PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN PHÙ MỸ NĂM HỌC 2014 -2015 MƠN : Tốn Thời gian làm 150 phút Đề đề xuất Bài 1: ( 3,0 điểm) a Cho hai số tự nhiên a, b cho a.b = 19911992 Hỏi tổng a + b chia hết cho 1992 khơng? Tại sao? b Chứng minh số A = + 1919 + 93199 + 19931994 khơng phải số phương Bài 2:( 4,0 điểm) a Cho x= +1 − 1 − +1 + Tính giá trị biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2014 b Giải phương trình: 12x + 13 − 4x + 13 = x + Bài 3: ( 3,0 điểm) Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z+y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P= z4 + z4 x + y4 ( ) Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = Chứng minh: a3 b3 c3 + + ≥ ( 1+ b) ( + c) ( + c) ( + a ) ( + a ) ( + b ) Bài 5: ( 3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx 15 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N Chứng minh: 1 + = 2 AM AN AB Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, hai cạnh AB AD lấy hai điểm di động E F cho: AE + EF + FA = 2a a) Chứng tỏ đường thẳng EF ln tiếp xúc với đường trịn cố định b) Tìm vị trí E F cho diện tích tam giác CEF lớn …… ………….Hết………………… PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC: 2014 – 2015 Bài Đáp án Biểu điểm 0,25 điểm a) Ta có: a.b = 19911992 = 111992.1811992 (3,0 điểm) a = 11k.181h ⇒ ( k, h ∈ N ) 1992 − k 1811992−h b = 11 181h ≡ 1811992−h ≡ 1( mod 3) 0,5 điểm * Nếu k chẵn thì: 0,5 điểm 11 ≡ 1( mod 3) k 1992 − k ≡ 1( mod 3) 1992 - k chẵn ⇒ 11 Suy ra: a + b ≡ ( mod 3) ⇒ ( a + b ) không chia hết cho 1992 * Nếu k lẻ thì: 0,5 điểm 11 ≡ ( mod 3) k 1992 − k ≡ ( mod 3) 1992 - k lẻ ⇒ 11 Suy ra: a + b ≡ 1( mod 3) ⇒ (a + b) không chia hết cho 1992 Vậy: (a + b) không chia hết cho 1992 b Ta có: 0,25 điểm 19 ≡ −1( mod ) 1993 ≡ 1( mod ) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Suy ra: A = - + + = 2(mod4) Vậy A số phương 0,25 điểm 93 ≡ 1( mod ) (4,0 điểm) a Ta có x= 1 − +1 − +1 + 2 +1 +1 − = +1 +1 0,5 điểm +1−1 = 2 = 0,5 điểm Ta lại có: A = (x – x – x2 + 2x – 1)2014 = ( x − 1) ( x − x + 1) Thay x = A= ( 2014 vào A, ta được: )( 0,5 điểm ) −1 2 − +1 2014 = ( )( −1 ) +1 2014 0,5 điểm = 12014 = b Điều kiện: x ≥ −1 Nhân vế phương trình với biểu thức liên hợp vế trái ta được: ( 12x + 13 − 4x + 13 ⇔ 8x = x + ( )( ) 12x + 13 + 4x + 13 = x + ) ( 12x + 13 + 4x + 13 12x + 13 + 4x + 13 ( *) ) 0,5 điểm Từ 12x + 13 − 4x + 13 = x + suy x +1 = ( 12x + 13 − 4x + 13 ) x + ( **) 0,5 điểm Trừ vế phương trình (*) (**) ta được: 7x − = ( x + 1) ( 4x + 13 ) 0,25 điểm x≥ x≥ ⇔ ⇔ ( 7x − 1) = ( x + 1) ( 4x + 13) 33x − 82x − 51 = x≥ ⇔ ⇔ x=3 − 17 x = 3; x = 33 Vậy phương trình có nghiệm x = z4 = 4 Ta có: 1+ z x + y + x + y4 z 2 2 2 (3,0 điểm) Từ xy z + x z+y = 3z ⇒ xy + x z + y z = Đặt = t , ta thu toán sau: z P= ( ) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm " Với x, y, t số dương thỏa mãn xy2 + yt2 + tx2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = " x + y4 + t 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô -si cho bốn số dương, ta có: x + y + y + ≥ 4xy 4 y + t + t + ≥ 4yt t + x + x + ≥ 4tx ( ) 0,75 điểm ( ) ⇒ x + y + t + ≥ xy + yt + tx = 12 ⇒ x + y4 + t ≥ 1 ⇒ ≤ 4 x +y +t Vậy Pmax = đạt x = y = z = Áp dụng bất đẳng thức Cơ -si cho ba số dương, ta có: 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (3,0 điểm) a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c + + ≥ 33 = a ( 1+ b) ( + c) (1+ b) (1+ c) 8 0,5 điểm Tương tự: 0,5 điểm b3 1+ c 1+ a + + ≥ b ( 1+ c) ( 1+ a ) 0,5 điểm c3 1+ a 1+ b + + ≥ c ( 1+ a ) ( 1+ b) Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 0,5 điểm a3 b3 c3 3 + + + ( a + b + c) + ≥ ( a + b + c) 4 ( + b) ( + c) ( 1+ c) ( + a ) ( + a ) ( + b ) ⇒ điểm a3 b3 c3 3 0,75 + + ≥ ( a + b + c ) − ≥ abc − = 4 ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ c) ( 1+ a ) ( 1+ a ) ( 1+ b) 0,25 điểm Đẳng thức xảy a = b = c = Từ A kẻ AH vng góc với CD ( H thuộc CD) (3,0 điểm) ∧ Trên cạnh DC lấy điểm E cho góc DAE 150, suy NAE = 900 ⇒ ∆DAE = ∆BAM (g.c.g) ⇒ AE =AM Xét tam giác EAN vng A, đường cao AH, ta có: 1 + = 2 AE AN AH 1 + = suy ra: 2 AM AN AH 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (1) Xét tam giác ADC, đường cao AH, ta có: AH2 = AD = 0,5 điểm AB (2) 0,5 điểm 1 + = Từ (1), (2) suy 2 AM AN AB A E B K (4,0 điểm) F D C L a Hạ CK ⊥ EF Trên tia đối tia BA lấy điểm L cho BL = DF Ta có: ∆BCL = ∆DCF(c.g.c) ⇒ CL = CF 0,5 điểm Mặt khác: AE + EF + FA = 2a ⇒ EF = 2a - AE - AF = AB + AD - AE - AF = BE + DF Mà DF = BL ⇒ EF = BE + BL = EL · · Suy ∆CEF=∆CEL(c.c.c) ⇒ CEF = CEL Do đó: ∆ECK = ∆ECB ⇒ CK = BC = a không đổi Vậy EF ln tiếp xúc với đường trịn (C; a) cố định b Ta có: SBEC = SCEK ;SDFC = SKFC ⇒ SBEC + SDFC = SCEF Suy ra: 2SCEF = SABCD − SAEF 1 ⇒ SCEF = a − SAEF ≤ a 2 E Dấu "=" xảy ≡ A F ≡ D E ≡ B F ≡ A Do đó: Khi E ≡ A F ≡ D E ≡ B F ≡ A SCEF đạt giá trị lớn a ( ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm Chú ý: Mọi cách làm khác lập luận chặt chẽ tính điểm tối đa theo biểu điểm bài, câu ...PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC: 2014 – 2015 Bài Đáp án Biểu điểm 0,25 điểm a) Ta có: a.b = 19911992 = 111992.1811992... 1+ z x + y + x + y4 z 2 2 2 (3,0 điểm) Từ xy z + x z+y = 3z ⇒ xy + x z + y z = Đặt = t , ta thu toán sau: z P= ( ) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm " Với x, y, t số dương