Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức A Kiến thức * Một số bất đẳng thức cần nhí: a ≥ 0; a+ ≤ b a ≥0 ;- a ≤a ≤ a a +b , dÊu " = " xảy ab Bất đẳng thức Cô - si : a, b ≥ a +b ≥ ab , dấu " = " xảy a = b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: a b = c d (a.c + b.d)2 ≤ (a2 + b2) (c2 + d2), dấu " = " xảy B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A B A - B ≥ Chó ý c¸c đẳng thức: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ≥ 0; * a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c)2 ≥ Bµi 1.1: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta lu«n cã: a x2 + y2 ≥ xy; b x2 + y2 + ≥ xy + x + y; c x4 + y4 ≥ xy3 +x3y Gi¶i: a XÐt hiƯu: x2 + y2 x − xy + y x + − xy = = (2 x − y ) ≥ 4 y2 ≥ xy 1 (b − a)(−ca − ab + ab + c abc VËy: DÊu "=" x¶y vµ chØ 2x = y ( x + y + − xy − x − y ) b x2 + y2 + - (xy + x + y) = = [ ( x − y ) + ( y −1) + ( x −1) 2 ] ≥0 VËy: x2 + y2 + ≥ xy + x + y c x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) = (x - y) VËy: x4 + y4 ≥ xy3 + x3y y 3y ( x + ) + ≥0 Bµi 1.2: Cho < a ≤ b ≤ c Chøng minh r»ng: a a b c b c a + + ≥ + + b c a a b c c b b a b a + c ≥ a + b a Gi¶i: a b c b c a + + − − − = (a c + b a + c b − b c − c a − a b) b c a a b c abc [ = (a c − b c) + (b a − a b) + (c b − c a ) abc = c( a − b ) + ab(b − a ) + c (b − a ) abc [ = = VËy: b ] ] (b − a)(−ca − cb + ab + c ) abc (b − a )(c − b)(c − a ) ≥ 0( abc v× o < a ≤ b ≤ c) a b c b c a + + ≥ + + b c a a b c c b b a + − − = (c b + b a − b c − a c ) ≥ a c a b abc ≥ (c b + b a − b c − abc ) abc [ (V× a2c ≤ abc) ] 1 (c b − b c) + (b a − abc ) = [bc(c − b) + ba (b − c)] abc abc c b b a ≥ b(+ − ≥)(c+ a) ≥ c b − abc a c a b ≥ (V× o < a ≤ b ≤ c) VËy: Bµi 1.3: Cho a < b < c < d H·y xÕp thø tù tăng dần số sau: x = (a + b) (c + d); y = (a + c) (b + d); z = (a + d) (b + c) Gi¶i: XÐt hiÖu: y - x = (a + b) (b + d) - (a + b) (c + d) = ab + ad + cb + cd - ac - ad - bc - bd = b (a - d) - c (a - d) = (a - d) (b - c) > (v× a < b < c < d) Suy ra: y > z T¬ng tù, xÐt hiÖu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > Suy ra: z > y VËy: x < y < z Bµi 1.4: Cho abc = vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng: a2 + b + c > ab + bc + ca Gi¶i a2 a2 a2 + b + c − ab − bc − ca = + + b + c − ab − bc − ca 12 a2 a2 = + b + c − ab − ca + 2bc + 12 − 3bc a = −b − c + (a − 36) > 12a (Vì abc = a3 > 36 nªn a > 0) a2 VËy: + b + c > ab + bc + ca Bµi 1.5: Cho a > b > So s¸nh hai sè x, y víi x = 1+ a 1+ b ,y = 1+ a + a + b + b2 Gi¶i: a2 1 Ta cã x,y > vµ 1 + a + a = = 1+ = 1+ = 1+ > 1+ a 1 x 1+ a 1+ a + > 1+ = a2 a2 a 1 1 11 y a2 < va + < ) b2 b2 a b b (V× a > b> nên Vậy: x < y Phơng pháp 2: Sử dụng tính Bắc Cầu: * AB => A C B≥C * ≤ x ≤ => x2 ≤ x (v× x - x2 = x (1 - x) ≥ 0) Bµi 2.1: Cho ≤ x, y, x ≤ 1, Chøng minh r»ng: a ≤ x + y + z - xy - yz - zx ≤ 1; b x2 + y2 + z2 ≤ + x2y + y2z + z2x Gi¶i: a Ta cã: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) ≥ (1) MỈt kh¸c: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = - x- y - z + xy + yz + zx - xyz ≥ 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx ≤ - xyz ≤ (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ≤ x + y + z - xy - yz - zx ≤ b Ta chøng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x ≤ Ta cã: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) ≤ ≤ x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (v× x2 ≤ x, y2 ≤ y, z2 ≤ z) ≤ x + y +z - xy - yz - zx ≤ (câu a) Bài 2.2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < Gi¶i: NÕu a ≥ th× tõ b + c ≥ suy a + b + c > 2, v« lý! VËy < a < T¬ng tù: < b < 1, < c < Ta cã: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = - a - b - c + ab + bc + ca - abc > 0, suy abc < ab + bc + ca - (v× a +b + c = 2) (1) Mµ = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + (ab + bc + ca), suy ra: ab + bc + ca = - (a + b + c ) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: (a + b + c ) => a + b + c + 2abc < 2 abc < Bµi 2.3: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i: Ta cã: (1 - a) (1 - b) = - a - b + ab > - a - b (1) Vì - c > nên: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = - a - b - c + c (a + b) > - a - b - c (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > - a - b - c VËy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > - a - b - c - d (V× d (a + b + c) > 0) Bµi 2.4: Cho ≤ a, b, c ≤ tho¶ a + b + c = Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 ≤ Giải: Cách 1: Vì a + b + c = nªn cã Ýt nhÊt mét ba sè a, b, c không nhỏ 1, giả sử a Vì a nên: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + ≤ => a (3 - a) ≥ Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc ≥ (1) VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = - (ab + bc + ca) (theo (1)) Cách 2: Vì a, b, c ≤ nªn: (2 - a) (2 - b) (2 - c) = - (a + b + c) + (ab + bc + ca) - abc ≥ Suy ra: - + (ab + bc + ca) - abc ≥ => ab + bc + ca ≥ 2+ VËy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) ≤ - = abc ≥2 Bµi 2.5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 + 4abc < Giải: áp dụng công thức Hê - rông, diện tích tam giác: S= p ( p −a )( p −b)( p −c ) , víi p = 11 − a − b − c 22 2 (a + b + c) = Do ®ã: S2 = 16S2 = (1 - 2a) (1 - 2b) (1 - 2c) = - 2a - 2b - 2c + 4ab + 4bc + 4ca - 8abc = - + (ab + bc + ca) - 8abc > Suy ra: 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca Mµ: 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) = - (a2 + b2 + c2) Nªn: 4abc + 2< - a2 - b2 - c2 => a2 + b2 + c2 + 4abc < Phơng pháp 3: Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Bài 3.1: a Víi a,b, c > Chøng minh: a b c 1 1 + + ≥ 2 + − bc ca ab a b c b Cho a ≥ c > 0, b ≥ c Chøng minh: a c ( a − c ) + c (b − c ) ≤ ab Gi¶i: a b c 1 1 + + ≥ 2 + − bc ca ab a b c a2 +b2 + c2 ≥ (bc + ac - ba) (V× abc > 0) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab ≥ (a + b - c)2 ≥ (hiển nhiên đúng) a b c 1 1 + + ≥ 2 + + bc ca ab a b c VËy: b c( a − c ) + c (b − c ) ≤ ab ( c( a − c) + c(b − c) ) ≤ ab c (a - c) + c (b - c) + 2c c - 2c (c VËy: ( a −c )(b −c ) ≤ ab ( a −c )(b −c ) + ( a −c)(b −c ) ≥ ( a − c )(b − c ) ) ≥ ( c ( a − c ) + c (b − c ) hiển nhiên đúng) ab Bài 3.2: Cho biểu thức: P= x − x + x −1 + − 4 x + 1− x − x x − x + x − x2 + x − 32 Chøng minh r»ng < P < víi mäi x ≠±1 Gi¶i: Ta cã: x4 - x3 + x - = x3 (x - 1) + (x -1) = (x - 1) (x3 +1) = (x - 1) (x + 1) (x2 - x + 1) x4 + x3 - x - = x3 (x+ 1) - (x + 1) = (x + 1) (x3 - 1) = (x + 1)( x - 1)(x2 + x + 1) x5 - x4 + x3 - x2 + x - = (x - 1)(x4 + x2 + 1) = ( x -1) (x2 +1)2 - x2) = (x -1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) P= = − − ( x −1)( x + 1)( x − x + 1) ( x −1)( x + 1)( x + x + 1) ( x −1)( x − x + 1)( x + x + 1) 3( x + x + 1) − ( x − x + 1) − 4( x + 1) 2( x − 1) = = 4 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x + x + Râ rµng P > P< 32 32 ⇔ < ⇔ < 16( x + x + 1) x + x +1 16x4 + 16x2 + > (luôn đúng) Vậy: < P< 32 Bài 3.3: Cho x > y vµ xy = Chøng minh r»ng: Gi¶i: (x2 + y )2 ≥8 ( x − y) Ta cã: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra: (x2 + y2)2 = (x - y)4 + (x -y)2 + Do ®ã: (x + y )2 ≥ ⇔ ( x − y ) + 4( x − y ) + ≥ 8( x − y ) ( x − y) (x - y)4 - (x - y)2 + ≥ (x - y- 2)2 (luôn đúng) Vậy: (x2 + y )2 ( x y) Phơng pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ * x2 + y2 ≥ /xy/ 1 + ≥ ( x , y > 0) x y x+y * x2 + y2 ≥ 2xy ≥2 x ≥ ( x , y > 0) xy ( x + y ) * ( x + y)2 ≥ 4xy * x+ * * , víi x > Bµi 4.1: Cho a, b, c ≥ vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a + 2b + c ≥ (1 - a) (1 - b) (1 - c) Giải: áp dụng bất ®¼ng thøc: 4xy ≤ (x + y)2, ta cã: (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) ≤ (1 + b)2 (1 - b) ≤ (1 + b) (1 - b2) ≤ (1 + b = a + 2b + c Dấu "=" xảy a = 2, b = 0, c = Bµi 4.2: Cho x, y > vµ x + y - z = Chøng minh rằng: x + y 16xyz Giải: áp dụng bất ®¼ng thøc: 4xy ≤ (x + y)2, ta cã: 16xyz ≤ 4z (x + y)2 (1) Ta chøng minh: 4z (x + y)2 ≤ x + y 4z ( x + y) ≤ 4z (1 + z) ≤ 4z2 + 4z + ≥ (2z + 1)2 ≥ 4z (x + y)2 ≤ x + y VËy: Tõ (1) vµ (2) suy điều phải chứng minh Bài 4.3: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: (2) 1 + a b + 1 + b c + 1 + c a ≤ a+b+c Giải: Từ (a + b)2 4ab => (1) Tơng tù: (2) ab 1 ≤ (a + b) => ≤ ( a + b) 1 a +b + a b 1 ≤ (b + c) 1 + b c 1 + c a ≤ (c + a ) (3) 1 + + ≥ a b c a+b+c Cộng (1), (2), (3) ta đợc điều phải chứng minh Bài 4.4: Cho a, b, c > Chứng minh Giải: Cách Ta có: (a + b + c) a a b b c c 1 1 + + = 1+ + + +1+ + + +1 b c a c a b a b c a b a c b c = 3+ + + + + + ≥ b a c a c b (V× a b + ≥ 2; a + c ≥ 2; b + c ≥ 2; b a +1+1≥ a c c b Suy ra: a b c a + b + c Cách 2: áp dụng bất đẳng thøc C« - si: a+b+c≥3 abc 33 1 abc + + ≥ a b c Suy ra: ( a + b + c) + + ≥ ⇒ + + ≥ a b c a+b+c a b c Bài 4.5: Hai số dơng a, b tho¶ m·n ab > a + b Chøng minh r»ng a + b > a Gi¶i: Tõ ab > a + b => a > + bvµ b > + a+b>2+ a b + ≥4⇒ b a (v× b asuy a b + ≥ 2) b a Bµi 4.6: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chøng minh r»ng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p a p b p c a b c Giải: áp dụng bất đẳng thức: 1 + ( x, y > 0); x y x+y Ta cã: 1 4 + ≥ = ; p − a p −b p − a −b c 2 1 + ≥ ; p b b p 11 c a 1 −1 −c a x + + + + + ≥≥≥+ d + (2 , y > 0) b( x + y) ≥ + c xy p − a + cp c cb p − − c d a b b b p−− +dpa + a a+ Do ®ã: Suy ra: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p −c a b c Bµi 4.7: Cho sè d¬ng a, b, c, d Chøng minh r»ng: a b c d + + + ≥ b+c c+d a+d a+b Giải: áp dụng bất đẳng thức: ≥ ( x , y > 0) , xy ( x + y ) ta cã: a c a( d + a) + c(b + c ) a + c + ad + bc + = ≥ b+c d +a (b + c)(d + a) (a + b + c + d ) (1) b d b ( a + b ) + d (c + d ) b + d + ab + cd + = ≥ c+d a+b (c + d )(a + b) (a + b + c + d ) (2) LÊy (1) céng (2) vÕ theo vế ta đợc: a b c d a + b + c + d + ad + bc + ab + cd + = + ≥ b+c c+d d +a a+b (a + b + c+ d ) Ta chøng minh: 4(a + b + c + d + ad + bc + ab + cd ) ≥2 (a + b + c + d ) (3) ThËt vËy: (3) (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd ≥ (a - c)2 + (b - d)2 ≥ (đpcm) Bài 4.8 Cho hai số dơng a, b vµ a + b = Chøng minh r»ng: 1 + ≥6 ab a + b Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta cã: ab ≤ 1 ⇒ ≥4 ab 10 áp dụng bất đẳng thức: 1 + ≥ x y x+y víi x, y > 0, ta cã: 1 1 + = + + ≥ 2+ =6 2 ab a + b 2ab 2ab a + b ( a + b) DÊu "=" x¶y vµ chØ a = b = Bµi 4.9 Cho a, b, c, d > Chøng minh r»ng: Gi¶i: cã: a+c b+d c+a d +b + + + ≥4 a+b b bb+d c+d a d d a b +c ++ a+ c+ a +b + b +c + c+d + d +a ≥4 a+c b+ d c+ a d +b a+c c+ a b+ d d +b + + + = + + + a + a + b + d + cc + c + dd + d + a a + a + b + c + d b + d + cd + d + a b b b a b c c a b b + + + = + + + a + b b +c c + d d + a a + b c + d b + c d + a (a + c)(a + b + c+ d ) (b + d ) + (a + b + c+ d ) + (a + b)(c + d ) (b +c)(d + a ) áp dụng bất đẳng thức: ≥ xy ( x + y ) Ta = , ta cã: (a + c )(a + b + c+ d ) (b + d ) + (a + b + c+ d ) + ≥ (a + b)(c + d ) (b +c)(d + a) ≥ 4(a + c)(a + b + c+ d ) 4(b + d ).(a + b + c+ d ) + =4 (a + b + c + d ) ( a +b + c + d ) (đpcm) Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Bài 5.1: Cho sè d¬ng a, b, c nhá h¬n Chøng minh có bất đẳng thức sau lµ sai: a(2 - a) > ; b(2 - b) > ; c( - c) > Giải: Giả sử bất đẳng thức đúng, nhân ba bất đẳng thức lại ta đợc: a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > (1) Mµ < a (2 - a) = 2a - a2 = - (a - 1)2 ≤ T¬ng tù: 0< b(2 - b) ≤ < c(2 - c) ≤ 1, suy ra: abc (2 - a) (2 - b) (2 - c) ≤ M©u thn víi (1) VËy cã Ýt nhÊt mét bất đẳng thức đà cho sai: Bài 5.2: Cho số tự nhiên khác nhỏ 108 Chứng minh chọn đợc ba số chẳng hạn a, b, c cho a < bc, b < ca, c < ab 11 Giải: Giả sử số tự nhiên khác ≤ a1 < a2 < < a6 < 108 Râ rµng a2 ≥ 2, a3 ≥ Víi sè x, y, z tho¶ m·n ≤ x < y < z ta lu«n cã x < yz y < zx Nếu số a1, a2, , a6 số a, b, c thoả mÃn a < b < c c < ab th× ta cã: a4 ≥ a2a3 = 6, a5 ≥ a4a3 ≥ 6.3 = 18, a6 ≥ a5a4 ≥ 18.6 = 108, trái với giả thiết a6 < 108 VËy ph¶i cã sè a, b, c tho¶ a < bc, b < ca, c < ab Bµi 5.3: Cho x, y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng nÕu x + y + z > 1 + + x y z th× cã mét vµ chØ mét ba sè x, y, z lín Giải: Ta có (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - =x+y+zSuy ra: 1 − − x y z (v× xyz = 1) (x - 1) (y - 1) (z - 1) > Trong ba sè x - 1, y - 1, z - cã mét vµ chØ số dơng Thật vậy, số dơng x, y, z > Khi xyz > 1, vô lý! Vậy có mét ba sè x, y, z lín h¬n Bµi 5.4: Cho a, b, c, d > Chøng minh đồng thời xảy bất ®¼ng thøc sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab Giải: Giả sử xảy đồng thời bất đẳng thức Từ hai bất đẳng thức đầu ta cã: (a + b)2 < (a + b) (c + d) < ab +cd => cd > (a + b)2 - ab ≥ 3ab => cd > 3ab (1) MỈt kh¸c, ta cã: (a + b) cd < (c + d) ab => (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd ≤ (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vô lý! Vậy ta có điều phải chứng minh Phơng pháp 6: Phơng pháp làm trội 12 a a, b > b a a+c < b b+c ak - 1) => 1 < − ka k a k −1 a k k ( v× ak - ak - = ) Do ®ã: 1 1 1 1 + + + < + − + − + + a a a a − a = a1 2a na n n a3 n −1 =1+ 1 − =2− a k > a k −1 ; 2k − a − a k −1 1 1 < = k = − a k −1 a k a k −1 a k (2k − 1) a k (2k − 1) a k −1 a k Do ®ã: 1 1 1 + + S ≥ 4(1 + x ) + x + x + x ≥ (1 + x ) + x + x + x + VËy: S ≥ (®pcm) ≥ ( ) + x2 + 2x + ≥ 3 Bµi 7.2: Cho a, b c > tho¶ abc 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c ≤ Chøng minh r»ng: Gi¶i: Ta cã: 1 b c ≥1 − +1 − = + 1+ a 1+b 1+ c 1+b 1+ c ¸p dụng bất đẳng thức Cô - Si: bc +a (1+b)(1 +c ) 15 ac ≥2 ; +b (1+a )(1 +c) T¬ng tù: ac +b (1+ a )(1 +b) Nhân lại ta đợc: 8abc => abc (1 + a )( +b)(1 + c ) (1 + a )(1 + b)(1 + c) (đpcm) Bài 7.3: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: 1 a+b+c + + ≤ 2abc a + b b + ac c + ab Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có: a2 + bc ≥ 2a b2 + ac ≥ 2b ac; c2 + ab ≥ 2c Suy ra: bc; ab; 1 1 + + ≤ + + a + bc b + ac c + ab 2a bc 2b ac 2c ab ≤ ab + bc + ca abc a +b b + c c + a + + 2 = a+b+c abc 2abc Phơng pháp 8: Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 (a1b1 + + a n bn ) ≤ (a12 + + a n )(b12 + + bn ) Bµi 8.1: Cho x, y, z tho¶ x (x -1) + y(y - 1) + z (z - 1) ≤ Chứng minh rằng: x+y+z4 16 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: (1.x + 1.y + 1.z)2 ≤ (12 + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 ≤ (x2 + y2 + z2) Suy ra: Theo gi¶ thiÕt, ta cã: x2 + y2 + z2 - (x + y + z) ≤ (x Tõ ®ã suy ra: + y + z)2 - (x+ y + z) ≤ S2 - 3S - ≤ (Víi S = x + y + z) (S + 1) (S - 4) ≤ - ≤ S ≤ VËy: x + y + z ≤ Bài 8.2: Giả sử phơng trình x2 + ax + b = cã nghiÖm x0 Chøng minh x0 < + a + b r»ng: Giải: x0 nghiệm phơng trình x2 + ax + b = nªn ta cã: x0 + ax + b = ⇒ x0 = (a.x0 + 1.b) ≤ (a + b )( x0 + 1) ⇒ a2 + b2 ≥ x04 x4 − 1 = 02 + > x02 − x0 + x − x + ⇒ x0 < + a + b Bài 8.3: Cho tam giác ABC điểm Q tam giác Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC M cắt BC N Qua Q kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB F cắt BC E Qua Q kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AC P c¾t AB ë R Ký hiƯu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) vµ S = dt (ABC) Chøng minh r»ng: a b S = ( S1 + S + S ) Gi¶i: S1 + S + S ≥ S a Ta cã ∆QMP ∼ ∆BAC (Tû sè MP ) AC , suy ra: S1 MP = ⇒ S AC S1 S = S QE PC = = S AC AC MP AC 17 Tơng tự: Suy ra: Do đó: Suy ra: S2 S = S2 PC PC S AM => = ; = AC S AC AC S S1 + S + S MP +PC + AM S = SS + S + =S => S = AC ( AC S1 += S + =S AC ) b ¸p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: S= S1 +1 S +1 S ) ≤(12 Suy ra: S1 + S2 + S3 ≥ + 12 +12)(S1 +S2 + S3) DÊu "=" x¶y vµ chØ khi: S1 = S2 = S3 Q trọng tâm ABC Phơng pháp 9: Phơng pháp chứng minh quy nạp Để chứng minh bất đẳng thức víi n ≥ n0 ta thùc hiƯn c¸c bíc sau: a Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 b Giả sử bất đẳng thức với n = k c Ta chứng minh bất đẳng thức víi n = k + Bµi 9.1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ ta cã: 1 13 + + + > n +1 n + 2n 24 Gi¶i: Víi n = 2, ta cã: 1 13 14 13 + > > 24 24 24 (®óng) Gi¶ sư víi n = k, ta cã: 1 13 13 + + + > > k +1 k + 2k 2k 24 Ta ph¶i chøng minh: ThËt vËy, ta cã: 1 13 + + + > k +1 k + 2k + 24 1 + + + = k +2 k +3 2k + 1 1 = + + + + − + 2k 2k + 2k + k + k +1 k + 2n −1 ≤ 2n 3n +1 18 > 13 1 13 + + − = 24 2k + 2k + k + 24 Vậy bất đẳng thức với n=k +1,do bất ®¼ng høc ®óng víi mäi n ≥ víi n N, n Bài 9.2: Chứng minh rằng: Giải: Với n = 1; Ta cã Gi¶ sư: 1 = (®óng) 2 2k −1 ≤ 2k Ta cÇn chøng minh: Ta cã: 3k +1 k +1 ≤ 2k + 3k + k + 1 k −1 k + = ≤ 2k + 2 2k 2k + Ta cÇn chøng minh: ThËt vËy: (1) 2k + ≤ 3k + 2k + 2k +1 2k + 3k +1 3k + (1) 3k + 2k + ≤ 3k + 2k + (2k + 1)2 (3k + 4) ≤ (2k + 2)2 (3k + 1) k (đúng) Vậy bất đẳng thức víi mäi n ≥ 19 20 ... cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Bài 3.1: a Với a,b, c > Chøng minh: a b c 1 1 + + ≥ 2 + − bc ca ab a b c b Cho a ≥ c > 0, b ≥ c Chøng minh: a c... Phơng pháp chứng minh quy nạp Để chứng minh bất đẳng thức với n n0 ta thùc hiƯn c¸c bíc sau: a KiĨm tra bất đẳng thức với n = n0 b Giả sử bất đẳng thức với n = k c Ta chứng minh bất đẳng thức... 9.2: Chứng minh rằng: Giải: Với n = 1; Ta có Giả sử: 1 = (đúng) 2 2k −1 ≤ 2k Ta cÇn chøng minh: Ta cã: 3k +1 k +1 ≤ 2k + 3k + k + 1 k −1 k + = ≤ 2k + 2 2k 2k + Ta cÇn chøng minh: ThËt