Môn ToánBD

PHỊNG GD- ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS TT BÌNH DƯƠNG ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2014-2015 MƠN TỐN- Thời gian làm 150 phút Bài 1: (5.0 điểm) a) (2.5 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng b) (2.5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y = 1960 Bài 2: (4.0 điểm) a) (2.0 điểm) Giải phương trình x + − x + + x + 11 − x + = b) (2.0 điểm) T = 1+ 1 1 1 1 + + + + + + + + + 1+ + 2 2 3 2012 2013 2013 20142 Chứng minh T < 2013 Bài 2: (3.0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca + + c + ab a + bc b + ca Bài 3: (3.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (5.0 điểm) Cho tứ giác ABCD, gọi I giao điểm hai đường chéo Kí hiệu S1 = S ∆AIB ; S = S ∆CID ; S = S ABCD a Chứng Minh: S1 + S ≤ S b Khi tứ giác ABCD hình thang hệ thức xảy nào? HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MƠN TỐN NĂM HỌC 2014-2015 BÀI Bài (5,0 điểm) ĐÁP ÁN Gọi a, b, c ba số ngun tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c ⇔ bc -b - c + = ⇔ (b-1)(c-1) = b,c số nguyên dương có vai trị nên ta có hệ: b − = b = ⇔  c − = c = b − = b = ⇔  c − = c = Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x + y = 1960 ⇔ x + y = 14 10 Vế phải PT số vơ tỉ Do x , y số vô tỉ phải đồng dạng với 10 Tức là: x = a 10; y = b 10 (a, b ≥ 0; a, b ∈ Z ) ⇒ a + b =14 Có 15 giá trị a = 0, 1, 2, , 14 tương tự với 15 giá trị b =14, 13, , 1, nên toán cho có 15 nghiệm a) ĐKXĐ: x ≥ -2 x+6−4 x+2 + BIỂU ĐIỂM 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ x + 11 − x + = ⇔ ( x + − 2) + ( x + − 3) = ⇔| x + − | + | x + -3| = ⇔ | x + − | + | - x + 2| = Áp dụng BĐT |A|+ |B| ≥ | A + B| ta có: | x + − | + | - x + | ≥ Dấu "=" xảy : ( x + − )( - x + ) ≥ ⇔ ≤ x + ≤ 3⇔ 2≤ x ≤ Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { x / ≤ x ≤ 7} Bài (4,0 điểm) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) Xét số hạng tổng quát: n ( n + 1) + ( n + 1) + n 1 An = + + = n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + = Suy ra: n ( n + 1) An = n ( n + 1) + n ( n + 1)  n ( n + 1) + 1 = 2 n ( n + 1) = 1+ 1 − n n +1 0,5 đ Cho n lấy giá trị từ đến 2013 ta được: 1   1   1  1  T =  + − ÷+ 1 + − ÷+ + 1 + − − ÷+ 1 + ÷  3  4  2012 2013   2013 2014  1 = 2012 + − 2014 Suy T < 2013 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Có: a + b + c = ⇒ c = ( a + b + c ) c = ac + bc + c ⇒ c + ab = ac + bc + c + ab = a (c + b ) + c (b + c ) = (c + a )(c + b) Bài (3,0 diểm) a b + ab ab ⇒ = ≤ c+a c+b c + ab (c + a )(c + b) a + bc = (a + b)(a + c) Tương tự: b + ca = (b + c)(b + a ) b c + bc bc ⇒ = ≤ a+b a+c a + bc (a + b)(a + c ) 0,5 đ 0,5 đ c a + ca ca = ≤ b+c b+a b + ca (b + c )(b + a ) a b b c c a + + + + + ⇒ P ≤ c+a c+b a+b a+c b+c b+a = a+c c+b b+a + + = a+c c+b b+a = 2 Dấu “=” xảy a = b = c = 3 Từ giá trị lớn P đạt a = b = c = A M H 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25 đ B O Q D Bài (3,0 điểm) C N -Vẽ hình P a/ Chứng tỏ MBND hình bình hành ⇒ O trung điểm MN - OH // AB ⇒ OH ⊥ MN - ⇒∆HMN cân H ⇒ HM = HN HQ OQ = HM OB OQ NQ = - ON // BP được: OB NP HQ NQ = ⇒ ⇒ NH//PM HM NP · · · · ⇒ HNM ⇒ HMN ⇒ MN phân giác góc QMP = NMP = NMP b/ OH // BM được: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài (5,0 điểm) - Vẽ hình Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID B Kẻ AH ⊥ BD; CK ⊥ BD AH BI Ta có: S AID = AH DI A SCID = CK DI S BIC = CK BI S S1 BI BI => = (1) ; = (2) S DI S DI S1 S3 = ⇔ S1.S2 = S3 S (3) Từ (1) (2) suy ra: S4 S2 0.25đ S AIB = Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 Từ (3) (4) ta suy ra: H C I K D 0.5đ ≥ S1 + S2 + S3 S (4) S ≥ S1 + S + S1.S = ( S1 + S ) ⇔ S ≥ S1 + S ⇒ S = S1 + S S * Nếu BC//AD ta có: SABC = SCAD Suy ra: S = S ⇒ ≥ S1 = S 2 S Dấu xảy khi: S1 = S = S = S = ⇔ ABCD hình bình hành (Mọi cách giải khác lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa) 0.5đ 0.5đ 0.25đ b Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét: * Nếu AB //CD ta có: SACD = SBCD suy ra: S = S 1,0đ 0,75đ 0,75đ 0.5đ