Câu 1. (4,0 điểm) a) Anh (Chị) hiểu thế nào là phương pháp dạy học tích cực. Nêu đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực. Kể tên một số phương pháp dạy học tích cực cần phát triển ở trường Trung học phổ thông. b) Hãy trình bày hai quy trình cho hai cách giải bài toán: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó ”. Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Hãy nêu ba định hướng cụ thể để giúp học sinh giải bài toán trên bằng ba cách khác nhau.
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TRƯỜNG BẬC THPT Năm học: 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) a) Anh (Chị) hiểu thế nào là phương pháp dạy học tích cực. Nêu đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực. Kể tên một số phương pháp dạy học tích cực cần phát triển ở trường Trung học phổ thông. b) Hãy trình bày hai quy trình cho hai cách giải bài toán: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó ”. Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình: 2 2( 1) 3 0x m x m− + + − = . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Hãy nêu ba định hướng cụ thể để giúp học sinh giải bài toán trên bằng ba cách khác nhau. Câu 3. (5,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng d 1 : 3x - y = 0 ,d 2 : x - 3y = 0 và điểm A(4;3). Viết phương trình đường tròn đi qua A và tiếp xúc với d 1 và d 2 . Giải bài toán trên và nêu hệ thống câu hỏi vấn đáp gợi mở hướng dẫn học sinh giải bài toán đó. Câu 4. (5,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các đoạn AD’ và BD sao cho ' , , ( 0, 1)MA kMD ND kNB k k= = ≠ ≠ uuuur uuuuuur uuuur uuuur . Tìm giá trị của k để MN song song với A’C . Khi đó chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD. (Bài 7 trang 114 SBT Hình học 11 nâng cao) a) Giải bài toán trên b) Nêu một định hướng để học sinh giải bài toán bằng cách khác. Câu 5. (2,0 điểm) Cho 2 số thực x, y dương thỏa mãn: (1 ) (1 )x y x y y x+ = − + − Chứng minh: 1 1 5x y x y + + + ≥ …………… Hết …………… Đề thi chính thức Đáp án −Biểu điểm Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) 2đ a) 1.Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn, được dùng để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. 2. Đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực. a. Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh. b. Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học. c. Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác. d. Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò. 3. Một số phương pháp dạy học tích cực cần phát triển ở trường Trung học phổ thông a. Phương pháp gợi mở − vấn đáp b. Phương pháp đặt và giải quyết vấn đề. c. Phương pháp hoạt động nhóm ….( Chỉ cần nêu 3 PP là được) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2đ b) quy trình giải bài toán: Cách 1: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 2 ,d d trong không gian bằng độ dài đoạn vuông góc chungcủa 2 đường thẳng . Quy trình 1: −Đặt dạng tọa độ điểm M,N lần lượt thuộc 1 2 ,d d theo tham số ,t k − Dùng tính chất đoạn vuông góc chung viết ra hệ phương trình − Giải hệ phương trình − Tính độ dài MN và kết luận. Cách 2: Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên đt này đến mp song song với nó và chứa đt kia Quy trình 2: − Viết phương trình mp(P) chứa 1 d và song song với 2 d − Lấy điểm A (cụ thể) thuộc 2 d − Tính khoảng cách từ A đến (P) và kết luận Cách 3: Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó . (quy trình tương tự) Nêu 1 quy trình được 1 Nêu quy trình 2 được thêm 1 đ Câu 2 4đ Yêu cầu:Nêu được ba định hướng hợp lí ( Sơ lược các định hướng) Định hướng 1: Sử dụng điều kiện có nghiệm và định lý Viét xét các trường : TH1: 2 nghiệm trái dấu TH2: 1 nghiệm dương , 1 nghiệm bằng 0 TH3: 2 nghiệm dương. Định hướng 2: Giải gián tiếp: Tìm điều kiện có nghiệm và loại TH có 2 nghiệm lớn hơn hoăc bằng 0 Định hướng 3: Tách m và KSHS trên khoảng (0;+∞) Định hướng 4: … 1,5đ 1,5đ 1,0đ Câu 3 Gt ⇒ tâm I của đường tròn nằm trên đường phân giác góc tạo bởi 2 đường thẳng Ta có: phương trình 2 phân giác là: 3 3 10 10 x y x y y x y x − − = = ⇔ = − Do A ∈ góc phần tư (I) ⇒ I ∈ đường thẳng ( )y x ∆= ⇔ I(a;a) Gt ⇒ 1 ( ; )d I d IA= ⇔ 2 2 3. ( 4) ( 3) 10 a a a a − = − + − Giải đúng Cho 3,5 đ 2 5 2 25 4 16 140 250 0 a a a a = ⇔ − + = ⇔ = Với : 2 2 5 3 1 5 ( ) ( ) 2 2 2 2 a R= ⇒ = + = ⇒ phương trình đường tròn là 2 2 5 5 5 2 2 2 ( ) ( )x y− + − = Với: 2 2 25 9 13 125 ( ) ( ) 4 4 4 8 a R= ⇒ = + = ⇒ phương trình đường tròn là 2 2 25 25 125 4 4 8 ( ) ( )x y− + − = Yêu cầu hệ thống câu hỏi phù hợp vấn đáp gợi mở : Thường bao gồm: Câu hỏi tái hiện: yêu cầu học sinh nhớ lại kiến thức đã biết Câu hỏi giải thích , minh họa Câu hỏi gợi mở sự tìm tòi của học sinh Hệ thống câu hỏi được sắp xếp hợp lý để hướng học sinh từng bước phát hiện ra kiến thức mới. ( Tùy vào cách giải để có hệ thống câu hỏi ) Hệ thống câu hỏi có thể là : − Để lập phương trình đường tròn ta cần làm gì ? − Để tìm tọa độ tâm có những cách nào? Sử dụng điều kiện nào để tìm tọa độ tâm? − Hãy khai thác giả thiết để tìm tính chất của tâm? − Sau khi tìm tâm hãy lập phương trình đường tròn? − Hãy kiểm tra lời giải bài toán đã được thỏa mãn chưa ? − Có cách nào khác để giải không? − Khái quát PP giải cho bài toán tổng quát? Hệ thống câu hỏi phù hợp Cho 1,5đ Câu 3 a) 4 đ a) Giải: Cách 1: Giả sử MN//A’C . A’M cắt đoạn AD tại I ⇒ AM và CN cắt nhau tại I trên AD . Mà: ; ' ' ' MA IA ND ID MD A D NB BC = = ⇒ IA=ID ⇒ I là trung điểm của AD. E là trung điểm của A’D’. ED cắt D’A tại F ⇒ AM=MF=FD’ ⇒ 1 2 k = − . Hiển nhiên với 1 2 k = − thì MN//A’C . Khi đó: Đặt AB = a ⇒ 1 5 2, 3 3 a AM a AN NC= = = . và 1 3 ' 3 3 MN A C a= = ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 5 3 9 9 a a a MN MA AN+ = + = = ⇒ MN ⊥AD’. Tương tự ⇒ MN ⊥BD Cách 2: Đặt: ' , ,AA a AB b AD c= = = uuur r uuur r uuur r Gt ⇒ ( ) ( ) ' ' 1 k MA k MA AA AD MA a c k = + + ⇒ = + − uuur uuur uuur uuuur uuur r r . Tương tự: 1 1 1 k AN b c k k = − − − uuur r r ⇒ 1 1 1 1 k k k MN AN AM a b c k k k + = − = − + − − − uuuur uuur uuuur r r r , 'A C a b c= − + + uuuur r r r Giải đúng Cho 4 đ F N M A' D' C' B' D C B A I E b) 1đ Do MN// A’C ⇔ 'MN mA C= uuuur uuuur ⇔ 1 1 1 2 1 1 k m k k m k k k m k = − − − = ⇒ = − − + = − Vây. Khi 1 2 k = − thì MN // A’C . Khi đó: ( ) 1 3 MN a b c a= − − − uuuur r r r r ' ,AD a c DB b c= + = − uuuur r r uuur r r ⇒ 2 2 1 . ' ( ) 0 3 MN AD a c= = − − = uuuur uuuur r r , 2 2 1 . ( ) 0 3 MN BD c b= = − − = uuuur uuur r r ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD. b) Nêu 1 trong các định hướng (nếu làm cách 1): ĐH1:− Sử dụng PP véc tơ : Chọn hệ véc tơ , biểu diễn các véc tơ liên quan qua các véc tơ đó . Sử dụng tính chất song song , vuông góc để giải bài toán. ĐH2 − Sử dụng PP tọa độ : Chọn hệ trục tọa độ , tìm tọa độ các điểm và các véc tơ liên quan . Sử dụng tính chất song song , vuông góc để giải bài toán. Nêu ĐH 1đ Câu 5 2đ Ta có: Luôn tồn tại x , y thỏa mãn đẳng thức đã cho ( chẳng hạn x = 1, y = 0) và : [ ] (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( ) 2 ( )x y y x x y y x x y x y=− + − − + − + − +≤ Từ GT ⇒ [ ] ( ) 2 ( )x y x y x y + − + + ≤ ⇔ [ ] 2 ( ) 2 ( )( ) x y x yx y + − ++ ≤ ⇔ 2 ( )( ) x yx y ++ ≤ ⇔ 0 1x y< + ≤ Lại có: 2 2 ( ) 1 4 4 ( ) x y xy xy x y + ≥ ⇒ ≥ + Do đó : 2 1 1 1 4 4 ( )(1 ) ( )(1 ) ( ) ( ) ( ) A x y x y x y x y x y xy x y x y = + + + = + + ≥ + + = + + + + Đặt: , 0 1t x y t= + < ≤ , Xét hàm số : 4 ( )f t t t = + với (0;1]t ∈ 2 4 '( ) 1 0 (0;1]f t t t = − ≤ ∀ ∈ . Lập bảng biến thiên ta được: (0;1] min ( ) 5 1f t khi t= = ⇒ 5A ≥ ⇔ 1 1 5x y x y + + + ≥ ( đpcm) 0,50 0,50 0,50 0,50 Ghi chú : Thí sinh làm cách khác mà đúng theo yêu cầu vẫn cho điểm phần tương ứng.