Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nội trờng đại học khoa häc tù nhiªn - Nguyễn Thị Thu Quyên Mét sè khái niệm đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán Luận văn thạc sĩ khoa học H Ni 2013 Đại học quốc gia Hà Nội trờng đại học khoa học tự nhiên Nguyn Th Thu Quyờn Một số khái niệm đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Người hng dn: PGS.TS Phan Vit Th Luận văn thạc sĩ khoa häc Hà Nội - 2013 MỤC LỤC Mở đầu Chương Đại số Banach, đại số C * , đại số von Neumann Trang 6-11 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Đại số C * 1.3 Đại số von Neumann 10 12-38 Chương Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, không gian A-bất biến 2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái túy biểu diễn bất khả quy 2.3 Biểu diễn GNS Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation) 2.4 Phép đẳng cự phận, khai triển cực, tương đương phép chiếu 12 15 16 21 2.5 Tôpô lồi địa phương B(H) 24 2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt toán tử – vết, tiền đối ngẫu đại số von Neumann 26 2.7 Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa topo mạnh hình cầu đơn vị đại số von Neumann 31 Chương 3.1 Xác suất khơng giao hốn Nhắc lại số khái niệm xác suất cổ điển 42-57 42 3.2 Các không gian xác suất khơng giao hốn 3.3 Một số dạng khơng gian 3.4 Đại số p L khơng giao hốn 43 47 L∞ (Ω, F , µ , A) 49 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Luận văn nhằm giới thiệu khái niệm đại số von Neuman xác suất khơng giao hốn, khái niệm đời từ học lượng tử, ta coi xác suất khơng giao hoán xác suất lượng tử Cơ học lượng tử lý thuyết học, nghiên cứu chuyển động gần với vận tốc ánh sáng đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng, vật thể nhỏ bé, lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng tính chất hạt) thể rõ Lưỡng tính sóng hạt giả định tính chất vật chất, học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích Quan điểm xác suất sử dụng nhiều học lượng tử theo ngun lý Heisenberg ta khơng thể xác định xác đồng thời vị trí vận tốc hạt vi mô, không xác định quỹ đạo hạt chuyển động Thế nên người ta tìm cách tiên đoán xác suất để chúng miền xác định Cơ học lượng tử hình thành vào nửa đầu kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli số người khác tạo nên Có nhiều phương pháp tốn học mô tả học lượng tử, chúng tương đương với Một phương pháp dùng nhiều lý thuyết biến đổi, Paul Dirac phát minh nhằm thống khái quát hóa hai phương pháp tốn học trước học ma trận (củaWerner Heisenberg) học sóng (của Erwin Schrưdinger) Theo phương pháp tốn học mơ tả học lượng tử trạng thái lượng tử hệ lượng tử cho thông tin xác suất tính chất, hay cịn gọi đại lượng quan sát (đôi gọi tắt quan sát), đo Các quan sát lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), mơ men động lượng Các quan sát liên tục (ví dụ vị trí hạt) rời rạc Nói chung, học lượng tử khơng cho quan sát có giá trị xác định Thay vào đó, tiên đốn phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu kết từ phép đo định Trong cơng thức tốn học chặt chẽ học lượng Paul Dirac John von Neumann phát triển, trạng thái hệ học lượng tử biểu diễn véc tơ đơn vị (còn gọi véc tơ trạng thái) thể hàm số phức không gian Hilbert (cịn gọi khơng gian trạng thái) Khơng gian trạng thái vị trí xung lượng khơng gian hàm bình phương khả tích Mỗi quan sát biểu diễn toán tử tuyến tính Hermit xác định (hay tốn tử tự liên hợp) tác động lên không gian trạng thái Các nguyên tắc học lượng tử khái quát Chúng phát biểu không gian trạng thái hệ không gian Hilbert quan sát tốn tử Hermit tác dụng lên khơng gian Cơ học lượng tử đại đời năm 1925, Heisenberg phát triển học ma trận Schrưdinger sáng tạo học sóng phương trình Schrưdinger Sau đó, Schrưdinger chứng minh hai cách tiếp cận tương đương Heisenberg đưa nguyên lý bất định vào năm 1927 bắt đầu vào năm 1927, Paul Dirac thống lý thuyết tương đối hẹp với học lượng tử Ông người tiên phong sử dụng lý thuyết tốn tử, có ký hiệu Bra-ket hiệu tính tốn mô tả sách tiếng ông xuất năm 1930 Cũng vào khoảng thời gian John von Neumann đưa sở toán học chặt chẽ cho học lượng tử lý thuyết tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Nó trình bày sách tiếng ông xuất năm 1932 Các lý thuyết với nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành đứng vững ngày sử dụng rộng rãi Không gian xác suất khơng giao hốn mà đề cập cặp (,τ ) đại số von Neumann (trên không gian Hilbert khả ly), phiếm hàm tuyến tính liên tục yếu τ :  → biến đơn vị thành đơn vị, gọi vết thỏa mãn:  có tính dương: τ ( X ) ≥ X phần tử không âm, tức X = Y * Y; trung thành: τ ( X * X ) = X = 0; có tính vết: τ (XY) = τ (YX) Mối liên hệ ý tưởng với "xác suất" thông qua định lý sau: Với phân tử tự liên hợp X ∈  , tồn độ đo xác suất Borel µ X cho ( ) n n ∫ t µ X (dt ) = τ X   Như ta có khái niệm xác suất khơng giao hốn tương ứng: -đại lượng quan sát A ∈  : đại lượng ngẫu nhiên (khơng giao hốn); -trạng thái τ : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối; -đại số von Neumann trang bị trạng thái τ thỏa mãn (1-2-3): khơng gian xác suất (khơng giao hốn) Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm định nghĩa, ví dụ tính chất mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * đại số von Neumann Chương 2: “Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử ” Chương 3: Trình bày xác suất khơng giao hốn, nhắc lại số khái niệm xác suất cổ điển từ tiếp cận cách tổng quan kết khơng gian xác suất khơng giao hốn, khơng gian LP khơng giao hốn cho đại số von Neumann; ngồi định nghĩa số kết đại số L (Ω, F , µ , A) , đại số ∞ hoán von Neumann giới thiệu chương giao Hoàn thành luận văn này, trước tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đưa đề tài tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy thuộc khoa Tốn – Cơ – Tin học, Bộ mơn Xác suất thống kê, Phịng Đào tạo, Phòng Sau đại học – trường ĐHKHTN – ĐHQGHN thầy bên Viện Tốn học tận tình giảng dạy rèn luyện cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Cuối cùng, khả thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận bảo, hướng dẫn thầy góp ý bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thu Quyên CHƯƠNG ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C * , ĐẠI SỐ VON NEUMANN Chương coi chương trình bày số kiến thức bổ trợ, làm tảng để theo dõi trình bày chương sau Nội dung chương nhằm giới thiệu định nghĩa, số ví dụ tính chất với mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C* đại số von Neumann Về chất coi chúng khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, có định nghĩa thêm phép nhân (thường khơng giao hốn) “vectơ” tương thích với tơ pơ sinh từ chuẩn 1.1 Định nghĩa ví dụ Ta ln ký hiệu  trường số phức xét không gian tuyến tính trường phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử A khơng gian tuyến tính (phức) A có phép nhân: A → A ( x, y )  xy thỏa mãn tính chất sau: x(yz) = (xy)z (x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz α ( xy) = (α x ) y = x (α ∀x, y, z ∈ A,α ∈ y), Khi đó, A gọi đại số phức Hơn nữa, A không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn tính chất sau: xy ≤ x y ; (x ∈ A, y ∈ B) A chứa phần tử đơn vị cho x.1 = 1.x = x (x∈A) 1=1 A gọi đại số Banach 1.1.2 Nhận xét - Phép nhân nói chung khơng thiết giao hốn Nếu phép nhân giao hốn đại số (đại số Banach) giao hốn - Điều kiện quan trọng nói lên mối liên hệ phép nhân chuẩn Các điều kiện 5, cốt yếu Thật vậy, giả sử A không gian Banach thỏa mãn tính chất – Ta xét Ta đưa vào A1 cấu trúc tuyến tính thơng thường, phép nhân chuẩn xác định sau: ( x,α )( y,α ) = ( xy +α y + β x,αβ ) ( x, y ) = x + α Khi đó, điều kiện – thỏa mãn, phần tử đơn vị = (0,1) Với phép đẳng cấu đẳng cự x (x, đại số A với đại số đại số A1 , ta 0) xem A đại số đại số A đại số Banach -Phép nhân liên tục theo nghĩa: Nếu x → x, y → x y → xy n 1.1.3 Định nghĩa n n n y Giả sử A, B hai đại số phức Ta xét ánh xạ ϕ : A → B Nếu ϕ tuyến tính nhân tính theo nghĩa ϕ ( xy ) = ϕ ( x ) ϕ ϕ gọi đồng cấu Trường hợp ϕ đồng (y) cấu khả nghịch ϕ gọi đẳng cấu Nếu ϕ thêm tính liên tục, A, B đại số Banach ϕ gọi đồng cấu (đẳng cấu ϕ khả nghịch) hai đại số Banach Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy tính chất liên tục 1.1.4 Các ví dụ Bản thân trường số phức đại số Banach giao hoán với phép cộng nhân thông thường Giả sử K tập compact không gian tách Ký hiệu: A = C(k) = { f : k → liên tục } Ta định nghĩa: ( f + g ) u f (u ) + g (u ) = (α f )u = α f ( u ) f , g ∈C (k ) ( f g )u = f (u ).g (u ) f = max u ∈ K f (u ) Khi C(k) đại số Banach giao hốn; đặc biệt card(K) = n C(k) = n - không gian phức n chiều Giả sử H không gian Hilbert A = B(H,H) = B(H) với phép cộng, nhân tốn tử tuyến tính theo nghĩa thông thường A = sup Ah h =1 Khi đó, A đại số Banach – khơng giao hoán với phép nhân hai toán tử lấy ánh xạ hợp Ký hiệu l không gian dãy số phức khả tổng tuyệt đối x = ( , với ∞ chu x , −n ẩn: x = x , , x ) n ∑ x k k = − ∞ Khi đó, l1 không gian Banach Ta định nghĩa phép nhân chập l1 sau: z=x∗y với Và ta xác định không gian hàm lũy thừa p-khả tích Lp Trong xác suất khơng giao hốn lý thuyết đại số tốn tử nói chung hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất cổ điển Sau xin giới thiệu cách tóm tắt ý tưởng định lý khơng gian Lp khơng giao hốn cho đại số von Neumann Chúng ta theo dõi phần trình bày Nelson: Cho A đại số von Neumann với vết τ nửa hữu hạn, chuẩn tắc, trung thành Cho M 2= M Do đó: M = ∑ y {x ∈ A :τ ( x x) < ∞} Ta * :x,y∈ x M ideal hai phía A ideal Có thể M gồm ,m } ∈* m { i=1 i i i i tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử x A+ với τ ( x ) < ∞ phần tử tạo thành M ∩ A+ Do đó, τ mở rộng thành phiếm hàm τ ( xy ) = τ ( với tuyến tính M (ta kí hiệu mở rộng τ ) x, y ∈ M Với ≤ p < ∞ x ∈ M ta đặt x = τ với ( x p) p yx) Có thể chứng minh rằng, p 1 x, y ∈ M + = , ta có bất đẳng thức Holder: p q τ ( xy) ≤ x p y q Tất nhiên, điểm chủ yếu định lý không gian Lp giao hoán Từ bất đẳng thức Holder ta thu bất đẳng thức Minkowski: x+y p ≤ x p + y p, x, y ∈ M Do M khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn Gọi Lp ( A,τ không gian Banach bổ sung ) Chúng ta ý rằng, ≤ x ∈ M với biểu diễn phổ: p khơng x = ∫ λe(dλ thì, với ε > , ta có: ∞ ) ∞ p p p x= p τ ()px= λ) ) τ≥ (εep( d λ λ e ( d λ ) ≥ ε τ ( e ( ε ,∞ ) )  n Từ suyp rằng: {x } ε  ∫ ∫   trong M dãy Cauchy chuẩn p dãy Cauchy độ đo Do có ánh L ( p xạ tự nhiên liên tục o A,τ ) A Ta chứng minh ánh xạ đơn ánh, Lp ( A,τ ) coi khơng gian toán tử đo luỹ thừa p, khả tích τ Ta đồng A L ( A,τ ) Hơn nữa, với < p < ∞ , + L L Ta p q với = , đối ngẫu có ∞ p q thể đồng L với tiền đối A A A với đối 1( ngẫu ngẫu A,τ ) * L1 ( A,τ ) sánh với định nghĩa 2.7.6 Điều hồn tồn tương tự với trường hợp cổ điển 3.4 Đ ại L∞ (Ω, F, µ, A) số 3.4.1 Định nghĩa Cho A đại số von Neumann với tiền đối ngẫu khả ly (điều tương đương với giả thiết A tác động không gian Hilbert khả ly) Cho (Ω, F , µ) khơng gian đo hữu hạn (s o M ộtF gọi hà: µ - đo mΩ σ - yếu → với A * * số F = µ ω x* đo ∈ ( ( Ω ω Kí F hiệu → ( ) ω , x )) x ∈ A, hà m L∞ (Ω, F , µ, Fk ∈ L∞ (Ω, F , µ ) chứng minh F ⊗ x → ánh xạ F (ω ) × A) khơng gian gồm tất hàm bị chặn cốt yếu µ - đo σ - yếu F : Ω → A với chuẩn: = sup ess ω∈Ω F (ω ) T L í ∞ c (Ω, đồng h F , với tập hợp hàm µ t ) e⊗ nA x đ i s ố số: ∑ Fk ⊗ xk = ∑ Fk (ω )x, k k Ta k * ∞ L∞ (Ω, F , µ , A) x ∈ A , tức với tập A F ( F ∈ L (Ω, F , µ ) , x ∈ A) ∞ mở rộng thành * - đẳng cấu tích ten-xơ đại số von Neumann L∞ (Ω, F, µ )⊗A lL L ∞ ∞ ê Ω, ( n ( đại số F, Ω von µ, , Neuma A) F nn , (dưới T µ phép r , nhân ưA n ) g h ợ p đ ặ c b i ệ t , theo điểm ) T iề n đ ối n g ẫ u c L1 (Ω, F , µ, A* ), không gian Banach tất hàm A* - giá trị Bochner µ - khả tích Ω, đối ngẫu cho công thức: x, = ∫ x (ω ) , y (ω ) x ∈ L∞ (Ω, F , y ∈ L1 (Ω, F , µ, A* ) y µ , A) , µ (dω ) , Ω Để chứng minh xem ví dụ Sakai Đại số giao hoán von Neumann 3.4.2 Định nghĩa Cho A đại số von Neumann giao hoán Một character ω A ánh xạ tuyến tính khác 0, ω : A →  A vào tập số phức  cho: ω ( xy) = ω ( x ) ω ( y ) , ∀x, y ∈ A Tập tất character ο ( A) A ký hiệu gọi phổ A 3.4.3 Bổ đề Nếu ω đặc số đại số von Neumann giao hốn A với x ∈ A , ω ( x ) ∈ σ ( x) - phổ x Chứng minh Giả sử λ ∉σ ( x ) Khi (λ.1 với vài y hệ −x) y=1 ω (λ.1 − x )ω ( y ) = ω (1) = 1; ( λ − ω ( x ))ω ( y ) = ω ( x ) ≠ λ ⇒ ω ( x ) ∈ σ ( x) 3.4.4 Bổ đề Một trạng thái ω đại số von Neumann giao hoán A túy ω ( xy ) = ω ( x ) ω ( y ) Chứng minh Theo định lý 2.3.5, biểu diễn A liên kết với ω bất khả cyclic π ω quy ω trạng thái túy Nhưng π ω (do A giao hoán ) Vì ( A) ⊂ π ω ( A) ' ( bất khả quy HHω ω chiều (vì dim , Hω > tồn π ω ) phép chiếu khơng tầm thường p π ω ( A) ' bất biến) cho theo định lý 2.1.2 p ( Hω A – ) Tr ( on đ g p tr c ườ m ng ) hợ p nà y ω ( xy ) = π ( x π ( y ) = ω ( x ω ( y ) 3.4.5 Bổ đề Cho ω + (1 − λ )ω với phiếm hàm tuyến tính khác đại số giao hoán von Neumann A Các điều kiện sau tương đương: 10, ω đặc số A 20, ω trạng thái túy A Chứng minh 10 ⇒ 20: Theo bổ đề 3.4.3 ω một1 phần tử i A* với ω ≤ chuẩn Nhưng ω < λ < Nhưng ω ( x * x ) ≤ x x = λω ( x* x ) + (1 − λ )ω ( x* x ) Điều có ( x x) = thể2 ω * ω ( x* x ) = x ω ,ω ∈ E Vì ω (1) = ω trạng thái điểm cực biên E kéo theo ω = ω = ω Do ω điểm cực biên tập tất trạng thái Theo bổ đề 3.4.4 ω trạng thái túy 20 ⇒ 10: Suy từ bổ đề 3.4.3 3.4.6 Định lý Cho x phần tử tùy ý đại số von Neumann A Tồn trạng thái túy ω A cho:ω ( x x * ) =x2 Chứng minh Kí hiệu E tập tất trạng thái φ A với tính φ ( Th chất x* x ) eo = x định lý Hahn – Banach E không rỗng (ta mở rộng phiếm hàm ((α + β x x) → α + β x ) Hơn nữa, E * A Do ω trạng thái túy 3.4.7 Định lý Cho A đại số von Neumann giao hoán Phổ ο củ a (A đư A ợc ) trang bị topo* yếu kế * thừa từ đối ngẫu A không gian Hausdorff compact A * - đẳng cấu với đại số C tập lồi, yếu * - đóng tập tất (σ ( A)) hàm trạng thái A Do E yếu * compact Theo định lý Krein – Milman, E có liên tục σ ( A) điểm cực biên Coi ω điểm cực biên Giả sử ω = λω Chứng minh Tính compact yếu * σ ( A) suy từ kết giới hạn yếu * ω tập hợp có tính chất nhân đặc số ωα Để chứng minh phần thứ hai định lý, với x ∈ A , x = x (ω ) = ω ( x) ω ∈σ ( A), đặt: Rõ   =  ràn x y (ω ) x (ω ) y (ω ) Hơn nữa: g ta có x = s x s x* x x (theo định lý 3.4.6) u ω u ω) ( ( p p ω∈ ω∈ = )2 σ( A) = σ( A) Dx o → xác định đồng cấu A vào không gian hàm phức x v  ậ y liên tục x Tín h x suy ο ( A) trang bị topo từ yếu * từ định nghĩa = x (ω ) c x ω ( x) Rõ tách điểm σ ( A) ủ a  ràng, hàm x Do tập hàm x ( ω ) cho toàn định lý Stone – C (σ Weierstrass ( A)) 3.4.8 Định lý Cho A đại số von Neumann nửa hữu hạn giao hốn Khi A * - đẳng cấu với L∞ (σ ( A ) , µ ) , đại số von µ độ Neumann đo Radon C (σ ( A )) Chứng minh Theo định lý 2.7.14 tồn trạng thái φ chuẩn tắc trung thành A Theo định lý 3.4.7, A đẳng cấu với C (σ ( A)) Theo định lý biểu diễn Riesz, trạng thái φ xác định độ đo Radon µ Ω cho: φ ( x) = ∫ x (ω )µ (dω ) , x∈ A Ω Tξ : x ω L∞ (σ ( φ a → x ∈ ánh xạ từ c A), µ ) A vào oi(ω ) ; σ ( Từ φ A) trung thành chuẩn tắc, ξφ xác định * L∞ (σ ( A ) , - đẳng cấu µ ) A lên 3.4.9 Chú ý Tất vấn đề nói đến mục trước định lý cuối chứng minh (khơng có thay đổi nào) lớp tổng quát * C - đại số giao hoán Từ chứng minh định lý cuối ta thấy rõ tập compact ο( A) đặc biệt Thật vậy, ο ( A) trường hợp gọi không gian siêu Stonean Nếu A khơng nửa hữu hạn ta chứng minh A * - đẳng cấu với L∞ khơng gian khả địa phương (tích trực tiếp không gian độ đo hữu hạn) KẾT LUẬN Trong học lượng tử, C * - đại số biết đến đối tượng toán học hàng đầu để mơ hình hóa đại số đối tượng vật lý quan sát Bắt đầu cho hướng nghiên cứu Heisenberg với học ma trận, phát triển dạng toán học Pascual Jordan năm 1933, sau John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu xây dựng lớp đặc biệt C * - đại số, gọi đại số von Neumann Từ khái niệm đại số dùng học lượng tử dẫn đến ý tưởng xây dựng không gian xác suất khơng giao hốn gọi C* - khơng gian xác suất hay W* - không gian xác suất Luận văn trình bày số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn Ngồi ra, tương ứng với khái niệm như: biến ngẫu nhiên X, luật xác suất PX , kỳ vọng E(X) , moment, độ đo – tích phân xác suất cổ điển, luận văn trình bày số khái niệm kết xác suất khơng giao hốn Vấn đề đề cập đến luận văn tương đối khó xác suất đại, mối quan hệ chặt chẽ đại số toán tử, vật lý lượng tử xác suất Vì tơi cố gắng để tìm hiểu, tổng hợp hệ thống vấn đề có liên quan đến nội dung đề tài luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế Tôi mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để đề tài bổ sung hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Viết Yên – Nguyễn Duy Tiến (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Viết Phú – Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến (2000), Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất thống kê, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Ryszard Jajte (1985), Strong Limit Theorems in Non – Commutative Probability, Springer – Verlag, Berlin New York Tokyo R.V.Kadison (1952), A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras, Ann Math 56,(494 – 503) E.Nelson (1974), Notes on non – commutative, J.Funct Anal.15 (103 – 116) S.Sakai (1971), “ C* - algebras and W* - algebras”, Berlin – Heidelberg – New York: Springer – Verlag I.E Segal (1953), A non – commutative extension of abstract integration, Ann Math 57 (401 – 457) 10 S.Stratila and L.Zsido (1979), “Lectures on von Neumann algebras”, Bucharest, Editura Academici 11 M.Takesaki (1979), “Theory of operator algebras I” Berlin – Heidelberg – New York: Springer – Verlag 12 F.J Yeadon (1975), Non – commutative Phil.Soc.77 (91 – 102) - spaces, Proc Cambridge 13 Cơ học lượng tử http://www4.hcmut.edu.vn/~huynhqlinh/project/VatlyLuongtuDC/chuong3A.htm#I-1 14 Quantum mechanics –Wikipedia The free encyclopedia en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics ... tính chất mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * đại số von Neumann Chương 2: ? ?Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử... 1.2 Đại số C * 1.3 Đại số von Neumann 10 12-38 Chương Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử Mở đầu, hoán tập ,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, ... xác suất CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ Mở đầu, hoán tập ,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, không gian A-bất