Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian hilbert

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HÀ N®I ———————————– NGUYEN THE LÂM Đ® ĐO XÁC SUAT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn hoc Mã so: 60.46.15 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang Hà N®i - 2013 i Mnc lnc Mnc lnc ii Đ® đo xác suat khơng gian Metric 1.1 Tính quy 1.2 Giá cna m®t đ® đo 1.3 Tính chat Radon .3 1.4 Đ® đo hoàn hao .4 1.5 Liên h¾ giua phiem hàm tuyen tính đ® đo .6 1.6 Tơpơ yeu khơng gian đ® đo 12 1.7 Sn h®i tu cna phân phoi mau 19 Đ® đo xác suat khơng gian Hilbert 21 2.1 Giói thi¾u .21 2.2 Hàm đ¾c trưng tiêu chuan compact 21 2.3 M®t ưóc lưong cna phương sai .30 2.4 Phân phoi chia vô han 34 2.5 Tiêu chuan compact .40 2.6 Lu¾t ket hop 46 Đ® đo xác suat C[0,1] 51 3.1 Giói thi¾u .51 3.2 Các đ® đo xác suat C [0, 1] 52 3.3 Mđt ieu kiắn cho sn ton tai m®t q trình ngau nhiên vói quy đao C[0, 1] 55 3.4 Sn h®i tu tói chuyen đ®ng Brownian .56 3.5 Phân bo cna bien ngau nhiờn liờn hắ vúi chuyen đng Brownian 60 Tài li¾u tham khao 65 ii Lài ma đau Đ® đo xác suat khơng gian metric m®t lĩnh vnc quan cna xác suat TRQNG thong kê Đe giúp đ®c gia hieu rõ ve đ® đo, tính chat cna đ® đo, vai trị cna đ o cng nh moi liờn hắ cna đ o vói lĩnh vnc tốn HQc khác, tơi hồn thành lu¾n văn Lu¾n văn đưoc chia thành chương vói phan mo đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham khao phu luc Chương 1: Trình bày ve đ® đo xác suat khơng gian metric Chương 2: Trình bày ve đ® đo xác suat khơng gian Hilbert Chương 3: Trình bày ve đ® đo xác suat C[0,1] Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan khoa Hùng Thang thu®c khoa Tốn - Cơ - Tin trưịng Đai HQc HQ c cna GS.TSKH.Đ¾ng Khoa HQ c Tn nhiên - ĐHQGHN Tôi xin bày to lòng biet ơn chân thành đen thay ve sn giúp đõ khoa HQ c mà thay dành cho tơi tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tơi hồn thành lu¾n văn Nhân d%p này, tơi xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen thay phan bi¾n, nhung ngưịi đQc đóng góp ý kien cho tơi đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Qua tơi xin gui lịi cam ơn tói thay trưịng Đai nhiên, Đai HQ c HQc Khoa HQc Tn Quoc gia Hà n®i t¾n tình giang day, cung cap kien thúc đe tơi ngy mđt hon thiắn hn ve chuyờn mụn Cuoi cựng tơi xin gui lịi cam ơn tói gia đình ngưịi thân tao đieu ki¾n tot nhat cho tơi thịi gian làm lu¾n văn M¾c dù het súc co gang, song lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn cna em oc hon thiắn hn H Nđi, thỏng năm 2013 iii Danh mnc ký hi¾u C (X): Khơng gian hàm liên tuc b% ch¾n X; C [0, 1]: Không gian hàm liên tuc [0, 1]; Cµ: Giá cna µ; d (x, A) = inf d (x, y); y∈A l đ o xỏc %nh boi : (A) = (A); (A): đ o cna A; |à| := à; µˆ (y): Hàm đ¾c trưng cna µ; µα ⇒ µ: µα h®i tu yeu tói µ; 10.µ ∗ ν: Tớch chắp cna v ; 11.M (X): Khụng gian đ® đo xác suat X; 12.f|A : f han che A; 13.W: Đ® đo wiener Chương Đ® đo xác suat khơng gian Metric 1.1 Tớnh chớnh quy Chỳng ta hieu mđt đ o trờn mđt khụng gian Metric l mđt hm khụng õm, cđng tớnh em oc trờn lúp cỏc Borel BX thoa mãn µ(X) = Đ%nh nghĩa 1.1 Cho l mđt đ o trờn khụng gian Metric X Mđt Borel A X ac GQI l µ−chính quy neu µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng Σ = inf µΣ(U ) : A ⊆ U, U má Neu MQI Borel l àchớnh quy ta núi rang quy Đ%nh lý 1.1 Cho X m®t khụng gian Metric v l mđt đ o X Khi ú mđt A BX l àchớnh quy chs vái MQI ε > ton tai t¾p má Uε t¾p đóng Cε cho: (i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ; (ii) µ(Uε − Cε) < ε Đ%nh lý 1.2 Cho X mđt khụng gian Metric v l đ o bat kì X Khi µ quy Chúng minh Kớ hiắu B = {A X : Aà quy} ⇒ B ⊂ BX Boi φ, X vùa t¾p đóng, vùa t¾p mo ⇒ φ ∈ B, X ∈ B B đóng đoi vói phép lay phan bù Th¾t v¾y , cho A ∈ B ε > Khi ton tai t¾p mo Uε ⊇ A t¾p đóng Cε ⊆ A cho µ(Uε − Cε) < ε Ta có UεJ ⊆ AJ ⊆ CεJ , CεJ − UεJ = Uε − Cε µ(CεJ − UεJ ) = µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ AJ ∈ B V¾y B đóng đoi vói phép lay phan bù Ta chúng minh B đóng đoi vói phép hop S đem đưoc Th¾t v¾y, cho A1, A2, ∈ B, ∞ Ai Cho ε > co đ%nh tùy A= i=1 ý Do An ∈ B nên ton tai t¾p mo Un,ε t¾p đóng Cn,ε cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε S S ∞ −Cn,ε) ε Đ¾t Uε = Un,ε, C = Cn,ε Do µ mđt đ o nờn ta à(Un, n=1 n ⇒ C m®t Gσ Do ∞ ton tai T t¾p mo U1, U2, , U1 ⊇ U2 ⊇ cho C = Un Do µ(Un) → µ(C) ⇒ ∃n0 : n=1 µ(Un0 − C) < ε Lay Cε = C, Uε = Un0 ⇒ µ(Uε − Cε) < ε ⇒ C ∈ B 1.2 Giá cua m®t đ® đo Đ%nh lý 2.1 Cho X m®t khơng gian Metric tỏch ac v l mđt đ o trờn X Khi ú ton tai nhat mđt đóng Cµ thóa mãn: i) µ(Cµ) = 1, ii) Neu D l úng no ú cho à(D) = Cµ ⊆ D Hơn nua Cµ t¾p tat ca điem x ∈ X cho µ(U ) > vái MQI t¾p má U chúa x Chỳng minh U = {U:U mo,à (U) = } Boi X tách đưoc ⇒ có nhieu S S S đem đưoc t¾p mo U U {U : U ∈ U} Kí hi¾u Un 1, U 2, cho n = = Uà n Sn Cà = X Uà Boi µ(Uµ) = µ( Un) ≤ µ(Un) = à(Cà) = Hn nua, neu D l đóng thoa mãn µ(D) = ⇒ µ(X − D) = ⇒ X − D ∈ U X − D ⊆ Uµ túc Cµ ⊆ D Tính nhat cna Cµ hien nhiên Đe chúng minh khang đ%nh cuoi ý rang vói x X Cà , Uà l mđt mo chúa x µ(Uµ) = Trái lai, neu x Cà v U l mđt mo chỳa x ⇒ µ(U ) > 0, neu khơng U ⊆ Uµ (theo đ%nh nghĩa cna Uµ ) Đ%nh nghĩa 2.1 Tắp úng Cà %nh lớ 2.1 ac GQI l giỏ cua Hắ qua 2.1 Cho X l mđt khụng gian Metric v l mđt đ đo X cho vái E ⊆ X, E l Borel tỏch ac, à(X E) = Khi ú cú mđt giỏ tỏch ac v Cà ⊆ E 1.3 Tính chat Radon Bây giị ta se nghiên cúu m®t lóp nho đ® đo khụng gian Metric Cỏc đ o chắt Cỏc đ o ch¾t đưoc xác đ%nh boi giá tr% cna chúng oi vúi cỏc compact %nh ngha 3.1 Mđt đ o trờn mđt khụng gian Metric X ac GQI l chắt neu > ton tai mđt compact Kε ⊆ X cho µ(X − Kε) < ε Đ%nh lý 3.1 Cho X m®t khơng gian Metric v l mđt đ o chắt trờn X Khi ú cú mđt giỏ tỏch ac v vỏi t¾p Borel bat kì E ε > ú, cú mđt compact K E vỏi à(E − Kε) < ε Chúng minh Gia su Kn mđt compact cho à(X Kn) < 1n Mđt S compact mđt khụng gian metric l tách đưoc Kn tách đưoc n S Neu E0 = Kn µ(E0) = Do khang đ%nh thú nhat đưoc suy tù h¾ qua n ⇒gia su E ∈ B X Theo đ%nh lí 1.2, ton tai mđt úng C E cho 2.1 Bây giị µ(E −C ε ) 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact X∼ cho µ∼(X − Kε ) < ε (đ%nh lí 3.1) Kε compact X boi X l mđt tụpụ cna X Hn nua µ(X − Kε ) = µ∼(X − Kε ) < ieu ny chi rang l chắt Do ta có the gia đ%nh rang X m®t khơng gian metric tách đưoc, đay đn CHQN co đ %nh ε > Gia su d khoang cách X Vói so ngun n bat kì, hình cau bán kính n bao quanh moi điem thiet lắp mđt cỏi phn cna X Boi vỡ X tách đưoc, ta có the S S tìm thay nhieu đem đưoc Sn1 , Sn2 , cho X = Snj Rõ ràng X = Snj j j ton tai m®t so ngun kn cho kn [ µ( Snj ε )≥1− n Sk n j=1 Đ¾t Xn = S , Xn đóng Đ¾t Kε = j=1 nj Σ 1.4 kn T∞ Xn Boi Kε ⊆ n n n j=1 S S nj , Kε = ε ε Đ® đo hồn hao Đ%nh nghĩa 4.1 M®t khơng gian vỏi đ o (X, B, à) ac GQI l hon hao neu vái hàm f nh¾n giá tr% thnc B- đo đưac bat kì t¾p A bat kì đưàng thang thnc cho f −1 (A) ∈B có t¾p borel A1 A2 đưàng thang thnc cho A1 ⊆ A ⊆ A2 µf −1 (A2 − A1 ) = Bo đe 4.1 Cho X l mđt khụng gian metric v l mđt đ® đo X Neu f hàm đo đưac borel bat kì X ε > tùy ý thỡ ton tai mđt úng C cho: (iii) Các hàm phân phoi Fni cna bien ngau nhiên ξni , i = 1, 2, , kn thoa mãn đieu ki¾n Lindeberg, túc ∫ là, vói moi ε > 0, u2dF i (u) = kn Σ n Li |u| m i=1 >ε n→ ∞ Gia su ξn (t) , t ∈ [0, 1] hàm ngau nhiên đưoc xác đ%nh sau: t − tn k Σ Σ Σ ξn(t) = S n + , t ∈ n t nk+1 , t nk+1 − Sn Σ − St Σ t k k k k k e tn0 = 0, Sn0 = 0, tnk Σ b , S ξni, k ≥ n n i k = i=1 i=1 = Rõ ràng ξn (t) = Snk bat cú t = tnk ξn (t) đưòng thang noi (tnk , Σ Σ Snk ) tnk+1 , ΣSnk+1 khoang tnk , tnk+1 Do ξn (t) liên tuc vói xác suat Do có tương úng m®t đ® đo Pn khơng gian (C, Bc), theo q trình ngau nhiên ξn (t) , t ∈ [0, 1] đưoc phân phoi Đ%nh lý 4.1 Cho ξn (t) trình đưac mô ta Pn phân phoi cua ξn (t) khơng gian (C, Bc) Khi Pn ⇒ W n → ∞ W đ® đo Wiener (C, Bc) Chúng minh Gia su w (t) q trình chuyen đ®ng Brownian W phân phoi cna C Trưóc tiên ta se thiet l¾p rang phân phoi huu han chieu cna q trình ξn (t) tương úng h®i tu yeu tói phân phoi huu han chieu cna trình w (t) Đ¾t ξnJ (t) = Σ ξni , t ∈ [0, 1] tni bat kỳ, P ({|ξnJ (t) − ξn (t)| > α}) ≤ P Sup |ξni | > αΣΣ ≤ Σi=1 P ({|ξ i ni | > α}) k = kn dFni (u) Σ ∫ i=1 kn Σ ∫ −2 ≤α u2dFin |u|>α i=1 |u|>α Theo đieu ki¾n (iii), So hang cuoi o ve phai cna bat thúc o dan tói n → ∞ Do đe chúng minh sn h®i tu cna phân phoi huu han chieu cna ξn (t), đn đe làm giong ξnJ (t) Boi w (t) ξnJ (t) trỡnh vúi cỏc so gia đc lắp v w (0) = ξnJ (0) = 0, đn đe chúng minh sn h®i tu cna phân phoi cna ξnJ (tJJ ) − ξnJ (tJ ) tói phân phoi cna w (tJJ ) − w (tJ ) ∀0 ≤ tJ ≤ tJJ ≤ Σ Ta ý rang ξnJ (tJJ ) ξ−nJ (tJ ) = ξni tőng cna bien ngau nhiờn đc tJ tni tJJ lắp tuõn theo đieu ki¾n Lindeberg Do theo đ%nh lí giói han trung tâm, phân phoi cna ξnJ (tJJ ) − ξnJ (tJ ) h®i tu tói phân phoi chuan vói trung bình phương sai bang Σ Lim n→∞ n i tJ ≤t V (ξni ) = tJJ − tJ ≤tJJ Thnc v¾y, vói ε > bat kỳ, Σ V (ξni ) − (tJJ − tJ ) ≤ max bni i tJ ≤tn ≤t i J J ∫ (u) ≤ε+ max u dFn i i ≤ ε2 + kn Σ |u| >ε ∫ u2dFn (u) i=1 |u|>ε i So hang cuoi o ve phai cna bat thúc o dan tói n → ∞ Đieu hoàn thành chúng minh sn h®i tu cna phân phoi huu han chieu cna ξn (t) Bây giò ta se chi rang dãy đ® đo {Pn} C compact có đieu ki¾n Đ¾t Γ = {Pn : n = 1, 2, } Γ thoa mãn đieu ki¾n (i) cna đ%nh lí 2.2 suy tù thnc te rang P {ξn (0) = 0} = Đe chúng minh đieu ki¾n (ii) cna đ%nh lí 2.2 tương đương vói vi¾c chi rang, vói moi ε > 0, lim lim P Sup k→0 n→∞ Boi |tJ −tJJ |≤k |ξn (tJ ) − ξn (tJJ )| > εΣ = (4.1) Sup |ξ (tJ ) − ξ (tJJ )| ≤ n n Sup Sup |ξn (t) − ξn (kh)| |tJ −tJJ | ≤h kh kh8 =√ exp 2πh ε |u|> vói moi k − u2 Σ 2h du Tù (4.2) ta đat đưoc lim P Sup n→∞ Σ |ξn (tJ ) − ξn (tJJ )| > εΣ |tJ −tJJ |≤h 1 ∫ −u2 Σ ≤ k:kh Σ √ ε du exp h √ 2π 1 ∫ ε2 ≤√ 2π − 64 −u2 Σ h Σ |u|> √ h ε du exp h Boi ∫ c h exp −u Σ 2 du ≤ c2 u2exp ∫ c Σ du → |u|> |u|> √ −x √ h h h → 0, suy (4.1) đưoc chúng minh Theo đ%nh lí 2.2, Γ compact có đieu ki¾n Do Pn ⇒ W C H¾ qua 4.1 Vái hàm liên tnc nh¾n giá tr% thnc bat kỳ ϕ không gian C, phân phoi cua ϕ (ξn) h®i tn yeu tái phân phoi cua ϕ (w) n → ∞ 3.5 Phân bo cua bien ngau nhiờn liờn hắ vỏi chuyen đng Brownian Cho W đ® đo Wiener khơng gian C Vói hàm liên tuc bat kỳ x ∈ C , đ¾t f1 (x) = max x (t) t∈[0,1] f2 (x) = max |x (t) t∈[0,1] | Rõ ràng f1 f2 hàm liên tuc C Bây giò ta se tìm phân phoi cna f1 f2 x đưoc phân phoi theo W Vói a ƒ= bat kỳ, gia su τa (x) m®t điem [0, 1] cho x(t) ≤ vói t ≤ τa a Σ Σ > Tuy nhiên, ≤ 1∀t, τa (x) vói δ > bat kỳ, Sup x(t) neu a τa≤t≤τa+δ Σ Σx(t) a đưoc xác đ%nh +∞ τa m®t hàm đưoc đ%nh nghĩa tot C đưoc GQI thòi điem đau tiên vưot qua múc a Gia su τ J (x) a m®t điem cho x(t) a x(t) < 1∀t < τa J x a(τ J ) = a Tuy nhiên, neu a < 1∀t, τa J đưoc xác đ%nh +∞ Khi τa J m®t hàm đưoc đ%nh nghĩa tot C đưoc GQI thịi điem đau tiên cham (tói) múc a Bo đe 5.1 W {x :τaJ (x) = τa (x)} = Chúng minh Boi x (t) −x (t) có phân phoi dưói W, khơng mat tính tőng qt ta có the gia su rang a > S Ta có {x : τ J (x) < τa (x)} ⊆ ∞ x : max x (t) = aΣ Boi τ J (x) < τa (x) a a ∀x ∈m C, 0≤t≤ r,m=1 r r≤m đn đe chi rang W x : max x (s) = a = vói moi t Σ 0≤s≤t Boi vói t1 bat kỳ nho t, x (s) = aΣ ∪ x : max x (s) = aΣ x : max x (s) = aΣ ⊆ x : 0≤s≤ t 0≤s≤t1 max t1phoi Đieu boi vỡ xnk l đc lắp vúi nk , xn1 , , xnk−1 Boi xnk −xnk phân phoi suy (−1)εnk xn có phân phoi chuan vói trung bình phương sai n1 Do k phân phoi huu han chieu cna trình x(n) (t) 1x(n) (t) trùng Boi hàm x(n) (t) 1và x(n) (t) lan lưot h®i tu đeu tói x (t) (Tax) (t) vói xác suat n → ∞, suy W = WT−a Đ%nh lý 5.1 Cho a>0, W x : max x (t) > a, x (T ) 0≤t≤T max[d,a] Σ ∈ ∫ =√ exp Σ max∫[2a−c,a] 2T −u max[c,a] 2πT [c, d] √ exp max[2a−d,a ] 2πT 2T −u Σ du Chúng minh Boi W {x :x (T ) = a} = 0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d]Σ = W {x : x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} +W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]Σ (5.1) 0≤t≤ T Cho Ta phép bien đői đưoc xác đ%nh bő đe 5.2 Boi theo 0≤t≤ T chúng minh cna bő đe 5.1, W Σ 5.2 ta có x : max x (t) = a = 0, theo bő đe 0≤t≤T W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]Σ = W x : max (T a x) (t) > a, (Ta x) (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a]Σ 0≤t≤ T = W x : max x (t) ≥ a, x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]Σ 0≤t≤ T [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]} bao hàm bien co max x (t) ≥ Nhưng bien co {x (T ) ∈ 0≤t≤ a Σ T Do W x : max x (t) > a,x (T ) ∈ [c, d] ∩ [−∞, a)Σ 0≤t≤ T 0≤t≤ T =√ max[2a−c,a] ∫ −u2 e 2πT 2T du max[2a−d,a] Hơn nua W {x :x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} max[d,a] = ∫ √ exp Σ 2T −u du (5.3) 2π T Các phương trình (5.1)-(5.3) hồn thành chúng minh đ%nh lí max[c,a] Trong đ%nh lí o trên, neu lay [c, d] = (−∞, +∞) ta đưoc H¾ qua 5.1 Vái a>0 Σ W x : max x (t) > a 0≤t≤T √ = 2πT 2Σ ∫∞ exp −u 2T du a KET LU¾N Nđi dung oc trỡnh by luắn l nhung kien thúc bő ích ve đ® đo xác suat khơng gian hàm khơng gian Hilbert Moi m®t chương đeu có đ%nh nghĩa, đ%nh lý chúng minh khỏ chắt che Nhung đc gia ang HQ c cao HQ c toán chuyên ngành ”lý thuyet xác suat thong kê tốn HQc” hồn tồn có the ĐQ c hieu đưoc lu¾n văn M¾t khác tài li¾u tham khao tot cho nhung muon nghiên cúu sâu ve lĩnh vnc xác suat thong kê Do thịi gian có han nên nhung n®i dung đưoc trình bày lu¾n văn van cịn mang tính chat khái qt Vì v¾y neu ban ĐQc muon tìm hieu sâu ve lu¾n văn có the tham khao thêm tài li¾u đưoc trích o cuoi khóa lu¾n này, ban có the nghiên cúu thêm phan ”Đ® đo xác suat D[0, 1]”(chương VII), ”Đ® đo xác suat m®t nhóm metric (chương III)” [5] Tài li¾u tham khao Đ¾ng Hùng Thang [1] (1998), Má đau ve lý thuyet xác suat úng dnng, Nhà xuat ban Giáo duc Đ¾ng Hùng Thang [2] (2006), Quá trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [3] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm , Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [4] Nguyen Duy Tien(2005), Các mơ hình xác suat úng dnng, phan III Giai tích ngau nhiên , Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [5]K.R PARTHASARATHY, ”Probability measures on metric spaces”, Ams Chelsea Publishing, American Mathematical Society Providence, Rhode Island 65 PHU LUC Đ%nh lý Cho X mđt khụng gian Metric, A, B l đóng rài cua X Khi ton tai m®t hàm liên tnc f (x) X thóa mãn: 1) ≤1 2) = Neu ≤ f (x.) 0,x ∈ A f (x) 1,x ∈ B inf x∈A,y∈ B d (x, y) = δ > hàm f có the đưac CHQN liên tnc đeu Đ%nh lý Hàm d (x, A) thóa mãn bat thúc |d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y) Đ¾c bi¾t d (x, A) liên tnc đeu Đ%nh lý Hàm ϕ xác đ%nh Y l hm ắc trng cua mđt đ o M (X) ⇔ đieu ki¾n sau (1) ϕ (e) = 1; (2) ϕ liên tnc (3) ϕ xác đ%nh dương 66 ... ; 11.M (X): Khơng gian đ® đo xác suat X; 12.f|A : f han che A; 13.W: Đ® đo wiener Chương Đ® đo xác suat khơng gian Metric 1.1 Tính quy Chúng ta hieu m®t đ® o trờn mđt khụng gian Metric l mđt... (A )) = n 1.5 Liên h¾ giEa phiem hàm tuyen tính đ® đo e ta se nghiên cúu moi liên h¾ giua phiem hàm tuyen tính đ® đo Cho X m®t khơng gian metric C(X) không gian hàm thnc liên tuc b% ch¾n X Vói... Tụpụ yeu khơng gian đ® đo Cho X m®t khơng gian metric M(X) khơng gian đ® o trờn BX Mđt phan tu M(X) l mđt hm khụng õm, cđng tớnh em oc, đưoc xác đ%nh BX vói µ(X) = C(X) không gian hàm thnc , liên