Về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN —————————————— NGÔ ANH TUAN VE DANG ĐAI SO CUA GIA THUYET VE CÁC LéP CAU Chuyên ngành: Đai so Lý thuyet so Mã so: 9460101.04 LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS TSKH Nguyen HEu Viắt Hng H NđI - 2019 Lài cam đoan Tôi xin cam đoan lu¾n án cna tơi Các ket qua lu¾n án viet chung vói đong nghi¾p nh¾n đưoc sn đong ý đe viet lu¾n án Các ket qua lu¾n án chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khác Tác gia: Ngơ Anh Tuan i Lài cam ơn Tôi xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen GS TSKH Nguyen Huu Vi¾t Hưng, ngưịi thay hưóng dan, truyen đat nhieu bi HQc quớ bỏu cụng viắc cng nh cuđc song, ln tao MQI đieu ki¾n tot nhat đe tơi đưoc HQc t¾p nghiên cúu Tơi cam ơn chân thành tói Ban Giám đoc Đai HQc Quoc Gia H Nđi, Ban Giỏm hiắu HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Ban Chn nhi¾m Khoa TốnCơ-Tin HQc, Phịng Sau Đai HQc tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n án Tôi cam ơn chân thành thay, cô cỏc ong nghiắp Bđ mụn so-Hỡnh HQc-Tụpụ, Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, nhi¾t tình giúp đõ HQc t¾p, nghiên cúu tao ieu kiắn cho tụi oc lm viắc mđt mụi trưịng chun nghi¾p Cuoi cùng, tơi xin cam ơn gia đình tơi ln u thương tơi đe tơi n tâm hồn thành cơng vi¾c cna Mnc lnc Lài cam đoani Lài cam ơni Bang kí hi¾u3 Ma đau4 I Kien thÉc chuan b%12 I.1 Đai so Steenrod 12 I.2 Lý thuyet bat bien đai so lambda 14 II Đong cau Lannes-Zarati thÉ không, thÉ nhat thÉ hai20 II.1 Nhìn lai đong cau Lannes-Zarati .20 II.2 Đong cau Lannes-Zarati o thú b¾c nho ho¾c bang 24 III Đong cau Lannes-Zarati: nhEng ket qua chung30 III.1 Bieu dien dây chuyen cna đong cau Lannes-Zarati 30 III.2 Thương hóa đong cau Lannes-Zarati qua A-h¾ sinh toi tieu cna chu trình phúc Singer 40 III.3 Đong cau Lannes-Zarati toán tu squaring 46 III.4 Đao hàm riêng hình thúc úng dung 50 III.5 Tính hàm tu cna đong cau Lannes-Zarati 59 III.6 Đong cau Lannes-Zarati phan tu phân tích đưoc .60 IV Ve sE tri¾t tiêu cua đong cau Lannes-Zarati đoi vái m¾t cau S0 khơng gian xa anh67 IV.1 Đong cau Lannes-Zarati đoi vói m¾t cau chieu: trưịng hop cő đien 68 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 Sn tri¾t tiêu cna đong cau Lannes-Zarati thú cho RP∞ 72 Sn tri¾t tiêu cna đong cau Lannes-Zarati thú cho RP∞ 75 Moi liên h¾ giua đong cau Lannes-Zarati cho RP∞ cho S0 80 Đong cau Lannes-Zarati đoi vói khơng gian xa anh huu han chieu 82 Ket lu¾n83 Phn lnc84 Tài li¾u tham khao93 Bang mđt so kớ hiắu F2 Trũng vúi phan tu Sn M¾t cau n-chieu Nhóm ma tr¾n cõ s kha ngh%ch GLs trưòng F2 RP∞ RPn Không gian xa anh thnc vô han chieu H∗ (X) H ˜∗ (X) H ∗ (X) H ˜∗ (X) Không gian xa anh thnc n-chieu Đong đieu cna không gian tơpơ X vói h¾ so F2 Đong đieu rút GQN cna khơng gian tơpơ X vói h¾ so F2 Đoi đong đieu cna khơng gian tơpơ X vói h¾ so F2 Đoi đong đieu rút GQN cna không gian tôpô X vói h¾ so F2 A Đai so Steenrod (modulo 2) Ext∗A(F2 , F2 ) Đoi đong đieu cna đai so Steenrod (modulo 2) TorA(F2, F2) Đong đieu cna đai so Steenrod (modulo 2) ∗ π S (X) Nhóm đong luân őn đ%nh cna không gian ∗ tôpô X TorA(F2, F2) Đong đieu cna đai so Steenrod (modulo 2) ∗ ΣX treo cna không gian tôpô X ΩX không gian đưịng khép kín cna khơng gian tơpơ X QX lim QX = Ω∞Σ∞X = ΩnΣnX −→n Ma đau Cho X m®t CW-phúc có điem goc GQI Q0 X = Ω∞0 Σ∞ X thành phan chúa điem goc cna QX = Ω∞ Σ∞ X Có m®t tốn cő đien chưa có lịi giai xác đ%nh anh cna đong cau Hurewicz H : π S∗(X) = π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) e õy v ton bđ luắn ỏn, ong ieu v đoi đong đieu đưoc lay vói h¾ so F2, trưịng vói hai phan tu Gia thuyet cő đien ve lóp cau cho X = S0 khang đ%nh rang chi cú cỏc lúp bat bien Hopf bang mđt hoắc bat bien Kervaire bang m®t nhung phan tu πS(S0) ∼= π∗(Q0S0) đưoc phát hi¾n boi đong cau Hurewicz.∗ Nguyen H V Hưng phát bieu gia thuyet tőng quát lóp cau sau (xem [21]): Gia thuyet (Gia thuyet tőng quát ve lóp cau) Cho X m®t CW- phúc có điem goc Khi đong cau Hurewicz H : π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) tri¾t tiêu láp cua π∗ (Q0 X) có LQc Adams lán (Xem Curtis [8], Snaith Tornehave [34] Wellington [38] đe thay thao luắn cho X = S0.) Mđt phiờn ban so cna tốn đưoc trình bày sau GQI Ps = F2 [x1 , , xs ] đai so đa thúc s bien x1 , , xs , moi bien có b¾c Cho nhóm tuyen tính tőng qt GLs = GL(s, F2 ) đai so Steenrod modulo 2, A, tác đ®ng Ps theo cách thơng thưịng Đai so Dickson cna s bien, Ds , đai so cna bat bien Ds := F2[x1, , xs]GLs Vì tác đ®ng cna A cna GLs Ps giao hốn vói nên Ds m®t đai so A Cho M m®t A-môđun không őn đ%nh Xây dnng Singer RsM cna M Ds-môđun cna Ps ⊗ M sinh boi StsM , Sts ký hi¾u cho đong cau Steenrod đưoc đ%nh nghĩa sau Cho trưóc m®t phan tu thuan nhat z ∈ M có b¾c |z|, theo quy ưóc ta đ¾t St0(z) = z, đ%nh nghĩa bang quy nap |z| Σ St1 (x; z) = x|z|−i ⊗ Sq i (z), i=0 Sts(x1, , xs; z) = St1(x1; Sts−1(x2, , xs; z)) Chú ý rang RsM m®t A-mơđun cna Ds ⊗ M RsM m®t Amơđun khơng őn đ%nh (Xem [42, Đ%nh nghĩa-M¾nh đe 2.4.1].) Ta dùng s,s+i ∗ ϕM : Ext (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i s A đe kí hi¾u đong cau Lannes-Zarati thú s cho m®t A-mơđun khơng őn đ %nh M , đưoc đ%nh nghĩa [42] Khi ˜ M = H ∗ (X), đong cau tương úng vói m®t phân b¾c liên ket cna ánh xa Hurewicz Chúng minh cna khang đ%nh khơng đưoc cơng bo, đưoc phác HQA boi Lannes [41, Tiet 2] boi Goerss [10] Trong trưòng hop M = H˜ ∗ (X), đoi đong đieu rút GQN cna m®t khơng ˜ (X) gian tôpô X , đong cau Lannes-Zarati ϕsH ∗ se đưoc ký hi¾u boi sϕX cho GQN Các lóp bat bien Hopf bang m®t bat bien Kervaire bang m®t đưoc đai di¾n tương úng boi chu trình vĩnh cuu Ext1,∗ (F2 , F2 ) Ext2,∗ (F2 , F2 ), A A mà o đong cau Lannes-Zarati khác không (xem Adams [1], Browder [5], Lannes-Zarati [42]) Nguyen H V Hưng phát bieu dang đai so cna gia thuyet tőng quát ve lóp cau cho M = ˜ H ∗ (S ) = F2 [13] cho MQI A-môđun không őn đ%nh M tai seminar o VNU m®t khoang thịi gian dài (xem [21]): Gia thuyet (Dang đai so tőng quát cna gia thuyet ve lóp cau) Đong cau Lannes-Zarati ϕM : Ext s s,s+i A (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ tri¾t tiêu tai MQI goc dương i vái s > 2, vái MQI A-môđun không őn đ%nh M Gia thuyet đưoc chúng minh cho trưòng hop M = H˜ ∗ (S ) vói s = 3, boi Nguyen H V Hưng (xem [14], [16]), vói s = boi ơng đong nghi¾p (xem [22]) Sn ki¾n đong cau Lannes-Zarati cho ˜ M = ∗ H (S ) tri¾t tiêu vói s > phan tu phân tích đưoc Exts A (F2, F2) anh cna đong cau chuyen Singer đưoc chúng minh tương úng boi Nguyen H V Hưng-F P Peterson (xem [19]), Nguyen H V HưngTran N Nam (xem [17]) Trong lu¾n án này, chúng tơi nghiên cúu Gia thuyet Cu the, nghiên cúu m®t so van đe xung quanh đong cau Lannes-Zarati, tù đưa chúng minh cho Gia thuyet o mđt so trũng hop riờng Luắn ỏn bao gom chương phan Phu luc vói n®i dung sau Trong Chương I, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc ban đưoc dùng phan cna lu¾n án, bao gom đai so Steenrod, lý thuyet bat bien, đai so lambda cơng trình cna Singer ve dien đat đai so lambda qua lý thuyet bat bien Các ket qua mói cna lu¾n án đưoc trình bày tù Chương II đen Chương IV Trong Chương II, Tiet II.1 trình bày lai xây dnng tưịng minh cna đong cau Lannes-Zarati cho m®t A-mơđun khơng őn đ%nh M bat kỳ Xây dnng tưịng minh đưoc trình bày [13] cho M = F2 Tiet cuoi chương II dành cho vi¾c nghiên cúu đong cau Lannes-Zarati o thú b¾c nho ho¾c bang Nghiên cúu nham giai thích lý gia thuyet tőng qt ve lóp cau can tói gia thiet lóp đong luân có LQc Adams lón Ta dùng ∈ Ext (F , F ) đe kí hi¾u phan tu Adams thú i vói i ≥ h i j 2 ∗ (H˜ (RP∞ ), ∞ ˜∗ A boi ^hj ∈ Ext Priddy : Exts−1 (H ∗ Kahng A Lin [24]) F 0,2 1, A > cau (xem j vói F2 ) phans tu mà anh2)cna boijđong h (RP ), ) → Ext (H˜ ∗ (S ), F A M¾nh đe sau se đưoc đánh so M¾nh đe II.2.4 o Chương II M¾nh đe (i) Đong cau Lannes-Zarati thú không cho không gian xa anh, 0 ˜ ∗ (cho ϕRP∞Đong , m®t cau Ext RP∞khơng ), A(H (ii) cauđang Lannes-Zarati thú nhat gian xa anh, ϕ1∞ , RP F ) đơn cau Span{hi hj | i ≥ j} tri¾t tiêu Span{hi hj | i < m®t ^ j} (iii) Đong cau Lannes-Zarati thú hai cho khơng gian xa anh, ϕ2RP∞, tri¾t tiêu ^ tai MQI goc dương ExtA (H˜ ∗ (RP∞ ), F2 ).Đieu đáng ý đong cau Lannes-Zarati thú hai cho RP∞ tri¾t tiêu tai MQI goc dương, đong cau Lannes-Zarati thú nhat cho MQI không gian ve ban khác không đưoc chi m¾nh đe sau M¾nh đe se đưoc đánh so M¾nh đe II.2.6 o Chương II M¾nh đe Cho X m®t CW-phúc có điem goc mà đong đieu rút GQN ˜ Phn lnc Muc đích cna phan Phu luc bő sung tính tốn chi tiet chúng minh cna Đ%nh lýIV.1.3và Đ%nh lýIV.3.3 Bo sung chÉng minh Đ%nh lýIV.1.3 Trưàng hap a0 = Ph goc Ta ket hop goc cna Ph vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + = 25, vô nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + = 21, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + = 17, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + = 17, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + = 24, b = 2, c = 0, không thoa mãn c > 0, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + = 24, vơ nghi¾m c ≥ 1; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + = 14, vơ nghi¾m c > 2; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + = 14, vơ nghi¾m c > 2; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + = 14, vơ nghi¾m b ≥ Trưàng hap a0 = Ph goc 11 Ta ket hop goc cna Ph vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 11 = 27, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 11 = 23, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 11 = 19, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 19, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 11 = + 24, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = + 24, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 24, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 11 = 24, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 11 = 24, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = n0 goc 31 Ta ket hop goc cna n0 vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 31 = 47, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 31 = 43, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 31 = 39, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 39, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 31 = + 22 + 25, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = + 22 + 25, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 22 + 25, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 31 = 22 + 25, vô nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 31 = 22 + 25, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = x0 goc 37 Ta ket hop goc cna x0 vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 37 = 53, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 37 = 49, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 37 = 45, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 45, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 37 = 44, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 22 + 23 + 25, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = + 23 + 25, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 37 = + 23 + 25, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 37 = + 23 + 25, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = D1(0) goc 52 Ta ket hop goc cna D1(0) vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 52 = 68, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 52 = 26, d = 0, c = 2, khơng thoa mãn d > 0, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 52 = 60, vô nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52 = 60, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 52 = 59, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52 = 59, vô nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 141 = 27 + 24 + 2, vô nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, c = 1, b = 1, a = 0, không thoa mãn b < c, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = H1(0) goc 62 Ta ket hop goc cna H1(0) vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 62 = 78, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 62 = 74, vô nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 62 = 70, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 70, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 62 = 69, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 69, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 67, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 62 = 67, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 62 = 67, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = Q3(0) goc 67 Ta ket hop goc cna Q3(0) vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 67 = 83, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 67 = 79, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 67 = 75, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 75, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 67 = 74, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 74, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 72, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 67 = 72, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 67 = 72, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = K0 goc 125 Ta ket hop goc cna K0 vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 125 = 141, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 125 = 137, vô nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 125 = 133, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 133, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 125 = 132 = 22 + 27, b = 0, c = 1, không thoa mãn b > 0, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 22 + 27, vô nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = + 27, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 125 = + 27, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 125 = + 27, vô nghi¾m Trưàng hap a0 = J0 goc 128 Ta ket hop goc cna J0 vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 128 = 144, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 128 = 22 + 23 + 27, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 128 = 23 + 27, b = c = 1, không thoa mãn ≤ b ≤ c, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128 = 23 + 27, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 128, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 128, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 128, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = V0 goc 128 Ta ket hop goc cna J0 vói b¾c cna moi phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A (1) 2d+4 = 16 + 156 = 27 + 25 + 23 + 22, vô nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 156 = 27 + 25 + 23, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 128 = 23 + 27, b = c = 1, không thoa mãn ≤ b ≤ c, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128 = 23 + 27, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 128, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 128, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 128, vơ nghi¾m Trưàng hap a0 = goc 252 Ta ket hop goc cna V0J V0 J phan tu sinh F2 ⊗ D5 : A vói b¾c cna moi (1) 2d+4 = 16 + 252 = 28 + 23 + 22, vơ nghi¾m; (2) 2d+5 + 2c+3 = 12 + 252 = 28 + 23, d = 3, c = 0, khơng thoa mãn c > 0, vơ nghi¾m; (3) 2b+2 + 2c+6 = + 252 = 28 + 22, c = 2, b = 0, không thoa mãn b > 0, vơ nghi¾m; (4) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252 = 28 + 22, vơ nghi¾m; (5) 2b+2 + 2c+6 = + 252, vơ nghi¾m; (6) 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vơ nghi¾m; (7) 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vơ nghi¾m; (8) 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 252, vơ nghi¾m; (9) 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 252, vơ nghi¾m Bo sung chÉng minh Đ%nh lýIV.3.3 Trưòng hop 2c: a = hj−1α16(k), ≤ j < k − Ta có ([qSt4(un)], ϕRP∞ (hj−1α16(k))) = ((ϕ ∞ ) ([qSt4 (un )]), hj−1 α16 (k)) RP ∗ = ([qQ4,n n0 = (qQ4,0 ⊗u ⊗nu ], hj−1α16(k)) (theo Đ%nh lýIII.1.1 ) n 2 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ2k −1 e3.2k −1 + λ2j−1 −1 (λ2k+2 −1 λ10.2k −1 + λ2k+3−1λ6.2k−1λ2k+2−1)e2k+1−1) n = (qQ ⊗ un , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 e2k+1 −1 ) 4, n (theo Bő đeIV.3.1) n = (u , e2k+1 −1 )(qQ4,0 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 ) Neu n ƒ= 2k+1 − 1, ([qSt4(un)], ϕRP∞ (hj−1α16(k))) = Neu n = 2k+1 − 1, n RP∞ 2k+1−1 ([qSt4 (u )], ϕ4 (hj−1 α16 (k))) = (qQ4,0 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 ) Gia su q = Q i0 4, i i i 3 Q4, Q4, Q4, Rõ ràng ta có Q4,0 = v8v4v2v4, 123 Q4,1 = v7v4v2v4 + v8v3v2v4 + v8v4v3v4 + v8v4v2, 123 12 123 Q4,2 = v v v v4 + v v v3v4 + v v v3v4 + v6v4v2 + v8v2v2 + v8v4, 6 2 12 123 12 Q4,3 = v v v3v4 + v v v + v v + v 4 2 4 Neu i1 so−1 chan, tat ca so mũ cna v1 so chan khai trien cna qQ2k+1 theo so hang cna v , v , v , v Do đó, 4, 2k+1−1 (qQ4,0 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 ) = k+1 Neu i1 > khai trien cna qQ 4, v −1 , , v4, , v3 theo so hang cna1v2 tat ca so mũ cna v2 lón 2k+3 − Vì v¾y k+1 (qQ4,02 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 ) = Bây giò, ta chi can xét trưòng hop i0 = 0, i1 = 1, i2 = 0, i3 ≥ De thay rang trưịng hop này, ta có i3 2k+1−1 (Q4,1 Q4,3 Q4,0 , λ2j−1 −1 λ2k+3 −1 λ6.2k −1 λ2k+2 −1 ) = Do đó, ϕ4RP∞ (hj−1α16(k)) = 0, ≤ j < k − Trưòng hop 2d: a = hj+5 α16 (j), j ≥ Ta có ([qSt4 (un )], ϕRP∞ (hj+5 α16 (j))) = ((ϕ ∞ ) ([qSt4 (un )]), hj+5 α16 (j)) RP ∗ n = ([qQ ⊗ nu ], hj+5 α16 (j)) (theo Đ%nh lýII I.1.1 ) 4, n0 = (qQ4,0 ⊗u n 2 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ2j −1 e3.2j −1 + λ2i −1 (λ2j+2 −1 λ10.2j −1 + λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 )e2j+1 −1 ) n = (qQ ⊗ un , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 e2j+1 −1 ) 4, n n = (u , e2j+1 −1 )(qQ4,0 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 ) Neu n ƒ= 2j+1 − 1, (theo Bő đeIV.3.1) ([qSt4 (un )], ϕRP∞ (hi α16 (j))) = Neu n = 2j+1 − 1, RP∞ n 2j+1 −1 ([qSt4 (u )], ϕ4 (hj+5 α16 (j))) = (qQ4,0 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 ) Gia su q = Q i0 4, i i i 3 Q4, Q4, Q4, Rõ ràng ta có Q4,0 = v8v4v2v4, 123 Q4,1 = v7v4v2v4 + v8v3v2v4 + v8v4v3v4 + v8v4v2, 123 12 123 Q4,2 = v v v v4 + v v v3v4 + v v v3v4 + v6v4v2 + v8v2v2 + v8v4, 6 12 2 123 12 Q4,3 = v v v3v4 + v v v + v v + v 4 2 4 Neu i1 so chan, tat ca so mũ cna v1 so chan khai trien cna qQ2j+1−1 theo so hang cna v , v , v , v Do đó, 4, 2j+1 −1 (qQ4,0 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 ) = j+1 Neu i1 > khai trien cna qQ 4, v −1 , , , v4, theo so hang cna 1v2 v3 tat ca so mũ cna v2 lón 2j+3 − Vì v¾y j+1 (qQ4,02 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 ) = Bây giò, ta chi can xét trưòng hop i0 = 0, i1 = 1, i2 = 0, i3 ≥ De thay rang trưòng hop này, ta có i3 2j+1−1 (Q4,1 Q4,3 Q4,0 , λ2j+5 −1 λ2j+3 −1 λ6.2j −1 λ2j+2 −1 ) = Do đó, ϕ4RP∞ (hj+5 α16 (j)) = 0, j ≥ Tài li¾u tham khao Tieng Anh [1]J F Adams (1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one", Ann Math 72, pp 20-104 [2]J F Adams (1974), Operations of the n-th kind in K-theory and what we don’t know about PR ∞ , New developments in topology, G.Segal (ed.), London Math Soc Lect Note Series 11, pp 1-9 [3]J Adams (1952), "The iteration of Steenrod squares in algebraic topol- ogy", Proc Nat Acad Sci USA 38, pp 720-726 [4]A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector and J W Schlesinger (1966), "The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence", Topology 5, pp 331-342 [5]W Browder (1969), "The Kervaire invariant of a framed manifold and its generalization", Ann Math 90, pp 157-186 [6]T W Chen (2011), "Determination of Ext 158(5), pp 660-689 5,∗ A (F2 , F2 )", Topo App [7]R L Cohen, W H Lin, M E Mahowald (1988), "The Adams spectral sequence of the real projective spaces", Pacific J Math 134, pp 27-55 [8]E B Curtis (1975), "The Dyer-Lashof algebra and the Lambda algebra", Illinois Jour Math 19, pp 231-246 [9]L E Dickson (1911), "A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem", Trans Amer Math Soc 12, pp 75-98 [10]P G Goerss (1986), "Unstable projectives and stable Ext: with applications", Proc London Math Soc 53, pp 539-561 [11]V Giambalvo, F P Peterson (2001), " A-generators for ideals in the Dickson algebra", J Pure Appl Algebra 158, pp 161-182 [12] Nguyen H V Hưng (1991), "The action of the Steenrod squares on the modular invariants of linear groups", Proc Amer Math Soc 113, pp 1097-1104 [13] Nguyen H V Hưng (1997), "Spherical classes and the algebraic trans- fer", Trans Amer Math Soc 349, pp 3893-3910 [14] Nguyen H V Hưng (1999), "The weak conjecture on spherical classes", Math Zeit 31, pp 727-743 [15] Nguyen H V Hưng (2001), "Spherical classes and the lambda algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 4447-4460 [16] Nguyen H V Hưng (2003), "On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra", Math Proc Camb Phil Soc 34, pp 103-113 [17] Nguyen H V Hưng and Tran N Nam (2001), "The hit problem for the Dickson algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 5029-5040 [18] Nguyen H V Hưng and Tran N Nam (2001), "The hit problem for the modular invariants of linear groups", Jour Algebra 246(1), pp 367-384 [19] Nguyen H V Hưng and F P Peterson (1998), "Spherical classes and the Dickson algebraic", Math Proc Camb Phil Soc 124, pp 253264 [20] Nguyen H V Hưng and G Powell (2019), "The A-decomposability of the Singer construction", Jour Algebra 517, pp 186-206 [21] Nguyen H V Hưng and Ngô A Tuan (2019), "The generalized algebraic conjecture on spherical classes", Manuscripta Mathematica, 25 pages, https://doi.org/10.1007/s00229-019-01117-w [22] Nguyen H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuan (2014), "On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism", C R Acad Sci Paris 352(3), pp 251-254 [23]L Kristensen (1965), "A Cartan formular for secondary cohomology operations", Math Scand 16, pp 97-115 [24]W H Lin (1981), "Algebraic Kahn-Priddy theorem", Pacific J Math 96, pp 435-455 [25]W H Lin (2008), "Ext 4,∗ A (F2 , F2 ), Ext5,∗ (F2 , F2 )", Topology and its Ap- plications 115, pp 459-496 A [26]A Liulevicius (1962), The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations, Mem Amer Math Soc 42 [27]J P May (1970) , A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture Notes in Math Vol 168, Springer-Verlag, pp 153-231 [28]J W Milnor (1958), "The Steenrod algebra and its dual", Ann of Math 67, pp 150-171 [29] Huỳnh Mùi (1975), "Modular invariant theory and the cohomology algebras of symmetric group", J Frac Sci Univ Tokyo Sect IA Math 22, pp 319-369 [30] Huỳnh Mùi (1983), Dickson invariants and Milnor basis of the Steenrod algebra, Eger Internat Colloq Topology, pp 345-355 [31]S B Priddy (1970), "Koszul resolutions", Trans Amer Math Soc 152, pp 36-60 [32]W M Singer (1983), "Invariant theory and the Lambda algebra", Trans Amer Math Soc 280, pp 673-693 [33]W M Singer (1989), "The transfer in homological Algebra", Math Zeit 202, pp 493-523 [34]V Snaith and J Tornehave (1982), "On π∗S(BO) and the Arf invariant of framed manifolds", Amer Math Soc Contemporary Math 12, pp 299-313 [35]N E Steenrod (1947), "Products of cocycles and extensions of map- pings", Ann of Math 48, pp 290-320 [36]N E Steenrod and D B A Epstein (1962), Cohomology operarions, Ann of Math Stud., No 50, Princeton Univ Press, New Jersey [37]Ngô A Tuan (2019), "The Lannes-Zarati homomorphism and decomposable elements", Algebr Geom Topol 19-3, pp 1525-1539 DOI 10.2140/agt.2019.19.1525 [38]R J Wellington (1982), "The unstable Adams spectral sequence of free iterated loop spaces", Memoirs Amer Math Soc 258 [39]C Wilkerson (1977), "Classifying spaces, Steenrod operations and algebraic closure", Topology 16, pp 227-237 Tieng Pháp [40]H Cartan (1950), "Une théorie axiomatique des carrés de Steenrod", C R Acad Sci Paris, Ser I 230, pp 425-427 [41]J Lannes (1988), "Sur le n-dual du n-ème spectre de Brown-Gitler", Math Zeit 199, pp 29-42 [42]J Lannes and S Zarati (1987), "Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation", Math Zeit 194, pp 25-59 [43]J P Serre (1953), "Cohomologie des complexes d’Eilenberg-Mac Lane", Comment Math Helv 27, pp 198-232 ... NđI - 2019 Lài cam đoan Tơi xin cam đoan lu¾n án cna tơi Các ket qua lu¾n án viet chung vói đong nghi¾p nh¾n đưoc sn đong ý đe viet lu¾n án Các ket qua lu¾n án chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng... công thúc Qs,0 = (c1x1 + · · · + csxs) Y cj ∈F2 ,(c1 , ,cs )=(0, ,0) Tù cách xác đ%nh cna Vk ta thay Qs,0 = V1 · · · Vs Các bat bien Dickson, Qs,i, có the đưoc mô ta quy nap theo s bang công thúc... ≥ 0) (I.1) j m Σλ j≥0 đ%nh nghĩa Θ đai so song b¾c thu đưoc bang cách lay TensL chia thương cho quan h¾ λ(m, n) = (m, n ≥ 0) Các quan h¾ kieu có hai loai Nhung quan h¾ chúa λ−1 xuat hi¾n quan