Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRƯƠNG TH± LIÊN CAU TRÚC ĐAI SO CUA đ O XC SUAT LUắN VN THAC SY TON HOC Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC Mã so: 60.46.01.06 Ngưài hưáng dan khoa HQC TS NGUYEN TH±NH HÀ N®I - NĂM 2014 Mnc lnc LèI NÓI ĐAU LèI CAM ƠN KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đai so Bool 1.1.1 Đong cau 1.1.2 Tính Dedekind đay đn 1.1.3 Bao hình (Upper envelopes) 10 1.1.4 Chuoi đieu ki¾n đem đưoc 10 1.1.5 Hàm c®ng tính đai so Bool 11 1.1.6 Đai so thương 11 1.2 Đ® đo đai so 12 1.2.1 Nguyên tac phân loai cna đ® đo đai so 12 1.2.2 Tích đơn 13 1.2.3 Topo cna đ® đo đai so 13 1.2.4 Đong cau 13 1.2.5 Phiem hàm c®ng tính đ® đo đai so 14 1.3 Nguyên tac phân loai cna khơng gian đ® đo 14 1.3.1 Đ%a phương hóa ng¾t 14 1.3.2 Nguyên tu phi nguyên tu 15 1.4 Đ%nh lý trù m¾t cna Lebesgue 15 1.5 Đ%nh lý Radon-Nikodym 16 1.5.1 Đ%nh lý Radon-Nikodym 16 1.5.2 Kỳ vQNG có đieu ki¾n 16 1.6 Tích vơ han 17 1.7 Đ%nh lý Vitali Rr 17 1.8 Matingle 18 1.9 Không gian Riesz 18 1.9.1 Khơng gian tuyen tính đưoc sap tùng phan 18 1.9.2 Không gian Riesz 19 1.9.3 Dai 19 1.9.4 Không gian Acsimet 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet 1.9.6 Không gian đoi ngau 1.10 Không gian hàm 1.10.1 Không gian L0 1.10.2 Suprema infima L0 1.10.3 Dai L0 1.11 Tiên đe cHQN bő đe Zorn 1.11.1 Tiên đe cHQN 1.11.2 Bő đe Zorn 19 20 20 21 21 21 21 22 бNH LÝ MAHARAM 2.1 Sn phân loai đ® đo đai so thuan nhat 2.1.1 Nguyên tu tương đoi 2.1.2 Loai Maharam 2.1.3 Đai so Bool thuan nhat 2.2 Phân loai đ® đo đai so đ%a phương 2.2.1 Đ%nh lý Maharam 2.2.2 Te bào (The cellularity) cna đai sô Boolean 23 23 23 27 35 35 35 37 бNH LÝ PHÉP NÂNG 3.1 Phép nâng 3.2 Mắt đ dưói 3.3 Đ%nh lý phép nâng 44 44 45 47 22 22 бNH LÝ KWAPIEN 56 4.1 Tốn tu tuyen tính dương tù khơng gian L đen không gian Riesz Acsimet 56 4.2 Toán tu tuyen tính dương đ® đo đai so nua huu han 58 KET LU¾N 65 Tài li¾u tham khao 66 LèI NÓI ĐAU Chúng ta đưoc HQc tìm hieu m®t so cau trúc đai so ban nhóm, vành, trưịng, Mo r®ng lên chút nua tìm hieu ve cau trúc đai so cna đ® đo xác suat phúc tap rat nhieu đai so Borel, đai so Bool, đ® đo đai so, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm Lu¾n văn trình bày ba đ%nh lý mà tơi thay rat hay lý thuyet đ® đo: Đ%nh lý Maharam, đ%nh lý phép nâng, đ%nh lý Kwapien Ngoài phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn chia làm bon chương: Chương 1: Kien thÉc chuan b% Chương trình bày nhung kien thúc ban ve đai so Boolean, đ® đo đai so Phan cuoi cna chương tơi giói thi¾u ve khơng gian Riesz Chương 2: Đ%nh lý Maharam Phan đau cna chương đ%nh nghĩa mô ta ’sn thuan nhat’ cna đ® đo xác suat Phan sau trình bày đưoc đ%nh lý quan TRQng Maharam sn phân loai cna đ® đo đai so Chương 3: Đ%nh lý phép nâng Chương ny trỡnh by oc phộp nõng v mắt đ dúi, khụng gian %a phng húa ngắt cú mắt đ dúi Xõy dnng phộp nõng tự mắt đ Phan cuoi cna chương mơ ta khơng gian đ%a phương hóa ng¾t đay đn se có phép nâng Chương 4: Đ%nh lý Kwapien Chương trình bày m®t so van đe tương đoi ban liên quan tói tốn tu tuyen tính dương tù không gian L0 đen không gian Riesz Ascimet Sau chuyen sang m®t phân tích rat quan TRQNG cna Kwapien ve tốn tuyen tính dương tù khơng gian L0 đen khơng gian L0 cna đ® đo đai so nua huu han LèI CAM ƠN Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nghiêm khac t¾n tình chi bao cna TS Nguyen Th%nh Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen ngưịi thay cna Qua đây, tơi xin gui tói thay Khoa Tốn- Cơ- Tin HQc, Trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao hQc 2011- 2013, lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot trình giáo duc đào tao cna nhà trưịng Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè tat ca MQI ngưòi quan tâm, tao ieu kiắn, đng viờn c v tụi e tụi hon thnh nhiắm vu cna mỡnh H Nđi, Thỏng năm 2014 Chương KIEN THÚC CHUAN B± Đe tìm hieu phan cna lu¾n văn: Đ%nh lý Maharam, đ%nh lý phép nâng đ%nh lý Kwapien, can m®t lưong kien thúc ban đưoc trình bày dưói Chương khơng sâu nghiên cúu chi tiet mà chi cung cap kien thúc đe chuan b% cho chương sau nên phan kien thúc đưoc trình bày có le rịi rac 1.1 Đai so Bool Đ%nh nghĩa 1.1.1 +) Vành Bool vành (A, +, ) a2 = a, ∀a ∈ A +) Đai so Bool vành Bool A vói đong nhat nhân = 1A Trong trưòng hop ta chap nh¾n = Bo đe 1.1.2 Cho A vành Bool, I ideal cua A a ∈ A\I có m®t đong cau vành φ : A → Z2 cho φa = φd = 0, ∀d ∈ I 1.1.1 Đong cau +) Đai so con: Cho A đai so Bool Đai so cna A có nghĩa vành cna A có chúa đong nhat nhân = 1A M¾nh đe 1.1.3 Ideal đai so Bool Neu A đai so Bool, t¾p I ⊆ A ideal cua A chs ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I bat kỳ a ∈ I vái MQI b ∈ I, a ⊆ b +) Đong cau Bool: Đong cau Bool có nghĩa hàm π : A → B đong cau vành π (1A) = 1B M¾nh đe 1.1.4 Cho A, B, E đai so Bool a) Neu π : A → B đong cau Bool π (A) đai so cua B b) Neu π : A → B θ : B → E đong cau Bool θπ : A → E đong cau Bool c) Neu π : A → B đong cau Bool song ánh π−1 : B → A đong cau Bool M¾nh đe 1.1.5 Cho A, B đai so Bool hàm π : A → B Khi ta có đieu sau tương đương: i π đong cau Bool ii π (a ∩ b) = πa ∩ πb π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈ A iii π (a ∪ b) = πa ∪ πb π (1A\a) = 1B\πa, ∀a, b ∈ A iv π (a ∪ b) = πa ∪ πb πa ∩ πb = 0B, a, b ∈ A, a ∩ b = 0A, π (1A) = 1B Bo đe 1.1.6 Cho A đai so Bool A0 đai so cua A Cho c phan tu bat kỳ cua A A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } đai so cua A Khi A1 GQI đai so cua A sinh bái A0 ∪ {c} Bo đe 1.1.7 Cho A, B đai so Bool A0 đai so cua A π : A0 → B đong cau Bool c ∈ A Neu v ∈ B cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 a ⊆ c ⊆ b có nhat m®t đong cau Bool π1 tù A1 cua A sinh bái A0 ∪ {c} cho π1 thác trien cua π π1c = v Chỳng ta se cú mđt so khỏi niắm quan TRQNG Đ%nh nghĩa 1.1.8 : Cho P t¾p đưoc sap riêng phan C t¾p cna P a C có hưóng lên (upwards-directed) neu vói p, pJ ∈ C bat kỳ có q ∈ C cho p ≤ q pJ ≤ q Túc neu t¾p bat kỳ khơng rong huu han cna C đeu có c¾n C Tương tn, C có hưóng xuong (downwards-directed) neu p, pJ ∈ C bat kỳ có q ∈ C cho p ≤ q q ≤ pJ Túc t¾p bat kỳ khơng rong huu han C đeu có c¾n dưói C b C đóng có thú tn neu sup A ∈ C vói moi A t¾p khơng rong có hưóng lên cna C cho supA đưoc đ%nh nghĩa P inf A ∈ C vói moi A t¾p khơng rong có hưóng xuong cna C cho infA đưoc xác đ%nh P c C dãy đóng có thú tn neu supn∈Npn ∈ C vói moi (pn)n∈N dãy khơng giam C cho supn∈Npn đưoc xác đ%nh P, infn∈Npn ∈ C vói moi (pn)n∈N dãy khơng tăng C cho infn∈Npn đưoc xác đ%nh P d Bao toàn thú tn: Cho P Q t¾p đưoc sap riêng phan φ : P → Q hàm bao toàn thú tn neu φ (p) ≤ φ (q) Q vói p ≤ q P e Ta nói rang φ liên tuc có thú tn neu i φ (sup A) = sup φ (p) vói moi A t¾p khơng rong có hưóng lên cna P p∈A supA đưoc xác đ%nh P ii φ (inf A) = inf φ (p) vói moi A t¾p khơng rong có hưóng xuong cna P p∈A infA đưoc xác đ%nh P f φ dãy liên tuc có thú tn ho¾c σ liên tuc có thú tn neu: i φ (p) = sup φ (pn) vói (pn)n∈N dãy không giam P p = supn Npn P n∈N ii φ (p) = inf φ (pn) vói (pn)n∈N dãy khơng tăng P p=infn∈Npn P n∈ N g T¾p D ⊆ A vói A đai so Bool trù m¾t có thú tn neu ∀a ∈ A, a ƒ= có d ƒ= 0, d ∈ D cho d ⊆ a h T¾p Cofinal i C cofinal vói P neu MQI p ∈ P có q ∈ C cho p ≤ q ii Cofinality cna P (ký hi¾u cf(P)) lnc lưong nho nhat cna t¾p cofinal bat kỳ cna P M¾nh đe 1.1.9 Cho A đai so Bool a Neu e ∈ A A ⊆ A t¾p khơng rőng cho supA đưac xác đ%nh A sup {e ∩ a : a ∈ A} đưac xác đ%nh bang e ∩ sup A b Neu e ∈ A A ⊆ A t¾p khơng rőng cho infA đưac xác đ%nh A inf {e ∪ a : a ∈ A} đưac xác đ%nh bang e ∩ infA c Gia su rang A, B ∈ A t¾p khơng rőng supA, supB đưac xác đ%nh A sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} đưac xác đ%nh bang sup A ∩ sup B d Gia su rang A, B ∈ A t¾p khơng rőng infA, infB đưac xác đ%nh A inf {a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} đưac xác đ%nh bang infA ∪ infB Bo đe 1.1.10 Neu A đai so Bool D ⊆ A trù m¾t có thú tn vái a ∈ A bat kỳ có t¾p rài C ⊆ D cho sup C = a Nói riêng: neu a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} có phân hoach đơn v% C ⊆ D 1.1.2 Tính Dedekind đay đu Đ%nh nghĩa 1.1.11 : Cho P t¾p đưoc sap riêng phan a P Dedekind đay đn ho¾c tớnh ay n cú thỳ tn hoắc ay n mđt cách có đieu ki¾n neu MQI t¾p khơng rong cna P có c¾n có c¾n nho nhat φ boi công thúc φ (E) = θE•, ∀E Chúng ta có đ%nh lý quan TRQNG cna chương Đ%nh lí 3.3.6 Đ%nh lý phép nâng MQI khụng gian đ o %a phng húa ngắt ay u cua đ® đo khác có phép nâng Chúng minh Tự %nh lý 3.3.3 nú cú mắt đ dúi tù m¾nh đe 3.3.5 có phép nâng Chương бNH LÝ KWAPIEN Trong đòi song hàng ngày tốn HQc, ln tìm MQI cách đe chuyen nhung van đe phúc tap thành nhung van đe đơn gian, de hieu de v¾n dung Đ%nh lý Kwapien v¾y, chuyen moi quan h¾ giua tốn tu tuyen tính dương khơng gian L0 theo cách nhìn nh¾n đơn gian 4.1 Tốn tE tuyen tính dương tÈ khơng gian L0 đen khơng gian Riesz Acsimet Đ%nh lí 4.1.1 Cho A đai so Bool Dedekind δ -đay đu W không gian Riesz Arcsimet Neu T : L0 (A) → W tốn tu tuyen tính dương T dãy liên tnc có thú tn Chúng minh: a) Bưóc 1: Quan sát rang neu (un)n∈N dãy không tăng L0 = L0 (A) vói inf=0 ε > {n (un − εu0) : n ∈ N} b% ch¾n L0 Th¾t v¾y Vói k ∈ N, t¾p ak = sup [ n (un εu0) > k] n∈N T¾p a = infk∈N ak Neu có the gia su rang a ƒ= Vì un ≤ u0, nên n (un − εu0) ≤ nu0, ∀n Và a ⊆ a0 ⊆ [ u0 > 0]] = [ εu0 > 0]] = sup [ εu0 un > 0]] n∈N − Khi đó, có m ∈ N cho aJ = a ∩ [ εu0 − um > 0]] ƒ= vói moi n ≥ m , vói moi k ∈ N aJ ∩ [ n (un − εu0 ) > k] ⊆ [ εu0 − um > 0]] ∩ [ um − εu0 > 0]] = Nhưng aJJ ⊆ sup [ n (un εu0 ) > k] = [ v > k] n∈N Vói v = sup n (un − εu0 ) đieu có nghĩa inf [ v > k] ⊇ aJ k∈N n∈N Vô lý Suy a=0 {n (un − εu0) : n ∈ N} b% ch¾n b) Gia su rang (un)n∈N khơng tăng L0 vói inf = w ∈ W b% ch¾n dưói {Tun : n ∈ N}, ε > bat kỳ theo a T¾p {n (un − εu0) : n ∈ N} b% ch¾n dưói L0 Vì T dương nên w ≤ Tu n = T (un − εu0 ) + T (εu0 ) ≤ T Σ v + T (εu0 ) =n1 T v + εT u0 , vói n Vì w Acsimet nên w ≤ εT u0 Nhưng đieu vói MQI MQI n ≥ ε > 0, ω ≤ w bat kỳ, inf Tu n = Dãy (un) n∈ bat kỳ nên T dãy liên tuc có thú tn n∈N N M¾nh đe 4.1.2 Cho A đai so Bool Dedekind δ đay đu,phi nguyên tu L0(A)x = {0} Chúng minh Có the gia su rang h : L0 (A) → R phiem hàm tuyen tính dương liên tuc có thú tn khác có u > L0 cho h(v) > , < v < u (bő đe 1.10.3) Vì A phi nguyên tu, có (an) n∈ N dãy ròi cho an ⊆ [ n > 0]] moi n, un = u×χa > n −1 um ∧ un = Neu m = n v = sup n(h (un)) un đưoc xác đ%nh L (bő n∈N đe 1.10.4) Và h (v) ≥ n, ∀n Vơ lý Đ%nh lí 4.1.3 Cho A đai so Bool Dedekind đay đu, W không gian Riesz Acsimet, T : L0 (A) → W đong cau Riesz liên tnc có thú tn V = T (L0 (A)) không gian Riesz đóng có thú tn cua W Chúng minh Hat nhân U cna T m®t dai L0 = L0 (A) Và phép chieu m®t dai L0 Dedekind đay đn Tù U + U⊥ = L0 ,T [U ] + T UΣ⊥ = ΣV , ta có T U⊥ =ΣV, U ∩ U⊥ = {0} Σ T cau giua U⊥ V Gia su rang A ⊆ V có hưóng lên có c¾n dưói nho nhat Vói w ∈ W B = u : u ∈ U ⊥ , Tu ∈ B có hưóng lên T [B] = A Khi đó, t¾p B b%Σch¾n L0 Th¾t v¾y Neu B khơng b% ch¾n {u+ : u ∈ B} khơng b% ch¾n nghĩa có u0>0 L0 cho nu0 = sup nu0 ∧ u+, ∀n N (bő đe1.10.4) u∈B ∈ ⊥ Tù B ⊆ U , u0 ∈ U⊥ Tu0 > T đong cau Riesz liên tuc có thú tn nên nTu0 = sup T (nu0 ∧ u+) = sup nTu0 ∧ v+ ≤ ω+, ∀n ∈ N u∈B v∈A Đieu không Suy B l b% chắn trờn L0 Tắp uì = sup B Tu × = sup A = ω, ω ∈ V ,A tùy ý Suy V đóng có thú tn H¾ qua 4.1.4 Cho W không gian Riesz Acsimet V không gian Riesz trù m¾t có thú tn cau L0(A), cho W đai so Bool Dedekind đay đu bat kỳ W=V 4.2 Tốn tE tuyen tính dương đ® đo đai so nEa hEu han Bây giị ta đen m®t ket qua sâu sac nhat cna phan liên quan đen tốn tu tuyen tính dương tù L0 (A) → L0 (B), o B đ® đo đai so Trưóc tiên ta se tiep c¾n qua m®t vài bő đe quan TRQNG Sau ta có đ%nh nghĩa rat huu ích Đ%nh nghĩa 4.2.1 Cho A, B đai so Bool Ta nói rang hàm φ : A → B δ đong cau dưói neu φ (a ∪ aJ ) = φ (a) ∪ φ (aJ ) , ∀a, aJ ∈ A inf φ (an) = n∈N Vói (an)n∈N dãy khơng tăng A vói inf = Bo đe 4.2.2 Cho A, B đai so Boolean φ : A → B δ đong cau dưái a) φ (0) = 0, φ (a) ⊆ φ (aJ ) , a ⊆ aJ φ (a) \φ (aJ ) ⊆ φ (a\aJ ) , a, aJ A b)Neu à, l đ o cho (A, à) , (B, ) l đ đo đai so hồn tồn huu han ∀ε > 0, có δ > cho νφ(a) ≤ ε, µ(a) ≤ δ Chúng minh a) ∀an = 0, theo đ%nh nghĩa infφ (0) = ⇒ φ(0) = 0, hai thúc h¾ qua trnc tiep cna thúc trưóc b) Đoi chieu m¾nh đe 1.5.2, gia su ngưoc lai Khi đó, vói MQI n ∈ N có an ∈ A cho µan ≤ 2−n, νφ(an) ≥ ε T¾p cn = supi≥nai, ∀n (cn)n∈N dãy khơng tăng có inf = (tù µcn ≤ 2−n+1, ∀n) νφ(cn) ≥ ε, ∀n Như v¾y, inf φcn ƒ= n∈N Bo đe 4.2.3 Cho (A, µ) , (B, ν) đ® đo đai so huu han hoàn toàn φ : A → B δ đong cau dưái Thì ∀b0 ∈ B, b0 =ƒ b0 , b có b ⊆ m ∈ N cho b inf φ (aj) = j≤m vái a0, a1, ., am ∈ A rài Chúng minh Gia su rang A phi nguyên tu v à1 = Tắp = b0 v cho m ≥ cho νφ (a) ≤ ε, µa ≤ m Chúng ta can biet: Σ m −m ≤ 21 Σ 1 (vì neu m ≥ : ln m − ln(m − 1) ≥ ⇔ m ln(1 − ) ≤ (−1) ≤ (− ln 2)) m m inf φ (aj) : a0, a1, , am∈ Aròi Đ¾t C j≤m Σ = Gia su rang b0 ⊆ sup C b0 ∩ sup ci ≥ 4ε i≤k Thì có c0, c1, , ck ∈ C cho ν Moi i ≤ k cHQN dãy ròi ai0 , , aim ∈ A cho ci = inf φ (aij ) j≤ m {a : i ≤ k, j ≤ m} D Cho D nguyên tu cna đai so huu han cna A sinh boi ij phân hoach đơn v% huu han A, MQI aij phan tu ròi cna D T¾p p = # (D) moi d ∈ D lay cnc đai cna t¾p rịi Ed ⊆ ,e : e ⊆ d, µe = , µ (d\ sup Ed) < 1p T¾p d∗ = sup d∈ E ) = sup (d\sup Ed) p m ∗ ( SD d dD 1/m m àd l bđi cna 1/pm v nho hn Cho E* l đ o phan tu ròi cna S ∗ S ± d lay E = E ∗ ∪ Ed , E phân hoach đơn v% cna A d∈ Ta có µe = p m , ∀e ∈ E vàD aij \d∗ hop noi phan tu chúa E ∀i ≤ k, j ≤ m ∀K ∈ K, (mp) ! K = {K : K ⊆ E, # (K) = p} , M = # (K) = p!(mp−p)! µ (sup K) = 1m, νφ (sup K) ≤ ε Σ ∫ Chúng ta có t¾p v = K∈K χφ (sup K) , v ≤ εM M¾t khác: ν b0 ∩ sup c Σ ≥ 4ε, νφ (d∗ ) ≤ ε νb1 ≥ 3ε vói b1 = b0 ∩ sup ci \φ (d∗ ) i≤ i k ∫ Tương tn: v ≤ Mνb b2 = Σ Σ b1 ∩ v < M ƒ= i≤k Vì b2 ⊂ b1, có i ≤ k cho b2 ∩ ci ƒ= b2 ∩ ci ⊆ ci \φ (d∗ ) = inf φ (aij ) \φ (d∗ ) ⊆ inf φ (aij \d∗ ) j≤m j≤m Nhưng ∀aij \d∗ hop noi phan tu chúa E b2 ∩ ci ⊆ infφ (aij \d∗ ) ⊆ infφ (sup {e : e ∈ E, e ⊆ aij }) = inf sup {φ (e) : e ∈ E, e ⊆ aij } = sup {infφ (ej) : e0, e1, , em ∈ E, ej ⊆ aij, ∀j} Có e0 , e1 , , em ∈ E cho ej ⊆ aij moi j b3 = b2 ∩ inf φ (ej ) =ƒ Vì ai0 , , aim j≤ m rịi nhau, e0, , em khác Đ¾t J = {e0, , em} Thì bat kỳ K ∈ K K ∩ J ƒ= ∅ , b3 ⊆ φ (sup K) Vắy chỳng ta se tớnh đ lún cna K1 = {K : K ∈ K, K ∩ J =ƒ ∅} Đieu (mp−m−1)! M − p! =Σ M − (mp−p−m−1)! Nhưng nghĩa b3 ⊆ v ≥ M Σ Σm+1 mp−p ≥ΣM − m ≥ p v< M (mp−p)(mp−p−1) (mp−p−m) Σ mp(mp−1) (mp−m) Σ b3 ⊆ Σ 2 Suy mâu thuan V¾y b0 ƒ⊂ sup C lay b = b0\ sup C b)Bây giò chúng minh cho trưòng hop tőng quát Cho A t¾p nguyên tu cna A d = b1 0, n ∈ Th¾t v¾y N cho b1 sup A Ad phi ngun tu, v¾y có b1 ⊆ b0, inf φ (aj) = 0, a0, , an ∩ j≤n ∈ Ad rịi Neu µd > tù a) áp dung cho φ [Ad ] (µd)−1 µ\Ad Neu µd = có the cHQN b1 = b0 , n = Cho δ > cho νφ (a) < νb1, µa ≤ δ Cho A1 ⊆ A t¾p huu han cho µ (sup A1) ≥ µ (sup A) − δ t¾p r = # (A) , M d∗ = sup (A\A1) µd∗ ≤ δ, b = b1\φ (d∗) ƒ= Vói m=n+r Neu a0, , am rịi có nhieu nhat r thành phan bang supA1 Chúng ta có the gia su rang a0, , an ròi trưòng hop aj\d∗ ⊆ d moi j ≤ m, (b ∩ φ (d∗) = 0) Nhưng trưòng hop này: b ∩ inf φ (aj) ⊆ b ∩ inf φ (aj) = b ∩ inf φ (aj ∩ d) = j≤m CHQN đưoc n b1 j≤n j≤n Như v¾y trưịng hop tőng qt có the tìm đưoc b m thích hop Bo đe 4.2.4 Cho (A, µ) , (B, ν) đ® đo đai so huu han hồn tồn φ : A → B δ đong cau dưái ∀b0 ∈ B, b0 ƒ= ,có b ⊆ b0, b phân hoach đơn v% huu han C ⊆ A cho a ›→ b ∩ φ (a ∩ c) đong cau vành ∀c ∈ C Chúng minh Tù bő đe 4.2.3 tìm m,b1 cho ƒ= b1 ⊆ b0 b1 ∩ inf φ (aj) = vói a0, j≤ m A ròi , am ∈ Neu m = b1 ∩ φ (1) = Như v¾y, can lay b = b1, c = {1} M¾t khác, m cnc tieu nên có c1, , cm ∈ A ròi cho b = b1 ∩ inf φ (cj) ƒ= ≤j m T¾p c0 =≤ vói C = {c0, , cm} C phân hoach đơn v% A sup cj 1≤j≤m T¾p πj (a) = b ∩ φ (a ∩ cj) moi a ∈ A, j ≤ m ln có: πj (a ∪ aJ ) = πj (a) ∪ πj (aJ ) , ∀a, aJ ∈ A Vì φ đong cau con, ta thay ∀πj đong cau vành Chúng ta chi can kiem tra: πj (a ∩ aJ ) = 0, a ∩ aJ = Trong trưịng hop j=0, có π0 (a) = 0, ∀a b ∩ φ (c0) = b1 ∩ inf φ (cj) = ≤j m ≤ CHQN đưoc b1 m Khi ≤ j ≤ m neu a ∩ aJ = πj (a) ∩ πj (aJ ) = b1 ∩ (Vì a, aJ , c1 , , cj−1 , cj+1 , , cm ròi nhau) inf 1≤i ≤m, i ƒ=j φ (cj ) ∩ φ (a) ∩ φ (aJ ) ƒ= Như v¾y có c¾p b,c thích hop Ta có đ%nh lý quan TRQNG Kwapien Đ%nh lí 4.2.5 Cho A đai so Boolean Dedekind δ đay đu bat kỳ (B, ν) đ® đo đai so nua huu han Cho T : L0 (A) → L0 (B) tốn tu tuyen tính dương Thì có the tìm đưac B (Ab )b∈B cho B phân hoach đơn v% B, mői Ab phân hoach đơn v% huu han A u ›→ T (u × χa) × χb đong cau Riesz vái MQI b ∈ B, a ∈ Ab Chúng minh a) Viet B* cho t¾p phan tu tiem (potential members) cna B, túc có b ∈ B cho có phân hoach đơn v% huu han A ⊆ A cho Tab đong cau Riesz ∀a ∈ A : Tab (u) = T (u × χa) × χb Neu ta có the thay rang B* đóng có thú tn B, đieu se đn đe đáp úng, sau se phân hoach đơn v% cna B ⊆ B∗ b) Cho b0 phan tu khác cna B Ta tìm phan tu khác cna B* chúa b0 Tuy nhiên, có b1 ⊂ b0, b1 vói νb1 < ∞ Cho γ > cho b2 = b1 ∩ [ T (χ1) ≤ γ] khác Đ%nh nghĩa ∫ µ : A → [0, ∞) cho boi µa = T (χa) vói MQI a A Thỡ l cđng tớnh em oc (vỡ b ∫ ∈ χ, T, c®ng tính dãy liên tuc có thú tn (do đ%nh lý 4.1.1)) T¾p N = {a : µa = 0} N ideal cna A v (E, à) l đ o đai so huu han hồn tồn vói E = A/N v àaã = àa, a A (mắnh e 1.2.3) c) Chúng ta có hàm φ : E → Bb2 (ideal chính) đưoc xác đ%nh boi: φa• = b2 ∩ [ T (χa) > 0]] , ∀a ∈ A Th¾t vắy Neu a1 , a2 A cho aã1 = a•2 E, có nghĩa a1 , a2 ∈ N : [ T (χa1) > 0]] O [ T (χa2) > 0]] ⊆ [ |T (χa1) − T (χa2)| > 0]] ⊆ [ T (|χa1 − χa2|) > 0]] = [ Tχ (a1 O a2) > 0]] ∫ Là rịi b2 (Vì Tχ (a1 O a2) = 0) b2 Tương tn: b2 ∩ [ T (χa1) > 0]] = b2 ∩ [ T (χa2) > 0]] Và lay đưoc φ (a•1 ) = φ (a•2 ) d) Bây giị chúng minh φ δ -đong cau dưói Th¾t v¾y i) Vói a1, a2 ∈ A bat kỳ, có [ Tχ (a1 ∪ a2) > 0]] = [ Tχ (a1) > 0]] ∪ [ Tχ (a2) > 0]] (vì T (χa1) ∨ T (χa2) ≤ Tχ (a1 ∪ a2) ≤ T (χa1) + T (χa2)) Như v¾y: φ (c1 ∪ c2) = φ (c1) ∪ φ (c2) , ∀c1, c2 ∈ E ii) Neu (cn )n∈N dãy không tăng E vói inf = 0, cHQN an ∈ A cho aãn = cn , n Tắp a n = inf \inf , ∀n a∼• = cn i≤n i∈N n ∼ Như v¾y φ (cn ) = Σ T χ a Σ > 0Σ , ∼ Trong a n n∈ ∼ dãy không tăng inf a n = ∀n N Σ n∈N Gia su rang bJ = inf φ (cn ) ƒ= n∈ Σ ∼Σ Σ Σ∩ T¾p ε = νbJ Nν b n T χa ≥ > ∀ 2ε∈2, n Moi n, lay αn > cho ν b2 ∩ Σ T χa đ%nh L0 ∼ n N Σ > αn ΣΣΣ ≥ ε u = sup nα−1 χa đưoc xác n∈N (A) (vì sup Σ nα−1 χa ∼ n ∼ n > kΣ ⊆ a ∼ m n∈ N −1 neu k ≥ max iα inf sup Σ nαn−1 χa i i≤ m∼ Nhưng ν (b2 ∩ [ T u > n]]) ≥ ν b2 ∩ Σ T χa Vô lý k∈N n∈N n ∼ n > kΣ = ) Σ > αn ΣΣΣ ≥ ε, ∀n vàn∈inf [ T u > n] N Như v¾y, inf φ (cn) = vói (cn)n∈ tùy ý φ δ-đong cau dưói n∈N N e) Tù bő đe 4.2.4, có b ∈ Bb2 , b ƒ= 0, c ∈ E phân hoach đơn v% huu han cho d ›→ b ∩ φ (d ∩ c) đong cau vành ∀C ⊆ E có phân hoach đơn v% A ⊆ A có đ® lón bang C cho C = {a• : a ∈ A} Th¾t v¾y Can chúng minh Tab đong cau Riesz vói ∀a ∈ A Th¾t v¾y Ta có Tab tốn tu tuyen tính dương Neu u1, u2 ∈ L0 (A) u1 ∧ u2 = T¾p ei = [ ui > 0]] moi i, v¾y e∩ nχei e2 = Đe ý rang ui = sup ui n∈N Có [ Tabui > 0]] = sup [ Tab (ui ∧ nχei) > 0]] = b ∩ [ Tχ (ei ∩ a) > 0]] , ∀i n∈ N Nhưng [ Tabu1 > 0]] ∩ [ Tabu2 > 0]] ⊆ b ∩ [ Tχ (e1 ∩ a) > 0]] ∩ [ Tχ (e2 ∩ a) > 0]] = b ∩ φ (e•1 ∩ a• ) ∩ φ (e•2 ∩ a• ) = Vì a• ∈ C, d ›→ φ (d ∩ a•) đong cau vành mà e•1 ∩ e•2 = Tab u1 ∧ Tab u2 = u1,u2 bat kỳ Tab đong cau vành f, Như v¾y: b ∈ B∗ , b0 tùy ý nên B* trù m¾t có thú tn Ta có h¾ qua trnc tiep cna đ%nh lý H¾ qua 4.2.6 Cho A đai so Bool Dedekind δ đay đu U không gian Riesz Dedekind đay đu cho U× phân tách điem cua U Neu T : L0 (A) → U toán tu tuyen tính dương,khi có dãy (Tn)n∈N cua đong cau Riesz tù L0 (A) Σ U cho T = ∞ Tn → n=0 Σ n Nghĩa Tu = sup n∈N Chúng minh 0Tiu vái ∀u ≥ L (A) Tù đ%nh lý 1.10.6, U đưoc nhúng vào khơng gian Riesz trù m¾t có thú tn cna L0 (B) boi đ® đo đai so (B, ν), mà U Dedekind đay đn nên U t¾p co the L0 (B) Lưu ý rang T toán tu tù L0 (A) đen L0 (B), lay B, (Ab)b∈B đ%nh lý 4.2.5 Chú ý rang L0 (B) đưoc xác đ%nh vói b∈BL0 (Bb) Vói moi b ∈ B cho fb : Ab → N đơn ánh Q Neu b ∈ B n fb [Ab], Tnb (u) = b ì T (u × χa) Thì Tnb : L0 (A) → L0 (Bb) đong cau Riesz Vì Ab phân hoach huu han nên ∞ Σ Tnbu = χb × Tu, ∀u ∈ L0 (A) n= Đieu có nghĩa neu có t¾p Tnu = (Tnbu)b∈B ánh xa Q Tn : L0 (A) → b∈B L0 (Bb) ∼= L0 (B) đong cau Riesz vói moi n Σ Và T = ∞ Tn n=0 Tat nhiên, MQI Tn toán tu tù L0 (A) đen U |Tn u| ≤ T |u| ∈ U, ∀u ∈ L0 (A) KET LU¾N Trong lu¾n văn trình bày đưoc ba đ%nh lý quan TRQNG: Đ%nh lý Maharam, đinh lý phép nâng đ%nh lý Kwapien Lu¾n văn nêu đưoc tính chat kien thúc có liên quan đen ba đ%nh lý M¾c dù ban thân co gang han che ve thũi gian, trỡnh đ cng nh kinh nghiắm khoa HQ c nên lu¾n văn cịn nhieu thieu sót Cũng khn khő cna lu¾n văn mà nhieu van đe sâu, úng dung cna ba đ%nh lý han che Tơi hy vQNG vói sn đóng góp ý kien quý báu cna quý thay cô giáo ban ĐQ c, lu¾n văn se đưoc hồn thi¾n phát trien Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2009) Lý thuyet xác suat, NXB Giáo Duc [2] Nguyen Duy Tien, Nguyen Viet Phú ,Cơ sá lý thuyet xác suat, NXB Đai HQc trung HQc chuyờn nghiắp H Nđi [3] Bellow A and Kolzow D (1975) Measure theory oberwolfach [4] Bourbaki N (1968) General topology, Hermann Addison-wesley [5] Burke M.R Liftings for Lebesgue measure, in Judah [6] Burke M.R (1995) Consistent liftings Prirately, Circulated [7] Chacon R.V and Krenge U (1964) Linear modulus of a linear operator, Proc.Amer.Math.Soc [8] Fremlin D.H (1974) Topological Riesz space and measure theory ,Cambridge U P [9] Fremlin D.H (1974) A charaterization of L-space, Indag Math [10] Fremlin D.H (2000), Measure theory, volume 1: The Irreducible Minimum, in Monk [11] Fremlin D.H (2001), Measure theory, volume 2: Broad Foundations, in Monk [12] Fremlin D.H (2002), Measure theory, volume 3: Measure Algebras, in Monk [13] Machera N.D and Strauss W (1996) On products of almost strong liftings, J.Australian Math Soc [14] Roberts J.W Maharam’s problem, in kranz and Labuda ... vói đ® đo đai so cna đ® đo thưịng {0, 1} κTa có bao tồn đ® đo ánh xa ngưoc x λ κ ›→ x † κ : {0, 1} → {0, 1} , cam sinh đong cau Bool bao tồn đ® đo Aκ → Aλ, tù ta có đong cau bao tồn đ® đo A →... 1.2.8 Cho (A, µ) (B, ν) đ® đo đai so Đong cau Bool π : A → B bao tồn đ® đo neu (a) = àa, a A Mắnh e 1.2.9 Cho (A, à) v (B, ) l đ o so đong cau Bool π : A → B bao tồn đ® đo a π đơn ánh b (A, µ)... lý Đ® đo {0, 1} có cau trúc đơn gian nhieu tính chat đưoc úng dung Vì v¾y đ%nh lý Maharam chúng minh đưoc rang MQI đ® đo đai so đ%a phương cau đưoc vói m®t HQ tích đ® đo đai so HQ tích đ® đo đai