... đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bấtđẳngthức
đúng hoặc bấtđẳngthức đà đợc chứngminh đúng.
Bài 3.1: a. Với a,b, c > 0. Chøng minh:
b. Cho a ≥ c > 0, b c. Chứng minh: ... SSSS
++=
.
3
1
321
SSSS
≥++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=⇒
=
1
2
1
22
2
=
=
AC
PC
AC
QE
S
S
Các phơng pháp chứng minh
bấtđẳng thức
A. Kiến thức cơ bản.
* Một số bấtđẳngthức cần nhớ:
1. a
2
≥ 0; ; -
, dÊu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2. Bấtđẳngthức Cô ... 3 số dơng a,b, c. Chứngminh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng cácbấtđẳngthức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứngminh rằng:
A = không...
... giá trị lớn nhất của biểu thức
abc
S
a1 b1 c1
=++
+++
Kết quả:
3
Max S
4
=
Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁCBẤTĐẲNGTHỨC TRONG DÃY BẤTĐẲNGTHỨC BẬC BA
Dãy bấtđẳngthức đồng bậc bậc ba:
... ≤++≤++
+++
Dấu đẳngthức xảy ra
abc0⇔==>
Bài 3:
Cho ba số dương a, b, c. Chứngminhbấtđẳng thức:
222
222
abc
1
a2bcb2cac2ab
++≥
+++
Bài giải:
Áp dụng bấtđẳngthức :
22
bc2bc+≥
...
Dấu đẳngthức xảy ra
abc0⇔==>
Bài 4:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
3
abc
4
++=
. Chứngminhbấtđẳng thức:
33
3
a3b b3c c3a 3+++++≤
Bài giải:
Áp dụng bấtđẳng thức...
... + ≥
Giải:
*
1
1
1
1: .n a
a
2
= =1
: Bấtđẳngthức luôn đúng.
*
n k
=
: Giả sử bấtđẳngthức đúng là:
5
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương với:
2
( ) ( ) 2 ( )( )
c ... − − − ≥
đây là bấtđẳngthức đúng (đpcm)
Ví dụ 8:
Chứngminh rằng đối với mọi
, ,
a b c R
∈
, ta có:
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
(1)
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương ... > + ⇒
Bấtđẳngthức đúng với
1
n k
= +
⇒
đpcm.
Ví dụ 4:
Cho
, 1, ,n Z n a b
∈ ≥ ≥ 0
. Hãy chứng minh:
2 2
n
n n
a b a b
+ +
≥
Giải:
* n = 1: Bấtđẳngthức luôn...
... 04)1(
2
acb
Chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm.
Giải:
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCBấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... 3 bấtđẳngthức sau có một bấtđẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp vecto
Một số bấtđẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... Cmr trong 3 bấtđẳngthức sau có ít nhất một bấtđẳngthức đúng:
222222222
)()(2,)()(2,)()(2 baacaccbcbba
Bài 4: Cho a,b,c >0 và abc=1.Cmr 3
cba
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum...
... hàm số
hoặc dùng định lý Lagrage để chứngminhbấtđẳng thức, đặc biệt là bấtđẳngthức có
một biến số.
Loại 1. Sử dụng đạo hàm để chứngminhbấtđẳng thức
Phơng pháp thờng dùng là sử dụng đạo ... x>0
Bài 7. Cho n
+
chứngminh rằng :
1
n
x x
<
1
2ne
với mọi
( )
0;1x
Giải
Hớng dẫn học sinh chứngminhbấtđẳngthức tơng tơng với chứngminhbất
đẳng thức
( )
2
1
n
x x
< ... >
chứng minh rằng:
1
1 1
1 1
1 1
x x
x x
+
+ > +
ữ ÷
+ +
(1)
46
Các phơng pháp chứngminhbấtđẳng thức
PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấTĐẳNGTHứC CÔSI
PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT...
... bayy
2
0
2
2
0
)()2( bayy
Bấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCBấtđẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... 3 bấtđẳngthức sau có một bấtđẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp vecto
Một số bấtđẳngthức có thể được chứngminh bằng các ...
ABC
, chứngminh rằng:
2
3
coscoscos CBA
II. Dùng hình học để chứngminhbấtđẳngthức
Một số định lý tính chất cơ bản trong hình học thường dùng trong chứng
minh bấtđẳngthức hình...
... sâu phương pháp sử dụng bấtđẳngthức vectơ trong
chứng minhbấtđẳngthức
4
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bấtđẳngthức vectơ để giải các bài toán chứngminhbấtđẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi ... giải các
bài toán chứngminhbấtđẳngthức nói riêng.
Khi sử dụng bấtđẳngthức vectơ giải các bài toán chứngminhbấtđẳngthức
học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:
- Đứng trước những bất ... cácbấtđẳngthức (I.1) và (I.2)
2. Dấu hiệu nhận biết dùng bấtđẳngthức vectơ để chứngminhbấtđẳng thức
Sử dụng bấtđẳngthức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để
chứng minh...
... 2009
Bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi a=b=c.
Bài toán 7. Cho các số thực không âm a,b,c. Chứngminhbất ñẳng thức
3 ... ta cũng có ñiều phải chứng minh.
Vậy bất ñẳng thức ñược chứngminh xong. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Bài toán 3. (VIF) Cho các số thực không âm a,b,c. Chứngminh
2 2 2
2 2 2
4 ... ta sẽ thực hiện làm chặt một số bất ñẳng thức bằng các biến còn
thừa như ñã nói ở Lời nói ñầu.
Bài toán 5. Cho các số thực không âm a,b,c. Chứngminhbất ñẳng thức
(
)
3 2 2 2
4( ) 27
a b c...
... tin
1
MỘT PHÝÕNG PHÁP CHỨNGMINHBẤT ÐẲNG THỨC
CÓ ÐIỀU KIỆN TÍCH CÁC BIẾN BẰNG 1.
LÊ XUÂN ÐẠI
(GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Có một số bài toán bất ðẳng thức (BÐT) với n biến số ... ðó BÐT (2) ðúng
Vậy (1) ðýợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
b d
a c
.
Thí dụ 4 (IMO 2000). Cho ba số dýõng a,b,c thoả mãn abc=1. Chứngminh rằng:
1 1 1
1 1 1 1
a b ... ðúng theo BÐT Schur. Vậy bài toán ðýợc chứngminh
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Thí dụ 3. Cho bốn số a,b,c,d dýõng thoả mãn abcd=1. Chứngminh rằng:
1 1 1 1
2
a(1 b) b(1 c) c(1...