Như chúng ta đó biết, trong triết học mỏcxớt ngẫu nhiờn và tất nhiờn là một cặp phạm trự của phộp biện chứng duy vật. Đõy là một cặp phạm trự cú ý nghĩa phương phỏp luận và thực tiễn rất lớn. Trờn thực tế, cỏc hiện tượng xảy ra trong thế giới xung quanh ta thật muụn hỡnh muụn vẻ, nhưng đại thể cú thể phõn làm hai loại: một loại là cỏc hiện tượng xảy ra cú tớnh chất xỏc định như nhật thực, nguyệt thực, sự lờn xuống của thủy triều, v.v.. Những hiện tượng trờn cú thể biết trước được và người ta gọi chỳng là những hiện tượng tất nhiờn. Loại thứ hai bao gồm những hiện tượng xảy ra tựy lỳc như số người sinh ra trong một ngày trờn hành tinh của chỳng ta, số ngày nắng, mưa trong một năm, v.v.. Đú là những hiện tượng mà chỳng ta khụng thể đoỏn trước một cỏch chớnh xỏc được và chỳng được gọi là cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn.
Từ xưa đến nay, việc nghiờn cứu cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn là một vấn đề rất phức tạp. Trong thực tế đó cú nhiều quan điểm trỏi ngược nhau. Nếu xột từ gúc độ triết học, thỡ khú cú thể cú một cõu trả lời mỹ món về vấn đề này, song theo quan điểm duy vật biện chứng, tất cả những hiện tượng ngẫu nhiờn và tất nhiờn đều là kết quả của những nguyờn nhõn nào đú. Sự khỏc nhau giữa chỳng chỉ là ở chỗ, cỏi tất nhiờn gắn liền với nguyờn nhõn cơ bản, nội tại của sự vật, cũn cỏi ngẫu nhiờn là kết quả tỏc động của một số nguyờn nhõn bờn ngoài. Trong thực tế đó cú những quan điểm cho rằng những hiện tượng tất nhiờn là xảy ra theo quy luật, cũn những hiện tượng ngẫu nhiờn là xảy ra khụng tuõn theo quy luật. Đú là một quan điểm sai lầm. Theo quan điểm mỏcxớt thỡ về thực chất cả những cỏi tất nhiờn và ngẫu nhiờn đều tuõn theo quy luật. Ở đõy, sự khỏc nhau giữa chỳng chỉ là ở chỗ
cỏi tất nhiờn tuõn theo một loại quy luật được gọi là quy luật động lực, cũn cỏi ngẫu nhiờn tuõn theo một loại quy luật khỏc được gọi là cỏc quy luật thống kờ. Quy luật động chớnh là quy luật mà trong đú mối quan hệ giữa nguyờn nhõn và kết quả là mối quan hệ đơn trị, nghĩa là ứng với một nguyờn nhõn chỉ cú một kết quả xỏc định. Chớnh vỡ vậy, nếu biết trạng thỏi ban đầu của một hệ thống nào đú, chỳng ta cú thể tiờn đoỏn chớnh xỏc trạng thỏi tương lai của nú. Quy luật thống kờ là quy luật mà trong đú mối quan hệ giữa nguyờn nhõn và kết quả là mối quan hệ đa trị, nghĩa là ứng với một nguyờn nhõn thỡ cú thể cú những kết quả khỏc nhau. Vỡ vậy, theo quy luật thống kờ, nếu biết trạng thỏi ban đầu của một hệ thống nào đú, ta khụng thể tiờn đoỏn chớnh xỏc được trạng thỏi của nú trong tương lai, mà chỉ cú thể tiờn đoỏn được với một xỏc suất nhất định.
Chủ nghĩa duy vật mỏcxớt cho rằng, giữa cỏi tất nhiờn và ngẫu nhiờn luụn luụn cú mối quan hệ biện chứng sõu sắc. Mối quan hệ đú được biểu hiện ở chỗ, cỏi tất nhiờn bao giờ cũng vạch đường đi cho mỡnh xuyờn qua vụ số cỏi ngẫu nhiờn, cũn cỏi ngẫu nhiờn là hỡnh thức thể hiện của cỏi tất nhiờn, đồng thời là cỏi bổ sung cho cỏi tất nhiờn. Từ lập trường đú, chỳng ta nhận thấy rằng, tất cả những gỡ ta thấy trong hiện thực và cho là ngẫu nhiờn thỡ đều khụng phải là ngẫu nhiờn thuần tỳy, mà là ngẫu nhiờn đó bao hàm cỏi tất nhiờn, cú nghĩa là đằng sau chúng bao giờ cũng ẩn nấp cỏi tất nhiờn nào đú. Về điều này, Ăngghen nhấn mạnh: "Cỏi mà người ta quả quyết cho là tất yếu lại hoàn toàn do những ngẫu nhiờn thuần tỳy cấu thành, và cỏi được coi là ngẫu nhiờn, lại là hỡnh thức dưới đú ẩn nấp cỏi tất yếu" [31, tr. 431].
Vấn đề cần giải quyết là ở chỗ con người cú tỡm được cơ sở để hiểu biết về những hiện tượng ngẫu nhiờn hay khụng? Bản thõn chỳng cú quan hệ như thế nào với quy luật vận động của thế giới khỏch quan. Nếu như chỳng ta thừa nhận cỏi ngẫu nhiờn thỡ nú cú tớnh khỏch quan hay chỉ là kết quả của sự hạn chế của nhận thức chủ quan của con người. Núi cỏch khỏc,
ngẫu nhiờn là thuộc tớnh của nhận thức hay là thuộc tớnh của đối tượng khỏch quan. Những vấn đề như vậy đó được đặt ra trong suốt quỏ trỡnh lịch sử nhận thức của con người.
Nhà triết học duy vật cổ đại nổi tiếng người Hy Lạp là Đờmụcrit mặc dự cú nhiều quan điểm tiến bộ, song đó cú nhược điểm lớn là phủ định tớnh ngẫu nhiờn. Theo ụng, mọi cỏi đều là tất yếu, đều đó được quyết định sẵn theo nguyờn nhõn của nú. Nhược điểm đú đó chỉ rừ bản chất quyết định luận duy vật mang mầu sắc định mệnh của Đờmụcrit. Đến thế kỷ XVIII, nhà triết học duy vật người Hà Lan là Spinụda cú đúng gúp lớn là đó đưa ra được nguyờn lý về tớnh nhõn quả bờn trong của thế giới. Ở Spinụda, tớnh tất yếu đó gạt bỏ mọi sự can thiệp của thần thỏnh, nhưng ụng đó khụng giải thớch đỳng đắn mối quan hệ giữa tất yếu và ngẫu nhiờn. Sai lầm của ụng là ở chỗ đó phủ nhận tớnh khỏch quan của ngẫu nhiờn, ụng khụng thấy rằng, ngẫu nhiờn là một trường hợp riờng của tất yếu. Theo Spinụda, vỡ mọi cỏi trong tự nhiờn đều tuõn thủ tớnh tất yếu một cỏch nghiờm ngặt, cho nờn ngẫu nhiờn bị loại trừ. ễng gọi ngẫu nhiờn là cỏi mà chỳng ta khụng biết nguyờn nhõn của nú, cũn khi đó tỡm ra nguyờn nhõn thỡ ngẫu nhiờn trở thành tất yếu, do vậy, ngẫu nhiờn hoàn toàn là phạm trự chủ quan. Điều đú chứng tỏ ụng khụng thừa nhận tớnh khỏch quan của ngẫu nhiờn.
Để hiểu rừ bản chất của cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn, ta cần làm quen với khỏi niệm về đại lượng ngẫu nhiờn. Chẳng hạn, khi gieo một con xỳc xắc đều đặn, gọi x là số chấm của mặt xuất hiện trong một lần gieo. Như vậy x sẽ nhận một trong 6 giỏ trị cú thể cú là 1, 2, 3, 4, 5, 6 và ta gọi x là một đại lượng ngẫu nhiờn hay biến ngẫu nhiờn. Núi một cỏch khỏi quỏt, đại lượng ngẫu nhiờn là những đại lượng nhận giỏ trị này hay giỏ trị khỏc trong cỏc giỏ trị cú thể cú ở những lần thử khỏc nhau mà ta khụng thể khẳng định được trước khi thực hiện phộp thử. Trong toỏn học, người ta đó phõn chia đại lượng ngẫu nhiờn thành hai loại:
- Đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc, tức là, đại lượng ngẫu nhiờn mà giỏ trị cú thể cú của nú là hữu hạn hay vụ hạn và cú thể đếm được.
- Đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục, tức là đại lượng ngẫu nhiờn mà cỏc giỏ trị cú thể cú của nú cú thể lấp kớn một khoảng trờn trục số.
Xuất phỏt từ những nhận thức nờu trờn, chỳng ta xem xột cỏi ngẫu nhiờn được nghiờn cứu trong cỏc lý thuyết toỏn học, trong đú lý thuyết xỏc suất thống kờ là cơ bản nhất. Lý thuyết xỏc suất và thống kờ của toỏn học ra đời là nhằm nghiờn cứu cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn, phỏt hiện ra quy luật hoạt động của chỳng, thỳc đẩy khoa học phỏt triển, tăng cường khả năng nhận thức của con người đối với thế giới khỏch quan.
Hiện tượng ngẫu nhiờn là rất phổ biến trong thực tiễn, từ vật lý vi mụ đến sinh học, húa học, khớ tượng học và cỏc khoa học xó hội v.v., nờn lý thuyết xỏc suất ngày càng cú vị trớ đặc biệt quan trọng trong khoa học và được nghiờn cứu một cỏch sõu sắc. Trong cỏc lý thuyết toỏn học đó cú nhiều quan niệm về khỏi niệm xỏc suất, nhưng trong phạm vi nghiờn cứu của luận ỏn, ta chỉ đề cập đến định nghĩa cổ điển của xỏc suất và định nghĩa xỏc suất nhờ tần suất. Trong cỏc giỏo trỡnh toỏn học, xuất phỏt từ quan niệm xỏc suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra của một biến cố, người ta đưa ra định nghĩa cổ điển về xỏc suất như sau: "Nếu A là biến cố cú n(A) biến cố sơ cấp thớch hợp với nú trong một khụng gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω) biến cố cựng khả năng suất hiện thỡ tỷ số P (A) = được gọi là xỏc suất của A" [14, tr. 11].
Từ quan niệm trờn, ta giả sử biến cố A được phõn chia thành A = A1 + A2 + ... + Am trong nhúm n biến cố đầy đủ A1, A2,..., An của một phộp thử nào đú cú cựng khả năng xuất hiện thỡ xỏc suất của một biến cố nào đú chớnh là số đo khả năng khỏch quan xuất hiện của biến cố đú khi phộp thử g được thực hiện. Định nghĩa về xỏc suất nhờ tần suất được mụ tả như sau:
Giả sử ta tiến hành n phộp thử độc lập, như nhau và theo dừi sự xuất hiện biến cố A cú liờn quan. Gọi n là số phộp thử đó tiến hành, n(A) là số phộp thử cú A xuất hiện, tỉ số được gọi là tần suất của A. Trong toỏn học, người ta đó chứng minh được rằng xỏc suất của biến cố A là P(A) = . Do đú, ta rút ra kết luận rằng, khi số phộp thử n đủ lớn ta cú thể lấy tần suất của A thay cho xỏc suất P(A) (mà ta chưa biết) [14, tr. 134].
Trong toỏn học, khụng ai dựng nhiều phộp thử để chứng minh định lý, nhưng để nghiờn cứu toỏn học thỡ khụng cú lý do gỡ ngăn cản cỏc nhà toỏn học mầy mũ, dựng nhiều phộp thử, đặc biệt là trong thời đại ngày nay mỏy tớnh điện tử cho phộp ta xử lý rất nhanh cỏc kết quả do từng phộp thử mang lại. Thực chất của việc sử dụng phộp thử trong toỏn học chớnh là việc tỡm xỏc suất của một biến cố ngẫu nhiờn nhờ tần suất của nú. Việc làm này khụng phải trong thời đại ngày nay mới được đề cập đến, mà ngay từ thế kỷ XVII, nhà toỏn học người Thụy Sĩ là Becnuli (1654 - 1705) đó chứng minh một định luật rất cú ý nghĩa như sau:
Khi số lần thớ nghiệm càng nhiều thỡ khả năng cú sai lệch giữa xỏc suất và tần suất xuất hiện của hiện tượng là rất nhỏ. Núi cỏch khỏc, khi số lần thớ nghiệm càng nhiều thỡ tần suất xuất hiện của hiện tượng ngẫu nhiờn A dao động một cỏch ổn định gần giỏ trị P nào đú. Giỏ trị này gọi là xỏc suất của hiện tượng ngẫu nhiờn A. Vậy cú thể dựng tần suất để thay thế xỏc suất [8, tr. 8].
Theo cỏch lập luận trờn, ta nhận thấy rằng, xỏc suất của một biến cố là số đo khả năng khỏch quan của việc xuất hiện biến cố đú. Nhưng thực tế cho thấy: một biến cố cú xỏc suất gần 1 thường xuất hiện cũn biến cố cú xỏc suất gần 0 thường khụng xuất hiện. Cỏc biến cố cú xỏc suất gần 0 (do đú cỏc biến cố đối của nú cú xỏc suất gần 1) thường được quan tõm. Tuy
nhiờn, mức độ quan tõm là phụ thuộc vào tớnh chất, tầm quan trọng của sự việc. Chẳng hạn, khi xõy dựng một đoạn đường hầm xuyờn qua nỳi, xỏc suất đoạn đường hỏng là 0,01, tuy rất bộ nhưng khụng thể bỏ qua được bởi vỡ với xỏc suất đú việc sập hầm vẫn cú thể xảy ra và gõy hậu quả nghiờm trọng. Nhưng nếu sản xuất một lụ hàng tiờu dựng thụng thường như quần ỏo v.v. với xỏc suất bị phế phẩm 0,01 thỡ cú thể bỏ qua được.
Từ khi lý thuyết xỏc suất ra đời, trong thực tế đó cú rất nhiều lý thuyết ứng dụng nú như lý thuyết trũ chơi, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết phục vụ đỏm đụng, v.v.. Càng ngày người ta càng nhận thấy rằng những lĩnh vực trong đú cú thể khẳng định "đỳng", "sai" là rất ít so với cỏc lĩnh vực trong đú khụng thể khẳng định "đỳng" hay "sai" mà chỉ cú thể núi đến một "xỏc suất" đỳng hay sai P nào đú (0 ≤ P ≤1). Vớ dụ, trong cơ học lượng tử do lưỡng tớnh súng hạt nờn ta khụng thể khẳng định vị trớ của một hạt ở một thời điểm xỏc định mà chỉ cú thể núi đến xỏc suất để hạt ở vị trớ đú. Vào năm 1965, nhà toỏn học người Mỹ là Zadels L.A đó mở đầu cho việc hỡnh thành lý thuyết về tập mờ, trong đú chuyờn nghiờn cứu về những tập hợp khụng cú ranh giới rừ rệt vỡ khụng thể khẳng định được một phần tử nào đú là thuộc tập hợp hay khụng mà chỉ cú thể núi đến một xỏc suất P để phần tử thuộc tập hợp. Trong thực tế cú rất nhiều tập hợp mờ, chẳng hạn, M là tập hợp những ngày mưa trong năm 2005 và hỏi ngày 10/10/2005 cú thuộc M hay khụng. Ở đõy ta chỉ cú thể trả lời cõu hỏi với một xỏc suất P nào đú.
Để làm rừ vấn đề, ta sẽ chỳ ý đến những biến cố ngẫu nhiờn do rất nhiều nguyờn nhõn ngẫu nhiờn gõy ra, mà mỗi nguyờn nhõn này chỉ cú ảnh hưởng rất nhỏ. Việc tỡm điều kiện để những biến cố như vậy xảy ra với xỏc suất gần 0 (hoặc gần 1) một cỏch tựy ý là nội dung cỏc mệnh đề mang tờn "luật số lớn". Ở đõy, cỏc nguyờn nhõn được biểu thị bằng cỏc biến ngẫu
nhiờn, cũn tỏc dụng tổng hợp của cỏc nguyờn nhõn được thể hiện bởi "tổng" của cỏc biến ngẫu nhiờn đú theo một cỏch nào đú.
Theo lý thuyết xỏc suất, tuy cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn là khụng đoỏn trước được, song người ta cú thể nghiờn cứu cỏc hệ thống những hiện tượng để từ đú rút ra được cỏc quy luật về số lớn cỏc hiện tượng đú, đồng thời biểu diễn cỏc quy luật này bằng cỏc mụ hỡnh toỏn học. Từ đú, chỳng ta cú thể lợi dụng được những hiện tượng ngẫu nhiờn, thậm chớ tạo ra những hiện tượng ngẫu nhiờn tuõn theo cỏc quy luật số lớn để dựng vào những tớnh toỏn cụ thể. Vấn đề cốt yếu là ở chỗ, để hiểu được một hiện tượng ngẫu nhiờn, ta phải xem xột nú trong mối quan hệ với một số lớn cỏc yếu tố, cỏc khả năng. Khi một hiện tượng ngẫu nhiờn xảy ra thỡ ta cú thể coi đú là tớn hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến hay mới chỉ biết một phần. Chớnh vỡ vậy người ta thường núi "cỏi tất nhiờn bộc lộ ra bờn ngoài qua cỏi ngẫu nhiờn".
Trong toỏn học, lý thuyết xỏc suất và thống kờ đó nghiờn cứu rất nhiều những vấn đề cú liờn quan đến ngẫu nhiờn. Ở đõy, vấn đề chủ yếu được đề cập đến là cỏc quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, cỏc dóy những hiện tượng ngẫu nhiờn. Quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, tức là quỏ trỡnh bao gồm những bước diễn ra ở từng thời điểm cụ thể thỡ ta khụng hoàn toàn xỏc định được, nhưng nếu xột sự việc xảy ra của cả dóy thỡ rừ ràng nú cũng phải tuõn theo một quy luật chung nào đú. Túm lại, tỡm hiểu về lý thuyết xỏc suất thống kờ tức là cố gắng tỡm ra những quy luật chung đối với số lớn cỏc hiện tượng hoặc là số lớn cỏc đối tượng mà từng cỏi đơn nhất ta khụng nghiờn cứu cụ thể được, ta khụng thể hiểu được. Trong lý thuyết xỏc suất, những định lý cơ bản chớnh là những định lý về số lớn cỏc biến cố. Như vậy, phần lớn cỏc quy luật thống kờ, quy luật về những hiện tượng ngẫu nhiờn là những quy luật núi về số lớn. Điều này là hết sức quan trọng, bởi vỡ thụng thường khi nghiờn cứu cỏc đối tượng của thực tế thỡ khụng phải bao giờ ta cũng cú thể
hiểu được sự vận động của cả một quần thể lớn trờn cơ sở nghiờn cứu sự vận động của từng đối tượng cụ thể. Trờn thực tế, nhiều khi ta khụng biết được hoạt động của từng đối tượng cụ thể, nhưng bằng những quy luật cú tớnh chất thống kờ, cú tớnh chất xỏc suất ta lại hiểu được hoạt động của cả một quần thể đối tượng, tức là đối với từng cỏi cụ thể là ngẫu nhiờn, nhưng