MON TOÁN 9 M THÀNH

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH Môn : TOÁN – Lớp  Thời gian làm : 150 phút ĐỀ ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,0 ®iĨm) a) Tính tổng: S  1 11 111  111 111 14 43 n ch� � so� b) Cho S = abc  bca cab Chứng minh S số phơng Baứi (4.0 ủieồm) a b c a2 b2 c2      0 a) Cho Chứng minh : bc c a a b bc ca ab b) Giải biện luâän phương trình : x  x   m x Bài ( 4.0 điểm ) a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = x 2 + 5 x b) Chứng minh : Nếu a,b,c,d số không âm : �a  b  c  d � � ��abcd � � Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho  ABC, O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA AB lần lược P, Q R Chứng minh rằng: OA OB OC   �3 OP OQ OR Bài 5: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân C Cho biết k ( k � 1) Vẽ phân giác CM, AN BP Chứng minh rằng: a) b) S ABC ( k  ) S MNP k S ABC SMNP < -Heát - AC = AB PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH 2014-2015  ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC Môn : TOÁN – Lớp Nội dung Bài Nhân hai vế cho 9, ta có: 9S   99  999   999 999 14 43 Ñieå m 0,5 n ch� � so� Hay 9S = (101 -1) + (10 -1) + (103 -1) +… + (10n -1) = 101 + 102 + 103 + … +10n - n = 1+ 101 + 102 + 103 + … +10n - (n + 1) ( 10n   10  1)(10  1) =  (n  1) 10  1 10n1  10n 1  9n  10 (4,0đ =  (n  1)  ) 9 n 1 10  9n  10 Do S  81 1,5 0,5 c) S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c) 37 Mặt khác( 3; 37) 1,5 Vì < a+b+c �27 nªn a+b+c M =1 nªn 3(a+b+c) M37 => S số phơng a b c    với a + b + c , a) Nhân hai vế (4,0đ bc ca ab ) ta : a  a (b  c) b  b(c  a) c  c(a  b)   = a+b+c bc ca ab a2 b2 c2 => a b c = a + b + c 2,0đ bc ca ab a2 b2 c2 Vaäy   0 bc c a a b b) Vì x  x  �0 neân –m 2x �0 � x � => 2x – < => x  = – 2x Vaäy x  x   x  x   x    x � �  x  m2 x (4  m ) x  � Ta có : � � �x �0 �x �0 - Nếu - m2 = hay m = 0x = Vô nghiệm �0 � - m2 < - Nếu m � x = 4m � ( + m )( – m) < � m < -2 hoaëc m > * Kết luận: 2,0đ - Với -2 �m �2 phương trình vô nghiệm - Với m < -2 m > phương trình có  m2 a) Điều kiện: � x � p dụng bất đẳng thức nghiệm x =  Bunhiacôpxki , ta có: x    x  � 2  82   x    x  Hay A2 �300 => A �10 Dấu “ = ” xãy :  x  x  36(5 – x ) = 64(x – 2) � x = � 2,0đ 77 ( TMÑK) 25 77 25 a  b � a b Vậy giá trị lớn A 10 x = Mặt khác : Với a � , b � 0, ta có Dấu “ = ” xãy a.b = Do : A = 6( x    x )   x �6 x    x Hay A � 3 (4,0đ ) Daáu “ = ” xãy : 2,0đ � � x   x  � 5 x  � x  � �5 x  Vậy giá trị nhỏ A laø x = b) p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không �a  b c  d  �a  b  c  d � � 2 � � � � � � � aâm, �2 � � � ta coù: ab cd � � � � Daáu “  = abcd ”  4 � � � ab  cd � � ��� � �� � � � �  abcd 2,0đ xãy : � ab � cd � a b c d � � � ab  cd (3,5 đ) Vẽ hình lập luận được: 0,25 A Q R O B P C Đặt SBOC = x2 , Đặt SCOA = y2 , Đặt SAOB = z2 � SABC = x2 + y2 + z2 0,25 AP S ABC x2  y2  z   OP S BOC x2 Ta coù: AO y2  z2 � 11 OP x2 AO y2  z2 �  OP x2 OA  OP � 1,0 y2  z2 x 0,5 Chứng minh tương tự, ta có: OB  OQ Suy ra: yz  2.x y � ( x � z  x2 y z x y OA OB OC y2  z2   = + OP OQ OR x zx x y  y 2.z z z x x y      )� 3 x y y z z 2 1,0 + x y z 2 0,5 OA OB OC   �3 OP OQ OR Vậy: (4.5 đ) x2  y z OC  OR ; Vẽ hình lập luận được: C N P A M B a) Đặt: SABC = S; SCPN = S1; SAMP = S2; SBMN = S3 � SMNP = S – S1 – S2 – S3 Vì AN phân giác: 1,0 NC AC  k NB AB CB � = k+1 BN Ta coù:  CPN 0, � vaø CN k  BC k   ABC 2 �k � S PNC S �CN � � k � �   � �  � � � S1 = � �.S S ABC S �CB � �k  � �k  � sMBN BN   Ta có: S MBC BC k 1 Mặt khác:  APM =  BMN (c-g-c) S APM  S BMN S �  � SAPM + SBMN = k 1 S ABC k 1 � SBMN S �k � = S - � �.S = k 1 �k  � k k  1 S 0,5 0,5 0,5 0,5 S ABC  k  1  S MNP k � b) Ta coù: ( k  ) k k  � Dấu “=” xảy k khi: k = Bởi k � � � ( k  ) > k k  k Do đó: 0,5 0,5 >2 S ABC > S MNP � SMNP < S ABC Ghi chú: - Mọi cách giải đúng, phù hợp ghi điểm tối đa - Điểm làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ... GD-ĐT PHÙ M? ?? TRƯỜNG THCS M? ?? THÀNH 2014-2015  ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐI? ?M ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI N? ?M HỌC M? ?n : TOÁN – Lớp Nội dung Bài Nhân hai vế cho 9, ta có: 9S   99  99 9   99 9 99 9 14 43 Điể m 0,5... � x = 4? ?m � ( + m )( – m) < � m < -2 m > * Kết luận: 2,0đ - Với -2 ? ?m �2 phương trình vô nghi? ?m - Với m < -2 m > phương trình có  m2 a) Điều kiện: � x � p dụng bất đẳng thức nghi? ?m x =  Bunhiacôpxki... � �.S S ABC S �CB � �k  � �k  � sMBN BN   Ta coù: S MBC BC k 1 M? ??t khác:  APM =  BMN (c-g-c) S APM  S BMN S �  � SAPM + SBMN = k 1 S ABC k 1 � SBMN S �k � = S - � �.S = k 1 �k  �