ĐỀ 1Câu 1. ( 2,0 điểm)Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.Câu 2. ( 1,0 điểm)Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27.Câu 3. ( 1,5 điểm)Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.Câu 4. ( 1,0 điểm)Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyêntố.Câu 5. ( 1,5 điểm)a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n 1) với (n €N). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố ùngnhau.b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đótrong khoảng từ 300 đến 440.Câu 6. ( 1,0 điểm)Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x y = 6.Câu 7. ( 2,0 điểm)Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D saocho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.a. Tính BD.b. Biết BCD ,BCA .TínhACD 850 500 .c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK. Toancap2.com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số ngun II TÍNH CHẤT: 1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có chữ tận 2, 3, 7, 2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3 Số phương có hai dạng 4n 4n+1 Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n � N) 4 Số phương có hai dạng 3n 3n +1 Khơng có số phương có dạng 3n + (n � N) 5 Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6 Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phương Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x xy y )( x xy y ) y Đặt x xy y t (t �Z ) A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y ) Vì x, y, z � Z nên x �Z , xy �Z , y �Z � x xy y �Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 (n � Z) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n2 3n)(n2 3n 2) () Đặt n 3n t (t �N ) () = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Toancap2.com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vì n � N nên n2 + 3n + � N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chứng minh 4S + số phương Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = = 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) (k 3) (k 1) 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2)(k 1) 4 => 4S =1.2.3.4 0.1.2.3 + 2.3.4.5 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k(k + 1)(k + 2)(k 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trước đứng sau Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44 488 89 = 44 488 + =
TUYỂN TẬP 100 ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP ĐỀ SỐ Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số abc , biết rằng: b = ac abc − cba = 495 1978.1979 + 1980.21 + 1958 Bài 2: a)Tính nhanh: 1980.1979 − 1978.1979 52.611.162 + 62.126.152 b)Rút gọn: 2.612.104 − 812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n + 99 3n + a)Có giá trị số tù nhiên b)Là phân số tối giản n 11 Bài 4: Cho A = + + + + n +1 + + 12 với n N Chứng minh A 5 5 16 Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có: abc − cba = (100a + 10b + c ) − (100c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99(a − c ) = 495 a − c = 495 : 99 = Vì b = ac ≤ b ≤ mà a - c = Nên ta có: Với a = c = b2 = 9.4 = 36 b = (Nhận) Với a = c = b2 = 8.3 = 24 giá trị b Với a = c = b2 = 7.2 = 14 giá trị b Với a = c = b2 = 6.1 = giá trị b Bài 2: a) 1978.1979 + 1980.21 + 1958 1978.1979 + 1979.21 + 21 + 1958 = 1980.1979 − 1978.1979 1979.(1980 − 1978) 1979.(1978 + 21) + 21 + 1958 1979.(1978 + 21 + 1) = = 1979.2 1979.2 1979.2000 = = 1000 1979.2 b) ( ) ( ) ( )( ) 52.611.162 + 62.126.152 52.(2.3) + (2.3) 22.3 (3.5) = 12 2.612.104 − 812.9603 2.(2.3) (2.5) − 34 26.3.5 11 ( ) 52.219.311 + 214.310.53 52.310.214 25.3 + 25.3 + = 17 12 11 18 = 17 11 = − 5 (5.3 − 2) 23.5.3.12 32.3 + 96 + 101 = = = 8.15.12 120.12 1440 Bài 3: Đặt A = 6n + 99 6n + + 91 2(3n + 4) + 91 2(3n + 4) 91 91 = = = + = 2+ 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + a) Để A số tù nhiên 91⋮ 3n + ⋮ 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tù nhiên Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + = b) Để A phân số tối giản 91 khơng chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra: 3n + khơng chia hết cho suy n ≠ 7k +1 3n + không chia hết cho 13 suy n ≠ 13m + 3 n 11 Bài 4: Xét A = + + + + n + + 11 Suy ra: 5 5 n 11 n 11 1 A = A − A = + + + + n + + 11 − + + + + n +1 + + 12 5 5 5 5 5 5 1 1 11 A = + + + + n + + 11 − 12 5 5 5 11 A = B − 12 Với biểu thức: 1 1 + + + + n + + 11 5 5 1 1 B = + + + + + n −1 + + 10 5 5 1 1 1 1 1 B = B − B = 1 + + + + + 10 − + + + + n + + 11 5 5 5 5 5 11 11 −1 −1 B = − 11 = B= 11 5 4.511 B= 511 − 11 512 − − 44 512 − 49 49 4A = − 12 = A= • = • 1 − 12 11 12 12 16 16 16 4.5 4.5 Bài 5: Hình vẽ t y z 970 x' 540 400 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Câu1: a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c Tìm tất số B= 62xy427, biết số B chia hết cho 99 12 n + Câu a chứng tỏ phân số tối giản 30 n + 1 1 b Chứng minh : + + + + 2x+1 =1 2x+1=3 (0,25đ) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12 n + phân số tối giản (0,5đ) 30 n + 1 1 b Ta có < = 1 2 1 1 < = 2 3 1 1 < = (0,5đ) 99.100 99 100 100 Vậy 1 1 1 1 + + + < - + - + + 2 99 100 100 2 3 1 99 1 + + + 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5