Các công thức Toán ôn thi THPTQG (Số học + Hình học)

Các công thức Toán số học và hình học phục vụ các bạn học sinh có thêm tài liệu để ôn thi thật tốt cho kì thi THPTQG sắp tới đạt điểm cao ở môn Toán. Ngoài ra còn bao gồm các công thức tính nhanh giúp học sinh giải quyết nhanh chóng đề thi trắc nghiệm.

MỤC LỤC Phần 1: GIẢI TÍCH VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH 12 VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 14 VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15 VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 16 VẤN ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 18 VẤN ĐỀ 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 19 VẤN ĐỀ 8: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 24 VẤN ĐỀ 9: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 26 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 28 VẤN ĐỀ 1: LŨY THỪA 28 VẤN ĐỀ 2: LÔGARIT 30 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 31 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 33 VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 35 VẤN ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT 37 VẤN ĐỀ 7: ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 38 PHẦN 2: HÌNH HỌC 39 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10 39 A TAM GIÁC VUÔNG: 39 B TAM GIÁC ĐỀU: 39 C TAM GIÁC THƯỜNG 39 D TỨ GIÁC 40 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 41 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 45 CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN 45 VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN 45 CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP ĐỀU 47 CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 49 BÀI 1: KHÁI NIỆM MẶT TRÒN XOAY 49 BÀI 2: MẶT CẦU 52 CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP 56 Phần 1: GIẢI TÍCH VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K với K đoạn, khoảng nửa khoảng  Hàm số f ( x ) gọi đồng biến K x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Hàm số f ( x ) gọi nghịch biến K x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) II Định lý: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm I  Nếu f  ( x )  0, x  I f  ( x ) = số điểm hữu hạn I hàm số f ( x ) đồng biến I  Nếu f  ( x ) , x  I f  ( x ) = số điểm hữu hạn I hàm số f ( x ) nghịch biến I  Nếu f  ( x ) = 0, x  I hàm số f ( x ) không đổi I ➔ Chú ý: Định lý không áp dụng dấu “=” với hàm biến: y = ax + b cx + d XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ  Tìm Tập xác định (TXĐ) hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề cho)  Tính y, cho y = tìm nghiệm xi (hoặc tìm điểm xi mà hàm số khơng có đạo hàm)  Lập bảng biến thiên kết luận biến thiên TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ Hàm biến: y = ax + b cx + d d  TXĐ: D = R \ −   c  y = ad − bc ( cx + d )  Hàm số đồng biến khoảng xác định  y  0, x  D  ad − bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  y  0, x  D  ad − bc   d   học sinh xác định ( a; b ) −  ( a; b )  Hàm số đồng biến ( a; b )    c  y  0,  x  a ; b ( )  ad − bc     d  học sinh xác định ( a; b ) −  ( a; b )  Hàm số nghịch biến ( a; b )    c  y  0, x  ( a; b ) ad − bc   Hàm bậc ba: y = ax + bx + cx + d  TXĐ: D = R  y = 3ax + 2bx + c  Hàm số đồng biến R  y  0, x  R  3ax + 2bx + c  0, x  R ( *) a      Hàm số nghịch biến R  y  0, x  R  3ax + 2bx + c  0, x  R ( *) a     Chú ý: Nếu hệ số 3a có tham số ta xét x = 0, tìm m, vào (*) kiểm tra có với x khơng  Hàm số đồng biến (nghịch biến) ( a; b )  y  (  ) 0, x  ( a; b )(*) Ta giải ( *) cách cô lập m: h(x) (*)  m  h ( x ) , x  ( a; b )  m  max ( ) x a;b m  h ( x ) , x  ( a; b )  m  h ( x ) x( a;b ) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC  Chuyển Bất đẳng thức (BĐT) dạng: VT  (hoặc  0;  0;  )  Đặt f ( x ) = VT với x  D  Tính f  ( x ) , cho f  ( x ) = tìm nghiệm lập bảng biến thiên (BBT), vào BBT để kết luận BĐT * Chú ý: - Có thể kết luận BĐT dựa vào tính đơn điệu hàm số không cần BBT - Trong số trường hợp ta cần tính đạo hàm cấp 2, 3… từ suy số nghiệm f  ( x ) để lập bảng biến thiên SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH a) Trường hợp 1: Thực theo bước:  Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x ) = g ( x ) (*)  Bước 2: Xét hàm số f ( x ) g ( x ) Dùng lập luận khẳng định hàm số f ( x ) đồng biến hàm số g ( x ) hàm nghịch biến  Bước 3: Với x = x0 : f ( x0 ) = g ( x0 )  ( *) có nghiệm x = x0 b) Trường hợp 2: Thực theo bước:  Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( u ) = f ( v )( *)  Bước 2: Xét hàm đặc trưng f ( x ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu  Bước 3: Khi đó: ( *)  u = v với u, v  D f VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định tập hợp D x0  D  x0 gọi điểm cực đại hàm số f ( x ) tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b )  D f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f ( x )  x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f ( x ) tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b )  D f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \  x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f ( x )  Giá trị cực đại cực tiểu gọi chung cực trị II Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị x0 Khi f có đạo hàm x0 f  ( x0 ) = Chú ý:  Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm  Đạo hàm f  x0 không đạt cực trị điểm x0 III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) ( x0 ; b ) Khi  Nếu f  ( x0 )  0, x  ( a; x0 ) f  ( x0 )  0, x  ( x0 ; b ) hàm số đạt cực tiểu điểm x0  Nếu f  ( x0 )  0, x  ( a; x0 ) f  ( x0 )  0, x  ( x0 ; b ) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lý 3: Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 ; f  ( x0 ) = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:  Nếu f  ( x0 )  hàm số f đạt cực đại x0  Nếu f  ( x0 )  hàm số f đạt cực tiểu x0 A TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phương pháp 1:  Tìm TXĐ hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề cho)  Tính y, cho y = tìm nghiệm xi (hoặc tìm điểm xi mà hàm số khơng có đạo hàm)  Lập bảng biến thiên kết luận điểm cực trị Phương pháp 2:  Tìm TXĐ hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề cho)  Tính y  tìm nghiệm xi y =  Tính y y ( xi ) , y ( xi )  hàm số đạt cực đại xi ngược lại B TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU HOẶC ĐẠT CỰC TRỊ TẠI X0 Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đạt cực trị, cực tiểu cực đại x0 :  TXĐ: D = R  Tính đạo hàm: f  ( x )  Hàm số đạt cực trị, cực tiểu cực đại x0  f  ( x0 ) = Tìm tham số thử lại theo 02 cách + Cách 1: Lập bảng biến thiên kết luận + Cách 2: Tính f ; f  ( x0 ) kết luận Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:  TXĐ: D = R  y = 3ax + 2bx + c  Hàm số có cực trị ( y  đổi dấu lần)  y  có nghiệm phân biệt a     * Chú ý: Hàm số khơng có cực trị ( y  không đổi dấu)  y vơ nghiệm có nghiệm a    kép  Hàm bậc trùng phương: y = ax + bx + c Tìm điều kiện để hàm số có cực trị  TXĐ: D = R  y = 4ax + 2bx Cho y =  4ax3 + 2bx  x ( 2ax + b ) = x =   2ax + b = (1)   g( x)  Hàm số có cực trị ( y  đổi dấu lần)  y có nghiệm phân biệt a    Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác    g   ( ) * Chú ý: Hàm số có cực trị ( y  đổi dấu lần) a   Phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép     C TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA YÊU CẦU I Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d Câu hỏi 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa yêu cầu hoành độ Phương pháp:  TXĐ: D = R  y = 3ax + 2bx + c Hàm số có cực trị có hồnh độ trái dấu (hoặc cực trị nằm phía so với trục tung)  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt trái dấu  P  Hàm số có cực trị có hồnh độ dấu    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu   P  Hàm số có cực trị có hồnh độ dấu dương     Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu dương   P  S   Hàm số có cực trị có hồnh độ dấu âm     Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu âm   P  S   Hàm số có cực trị có hồnh độ thỏa x1  a  x2        x1  a   ( x1 − a )( x2 − a )  x  a  Hàm số có cực trị có hồnh độ thỏa a  x1  x2         x1  a  ( x1 − a )( x2 − a )  x  a    x1 + x2 − 2a  Hàm số có cực trị có hồnh độ thỏa x1  x2  a         x1  a  ( x1 − a )( x2 − a )  x  a    x1 + x2 − 2a  −b   S = x1 + x2 = a * Định lý Vi-ét ta có:   P = x x = c  a Câu hỏi 2: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( Cm ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị số câu hỏi liên quan  TXĐ: D = R  y = 3ax + 2bx + c  Hàm số có cực trị A, B ( y  đổi dấu lần) a   y  có nghiệm phân biệt     a) Trường hợp 1: Nếu  phương (  = f ( m ) ) đơn giản ta tìm tọa độ điểm cực trị A, B theo tham số phương trình AB là: AB : x − xA y − yA = xB − x A y B − y A b) Trường hợp 2: Nếu  không phương phức tạp ta chia y cho y  được: y = g ( x ) y + mx + n Gọi điểm cực trị là: A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) A  Cm  y1 = g ( x1 ) y ( x1 ) + mx1 + n = mx1 + n B  Cm  y2 = g ( x2 ) y ( x2 ) + mx2 + n = mx2 + n Suy đường thẳng qua điểm cực trị AB: y = mx + n (là số dư phép chia y cho y  ) * Một số câu hỏi thường gặp Độ dài đoạn cực trị AB = k + Tìm tọa độ điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 TH2 + Tính AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 )  AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 + Cho AB = k tìm giá trị tham số kiểm tra điều kiện Tìm giá trị nhỏ lớn AB + Tính AB theo tham số (câu hỏi 1) sử dụng phương pháp hàm số sử dụng bất đẳng thức Cơsi tìm giá trị nhỏ lớn AB Tam giác ABC cân vuông C với C ( x0 ; y0 ) : d  A; ( BCD )  = 3VABCD S BCD b) Phương pháp 2: Tính trực tiếp  Xác định mặt phẳng ( Q ) chứa M ( Q ) ⊥ ( P )  Xác định giao tuyến d ( P ) ( Q )  Trong mặt phẳng ( Q ) vẽ MH ⊥ d  MH ⊥ ( P ) * Chú ý: Trong số trường hợp ta tính gián tiếp thơng qua điểm N TH1: MN / / mp ( P )  d  M ; ( P )  = d  N ; ( P )  TH2: MN cắt mp(P) điểm A  d  M ; ( P )  d  N ; ( P )  = MA NA B Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định nghĩa: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Phương pháp xác định d  SA; BC  a) Trường hợp 1: SA khơng vng góc với BC  Vẽ hình bình hành ABCD  BC / / AD  BC / / ( SAD )  d  SA; BC  = d  BC; ( SAD )  = d  B; ( SAD )  Hoặc = d C ; ( SAD )  b) Trường hợp 2: SA vuông góc với BC  Xác định mp(P) chứa BC ( P ) ⊥ SA A  Trong mp(P) vẽ AH ⊥ BC Mà AH ⊥ SA ( SA ⊥ ( P ) )  AH đường ⊥ chung SA, BC  d  SA; BC  = AH III Hình chóp: 42  Hình chóp hình đa diện gồm đáy đa giác đỉnh không nằm mặt phẳng chứa đa giác đáy  Hình chóp hình chóp có đáy đa giác tất cạnh bên  Tứ diện hình chóp tam giác có tất cạnh  Hình chóp hình chóp có tất cạnh bên trở lên đường cao hình chóp vẽ từ đỉnh đến tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác IV Hình lăng trụ  Hình lăng trụ hình đa diện có hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song  Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai đáy  Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy tam giác  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành (tất mặt hình chữ nhật)  Hình lập phương hình hộp có tất mặt hình vng 43 Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ xiên 44 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN I Khối lăng trụ khối chóp  Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ, kể hình lăng trụ  Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp, kể hình chóp II Khái niệm hình đa diện khối đa diện  Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện III Khối đa diện lồi:  Khối đa diện H gọi khối đa diện lổi đoạn thẳng nối điểm H thuộc H IV Khối đa diện đều:  Khối đa diện khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất: + Mỗi mặt đa giác p cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chhung q mặt  Khối đa diện gọi khối đa diện loại ( p; q ) 45 VẤN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Khái niệm thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện ( H ) số dương VH thỏa mãn tính chất:  Nếu ( H ) khối lập phương V( H )  Nếu khối ( H1 ) ( H ) V( H ) = V( H )  Nếu khối đa diện ( H ) phân chia thành khối H1 H VH = VH + VH II Cơng thức Thể tích khối chóp: Vhc = h.Sday VS ABC = SA.S ABC VS ABC = SG.S ABC Thể tích khối lăng trụ: Vlang tru = h.Sday VABC ABC  = AA.S ABC VABC ABC  = AG.S ABC 46 * Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước dài, rộng cao khối hộp chữ nhật * Thể tích khối lập phương: V = a với a độ dài cạnh Tỷ số thể tích: VS ABC  SA SB SC  = VS ABC SA SB SC CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHĨP ĐỀU a: cạnh đáy; b: cạnh bên  : góc cạnh bên mặt đáy  : góc mặt bên mặt đáy TH1: Hình chóp tam giác * Biết cạnh đáy cạnh bên: V = * Biết cạnh đáy góc  : V = * Biết cạnh đáy góc  : V = a 3b − a 12 a tan  12 a3 tan  24 3b3 sin  cos  * Biết cạnh bên góc  : V = * Biết cạnh bên góc b: V = 6b3 ( + tan  ) TH2: Hình chóp tứ giác 47 * Biết cạnh đáy cạnh bên: V = * Biết cạnh đáy góc  : V = a 4b − 2a a3 tan  a3 tan  * Biết cạnh đáy góc  : V = * Biết cạnh bên góc  : V = 2b3 sin  cos  4b3 tan  * Biết cạnh bên góc  : V = ( + tan  ) 48 CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: KHÁI NIỆM MẶT TRỊN XOAY A TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Sự tạo thành mặt tròn xoay  Trong không gian cho mặt phẳng ( P ) chứa đường  đường thẳng ( C ) Khi quay mặt phẳng ( P ) quay góc 360 điểm M đường ( C ) vạch đường trịn có tâm O thuộc  nằm mặt phẳng góc với   Như quay mặt phẳng ( P ) quanh đường thẳng; đường ( C ) tạo nên hình mặt tròn xoay  Đường ( C ) gọi đường sinh mặt tròn xoay gọi trục mặt trịn xoay II Mặt nón tròn xoay: Định nghĩa: Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng d  cắt điểm O tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh  đường thẳng d sinh mặt trịn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O (gọi tắt mặt nón) Đường thẳng  gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh, góc  gọi góc đỉnh mặt trịn 49 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay:  Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón)  Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón  OA = h : đường cao  OB = r : bán kính đường tròn đáy  AB = l : đường sinh Diện tích xung quanh thể tích khối nón trịn xoay  Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn  Thể tích khối nón trịn xoay giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh đáy tăng lên vô hạn b) Công thức S xq =  rl V =  r 2h III Mặt trụ tròn xoay Định nghĩa:  Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng l  song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay (gọi tắt mặt trụ)  Đường thẳng  gọi trục, đường thẳng l gọi đường sinh r gọi bán kính mặt trụ 50 Diện tích xung quanh thể tích khối trụ trịn xoay: a) Định nghĩa  Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình lăng trụ nội tiếp hình trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn  Thể tích khối trụ trịn xoay giới hạn thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Công thức S xq = 2 rl Vkt =  r 2l 51 BÀI 2: MẶT CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Mặt cầu khái niệm liên quan đến mặt cầu: Mặt cầu:  Cho điểm O cố định số thực R Tập hợp điểm M không gian cách điểm O khoảng R gọi mặt cầu tâm O bán kính R  Kí hiệu: S ( O; R ) = M OM = R Điểm nằm nằm mặt cầu:  OA  R  A nằm S ( O; R )  OA  R  A nằm S ( O; R )  OA = R  A nằm S ( O; R ) Khối cầu  Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S ( O; R ) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hay hình cầu tâm O bán kính R II Giao mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu vng góc O mp ( P )  OH  R  ( P ) không cắt ( S ) hay ( P )  ( S ) =   OH = R  ( P ) tiếp xúc ( S ) H Khi mp ( P ) gọi tiếp diện, H gọi tiếp điểm  OH  R  ( P ) cắt ( S ) theo đường tròn ( C ) có tâm H, bán kính r = R − OH Chú ý: d = hay O  H ( P ) cắt ( S ) theo đường tròn C ( O; R ) III Giao đường thẳng mặt cầu: 52 Cho mặt cầu S ( O; R ) đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc O   OH  R  d không cắt ( S ) hay   ( S ) =   OH = R  d tiếp xúc ( S ) H Khi d gọi tiếp tuyến H gọi tiếp điểm  OH  R  d cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B IV Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:  Diện tích xung quanh hình cầu: S xq = 4 r  Thể tích khối cầu: V =  r V Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Định nghĩa:  Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu chứa tất đỉnh hình chóp  Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đường trịn ngoại tiếp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách tất đỉnh hình chóp đoạn R gọi bán kính mặt cầu ngoại tiếp 53 Các bước tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:  Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Nếu đáy tam giác đều: Gọi O giao điểm đường trung tuyến AM, BN tam giác ABC  O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC + Nếu đáy tam giác vuông A: Gọi O trung điểm cạnh huyền BC  O tâm đường trịn ngoại tiếp đáy ABC + Nếu đáy hình vng, hình chữ nhật: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD  O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD  Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: Là đường thẳng Ox qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy + Nếu hình chóp gần đều: Ta có: SO ⊥ ( ABC )  SO trục đường tròn ngoại tiếp đáy… + Nếu hình chóp có SA ⊥ ( ABC ) : Vẽ Ox / / SA  Ox ⊥ ( ABC )  Ox trục đường tròn ngoại tiếp đáy…  Trong mp tạo trục Ox cạnh bên, vẽ trung trực d cạnh bên E cắt trục Ox I  I  Ox  IA = IB = IC  IS = IA = IB = IC   I  EI  IS = IA  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = IS TH1: Hình chóp S.ABC 54  Gọi O trọng tâm tam giác ABC  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Vì S ABC  SO ⊥ ( ABC )  SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Trong mp ( SAO ) vẽ đường trung trực Mx SA, cắt SA M cắt trục SO I  I  SO  IA = IB = IC  IS = IA = IB = IC   I  MI  IS = IA  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R = IS TH2: SA ⊥ ( ABC ) , ABC  Gọi O trọng tâm tam giác ABC  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Vẽ đường thẳng Ot / / SA  Ot ⊥ ( ABC )  Ot trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Trong mp ( SAO ) vẽ đường trung trực Mx SA, cắt SA M cắt trục Ot I TH3: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ABC  I  SO  IA = IB = IC  IS = IA = IB = IC   I  MI  IS = IA  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = IA  Gọi O trọng tâm tam giác ABC  O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Vẽ đường thẳng Ot / / SH (với SH đường cao khối chóp)  Ot ⊥ ( ABC )  Ot trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  Trong mặt phẳng ( SA; d ) vẽ mặt phẳng trung trực SA cắt d I 55  I  SO  IA = IB = IC  IS = IA = IB = IC   I  MI  IS = IA  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = IA * Lưu ý: Trong nhiều trường hợp ta vẽ hai trục Ot tam giác ABC Ot  tam giác SAB cắt tâm I mặt cầu ngoại tiếp S ABC CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP TH1: Hình chóp  R = b2 2h a: cạnh đáy b: cạnh bên h: chiều cao * Đáy tam giác đều: h = b2 − * Đáy tứ giác đều: h = b2 − a2 a2 2 h TH2: SA ⊥ đáy  R =   + R2 2 h = SA : chiều cao R  : bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy * Đáy tam giác cạnh a: R = * Đáy tam giác vuông: R = * Đáy hình vng: R = a 3 cạnh huyền a 2 56 ... 02 cách + Cách 1: Lập bảng biến thi? ?n kết luận + Cách 2: Tính f ; f  ( x0 ) kết luận Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:  TXĐ: D = R  y = 3ax + 2bx + c... + By + C = + Tìm tọa độ điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 TH2 + ycbt  ( Ax1 + By1 + C )( Ax2 + By2 + C )  Hàm số có cực trị nằm phía so với đường thẳng d : Ax + By + C = +. .. = − = c c cx0 + d c  Tổng khoảng cách là: S = x0 + d + c bc − ad d  c  x0 +  c  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 26 bc − ad d  c  x0 +  c  ax + b cho tổng cx + d S  x0 + d c bc − ad