PHÒNG GD&ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ HÒA ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN- NĂM HỌC: 2014-2015 Mơn: Tốn - lớp Thời gian làm bài: 150 phút Đề đề xuất Ngày thi: – 11 – 2014 Câu 1: ( điểm ) Chứng minh : Tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương 29 12 = cotg45 Câu : (2điểm ) Chứng minh đẳng thức: Câu : ( điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= 3x x x2 x Câu 4: (3 điểm ) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (x + y ) +16 = 3xy Câu 5: ( điểm ) Chứng minh : 12112 22112 32112 21122112 chia hết cho 11 Câu : (4 điểm ) Với giá trị a , b x3 ax x b chia hết cho x x Câu : ( điểm ) � 300 Trên tia Px lấy điểm A tia Py lấy điểm B cho AB = d Cho xPy khơng đổi Tìm giá trị lớn chu vi tam giác PAB , diện tích tam giác PAB A , B di động cạnh góc xPy ……………………………………………………………………………… PHỊNG GD&ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ HÒA Câu Câu : ( 2điểm ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN- NĂM HỌC: 2014-2015 Mơn: Tốn - Lớp Đáp án Điểm Gọi n số tự nhiên , Biến đổi n(n+1 )( n+2 )( n+3 ) + = n 6n3 11n 6n = n n n3 n = n 3n 1 Là số phương Câu : ( 2điểm ) Câu : ( 2điểm ) 29 12 3 2 3 62 5 1 ( điểm ) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ =1 = cotg450 Đặt x-1 = y � x = y +1 3( y 1) 8( y 1) y2 =3 y y Tiếp tục đặt z y Ta có : A (0.5điểm ) Thì : A z z z 1 �2 Min A = � z � y � x 2 Câu : (3 điểm ) (1 điểm ) (1 điểm ) (0.5điểm ) ( điểm ) (x+y ) +16 = 3xy � 3xy -2x -2y = 16 � y ( 3x -2 ) - (3 x 2) 16 3 � ( 3x -2 )( 3y -2 ) = 52 y � 3x y Giả sử x � Mặt khác 52 =1.52 =2.26 = 4.13 Nên ta có hệ phương trình 3x � � y 52 � 3x � � y 26 � 3x � � y 13 � Giải HPT ta : (1;18 ) ; (18 ; 1); (2 ; 5) ; (5 ; ) Câu : ( 3điểm ) Theo định lý fec ma a11 �a(mod11) (2 điểm ) a mod11 (1 điểm ) Vậy tổng cho chia hết cho 11 ( điểm ) a 2112 � 12112 22112 32112 21122112 �1 2112 �mod11 �0 mod11 Câu : (4điểm ) Chia đa thức x3 ax x b cho x x thương nhị thức x +(a – ) dư (2 – a )x + b +1 – a Phép chia hết đa thức dư đồng thời ( điểm ) �2 a b 1 a � Tương đương hệ phương trình � ( 2điểm ) �a Giải hệ ta � b 1 � Câu : (4 điểm ) Trong tam giác vuông AHP có � APH 300 � AH PA PA; PA (1) 2 Ap dụng định lý pitago cho tam giác vng AHB ta có AB AH HB 2 2 Từ : d AH PB PH 2 Từ (1) &(2) có d PA PB 3PA.PB PA PB PA.PB 3 Tìm giá trị lớn chu vi PAB Từ (3) , áp dụng BĐT ( X+Y) �4XY , ta d � PA PB 2 PA PB � PA PB � 2d 2 hayPA PB � d Gọi p chu vi tam giác PAB p � d Đẳng thức xảy PA PB 6 2 d Vậy giá trị lớn chu vi tam giác PAB ( điểm ) d ,đạt �6 2� PA PB � d � � � � � Tìm giá trị lớn diện tích tam giác PAB 1 AH PB PA.PB 2 Vì PA PB �2 PA.PB nên từ (3) ta có d PA2 PB 3PA.PB � PA.PB Ta có S PAB Từ (4) & (5) �S PAB d2 2 Đẳng thức xảy hayS PAB 3 d �6 2� PA PB � d � � � � � 3 d Do giá trị lớn diện tích tam giác PAB đạt , �6 2� PA PB � d � � � � � Ghi : Mọi cách giải khác đạt điểm tối đa cho câu , ( điểm )