khụng phõn biệt được chỳng. Khi thiết lập quan hệ loại bằng nhau, người ta so sỏnh cỏc đối tượng trong một quan hệ nào đú. Chẳng hạn, quan hệ tương ứng đơn trị hai chiều chỉ đặc trưng cho sự tương đương về lượng của cỏc tập hợp và hoàn toàn khụng đụng chạm tới bản chất của cỏc phần tử hỡnh thành nờn tập hợp. Quan hệ đồng dạng thiết lập sự bằng nhau của cỏc gúc và tỷ lệ của cỏc cạnh. Chớnh điều đú đó giải thớch tờn gọi của phương phỏp này như là một sự trừu tượng đồng nhất húa.
Sự trừu tượng đồng nhất húa khụng những chỉ được sử dụng rộng rói trong toỏn học, mà cũn cả trong cỏc khoa học khỏc. Chẳng hạn như
C,Mỏc đó sử dụng phương phỏp này để trừu tượng húa một tớnh chất chung cho tất cả hàng húa đú là giỏ trị. Khi phõn tớch quan hệ trao đổi hàng húa C.Mỏc đó nhận xột rằng, quan hệ này cú thể biểu diễn dưới dạng phương trỡnh, trong đú số lượng xỏc định của một dạng hàng húa này được so sỏnh với số lượng đó biết của một hàng húa khỏc. C.Mỏc viết:
Vớ dụ; 1 quac tơ lỳa mỡ = a tạ sắt. Phương trỡnh ấy núi lờn cỏi gỡ? núi lờn rằng trong hai vật khỏc nhau - tức là trong một quac-tơ lỳa mỡ và a tạ sắt - cú một cỏi gỡ chung cú cựng một đại lượng. Vậy cả hai vật đú bằng một vật thứ ba nào đú, vật thứ ba