Luận văn thạc sĩ về các quỹ đạo đẳng nghiêng của hệ động lực

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN NGUYEN TH± THU HANG VE CÁC QUY ĐAO ĐANG NGHIÊNG CUA Hfi Đ®NG LUC LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS LÊ HUY TIEN Hà N®i - Năm 2013 Mnc lnc Lài cam ơn ii Lài nói đau iii Kien thÉc chuan b% 1.1 T¾p hyperbolic cho vi phôi 1.2 Nh% phân mũ 1.3 Đa tap őn đ%nh bat őn đ%nh 1.4 Tính vung 1.5 Tính bóng 1.6 Tính co giãn 1.7 Bat thúc kieu Gronwall cho h¾ nh% phân đng lEc ký hiắu gan iem ang nghiờng honh cua vi phụi 2.1 Giúi thiắu ve đng lnc ký hiắu 8 2.2 T¾p móng ngna ánh xa móng ngna cna Smale 11 2.3 T¾p hyperbolic ket hop vói quy đao nghiêng 15 2.4 Xây dnng vi phơi có điem nghiêng hoành 26 2.5 Đ®ng lnc ký hi¾u gan điem nghiêng hồnh 34 Ket lu¾n 40 Tài li¾u tham khao 41 i Lài cam ơn Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao hồn thi¾n lu¾n văn này, thịi gian vùa qua tơi nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ qúy báu cna gia đình, thay ban bè Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói MQI ngưịi Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Lê Huy Tien, thay rat nhi¾t tình hưóng dan chi bao tơi q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca thay khoa, nhung ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day trình HQ c Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m khoa Toán-Cơ-Tin Đai HQc Khoa HQc cao HQc, HQ c phòng Sau Đai HQc trưòng Tn nhiên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n thn tuc bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin cam ơn cha me tơi, nhung ngưịi ln u thương nng hđ tụi vụ ieu kiắn Li núi au Moi vi phôi f không gian Euclide Rn xác đ%nh đ®ng lnc cna phương trình sai phân xn+1 = f (xn), xn ∈ Rn Qua điem bat đ®ng hyperbolic x0 cna vi phơi f , ta có đa tap őn đ%nh W s (x 0) đa tap bat őn đ%nh Wu (x 0) Nói chung hai đa tap ny khụng giao nhau, đng lnc quanh lõn cắn iem x0 trưòng hop đơn gian, búc tranh pha có dang hyperbolic Neu đa tap őn đ%nh W s (x0 ) đa tap bat őn đ%nh W u (x0 ) giao tai điem y0 điem đưoc GQI điem nghiêng Điem nghiêng GQI hồnh hay khơng hồnh tùy theo hưóng tiep tuyen tai y0 Đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng rat phúc tap Bưóc tien khoi đau cna Smale ông ta chúng minh rang đ®ng lnc cna ánh xa móng ngna đ®ng lnc cna ánh xa d%ch chuyen trái khơng gian tích cna hai ký hi¾u Ket qua cna Smale cho phép hieu rõ ràng ve m¾t giai tích cna ánh xa móng ngna von đưoc xây dnng bang hình HQ c Trong lu¾n văn này, chúng tơi nghiên cúu đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng hồnh dùng đng lnc ký hiắu dna trờn cuon sỏch Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications ” cna Palmer Ken năm 2000 Lu¾n văn đưoc cau trúc sau: Chương trỡnh by cỏc khỏi niắm iem bat đng hyperbolic, t¾p hyperbolic cho vi phơi, nh% phân mũ, đa tap őn đ%nh bat őn đ%nh Ngồi chúng tơi phát bieu tính bóng, tính co giãn cna t¾p hyperbolic bő đe kieu Gronwall cho h¾ nh% phân Chng giúi thiắu ve đng lnc ký hiắu, minh HQA bang t¾p móng ngna ánh xa móng ngna cna Smale, đ%nh nghĩa điem nghiêng, điem nghiêng hồnh cna vi phơi, xây dnng vi phơi có điem ang nghiờng honh v đng lnc ký hiắu gan iem nghiêng hồnh Các đ%nh lý nam phan t¾p hyperbolic ket hop vói quy đao nghiêng phan đng lnc ký hiắu gan iem ang nghiờng honh Đ%nh lý thú nhat (Đ%nh lý 2.3.2) có the coi ví du ve t¾p bat bien hyperbolic khơng tam thưịng Đ%nh lý thú hai (Đ%nh lý 2.5.1) phát bieu rang đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng honh thnc chat l mđt loai đng lnc ký hiắu trờn mđt cna khụng gian ký hiắu Do thịi gian lnc có han, có the lu¾n văn cịn nhung sai sót Tác gia mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay, v cỏc ban ong nghiắp H Nđi, thỏng 12 nm 2013 Nguyen Th% Thu Hang Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 T¾p hyperbolic cho vi phơi Gia su U Rn l mđt mo v f : U −→ Rn C vi phơi M®t điem x0 ∈ U đưoc GQI điem bat đ®ng hyperbolic cna f neu f (x0 ) = x0 tat ca giá tr% riêng cna Df (x0 ) nam ũng trũn n v% Tắp cỏc iem bat đng hyperbolic cna vi phơi f ký hi¾u Fixh (f ) Tőng cna tat ca không gian riêng suy r®ng sinh boi giá tr% riêng nho GQI đa tap őn đ%nh hay không gian őn đ%nh ký hi¾u E s (f ) Tőng cna tat ca khơng gian riêng suy r®ng sinh boi giá tr% riêng lón đa tap bat őn đ%nh hay không gian bat őn đ%nh ký hiắu l E u (f ) Mđt iem x0 U đưoc GQI điem tuan hoàn chu kỳ m ≥ neu điem x0 , f (x0 ), f (x0 ), , f m−1 (x0 ) khác f m (x0 ) = x0 Neu x0 m®t điem tuan hồn chu kỳ m, t¾p GQI {x0 , f (x0 ), f (x0 ), , f m−1 (x0 )} đưoc gQI quy đao cna x0 , ký hi¾u Orb(f, x0 ) Điem tuan hoàn x0 đưoc GQI hyperbolic neu x0 điem bat đ®ng hyperbolic cna m f , túc MQI giá tr% riêng cna Df m (x0 ) đeu nam ngồi đưịng trịn đơn v% T¾p tat ca điem tuan hồn hyperbolic ký hi¾u Perh (f ) %nh ngha 1.1.1 Mđt compact S ⊂ U đưac GQI hyperbolic neu (i) S bat bien, túc là, f (S) = S; (ii) có phép phân tích Rn = Es(x) ⊕ Eu(x), x ∈ S khơng gian Es(x) Eu(x) có so chieu khơng đői; nua, khơng gian có tính chat bat bien Df (x)(Es(x)) = Es(f (x)), Df (x)(Eu(x)) = Eu(f (x)) có hang so dương K1, K2, λ1 < 1, λ2 < cho vái k ≥ x ∈ S k k ||Df vái (x)ξ|| ≤ K1 λ1 ||ξ|| s ξ ∈ E (x) k u ||Df −k (x)ξ|| ≤ K2λ 2||ξ|| vái ξ ∈ E (x) K1 , K2 , λ1 , λ2 lan lưat đưac GQI hang so so mũ cua t¾p hyperbolic S Hai ví du đơn gian ve cỏc bat bien hyperbolic l gom mđt iem bat đng hyperbolic v gom mđt quy ao tuan hồn hyperbolic, GQI hai t¾p hyperbolic tam thưịng Trong chương 2, se xét t¾p bat bien hyperbolic khơng tam thưịng gom điem bat đ®ng x0 quy đao cna điem nghiêng hồnh y0 tương úng vói x0 1.2 Nh% phân mũ Cho x0 điem bat đ®ng hyperbolic cna C vi phơi f : U −→ Rn Chú ý rang không gian őn đ%nh bat őn đ%nh tương úng E s Eu phép chieu bat bien Df (x0)) Hơn nua, neu cho λ1 λ2 hang so dương cho |λ| < λ1 < vói MQI giá tr% riêng λ cna Df (x0 ) vói |λ| < < λ−2 < |λ| vói MQI giá tr% riêng λ vói |λ| > 1, ton tai hang so dương K1 K2 cho vói k ≥ ||[Df (x0 )]k ξ|| ≤ K1λk||ξ|| vói ξ ∈ Es (1.2.1) ||[Df (x0 )]−k ξ|| ≤ K2 λk2||ξ|| vói ξ ∈ E u (1.2.2) Trong [Df (x0)]kξ −→ k −→ ∞ neu chi neu ξ ∈ Es [Df (x0)]kξ −→ k −→ −∞ neu chi neu ξ ∈ Eu Đ%nh nghĩa 1.2.1 (Nh% phân mũ cho phương trình sai phân) Vái k ∈ J m®t khoang Z, cho Ak mđt ma trắn kha ngh%ch có n ì n Phng trình sai phân uk+1 = Akuk (1.2.3) đưac GQi có m®t nh% phân mũ J neu ton tai phép chieu Pk hang so K1 , K2 , λ1 , λ2 vái λ1 < 1, λ2 < cho vái k, m ∈ J phép chieu thóa mãn đieu ki¾n bat bien Φ(k, m)Pm = PkΦ(k, m), bat thúc ||Φ(k, m)Pm|| ≤ K1λ1k−m, k≥ m ||Φ(k, m)(I − Pm)|| ≤ K2λ2m−k, k≤m đưac thóa mãn Φ(k, m) ma tr¾n tien hóa cua phương trình (1.2.3) đưac xác đ %nh bái  Φ(k, m) = Ak−1 Am vái k > m,  I vái k = m,    Φ(m, k)−1 vái k < m thóa mãn tính chat Φ(k, p)Φ(p, m) = Φ(k, m) K1 , K2 đưac GQI hang so nh% phân λ1 , λ2 so mũ 1.3 Đa tap on đ%nh bat on đ%nh Các đa tap őn đ%nh bat őn đ%nh cna điem bat đ®ng hyperbolic đóng vai trị phân chia dáng đi¾u nghi¾m lân c¾n cna điem hyperbolic Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic cua C vi phơi f : U −→ Rn Khi t¾p Ws(x0) = {x ∈ U : fk(x) −→ x0 k −→ ∞} đưac GQI đa tap őn đ%nh cua x0 t¾p W u (x0 ) = {x ∈ U : fk(x) −→ x0 k −→ −∞} đưac GQI đa tap bat őn đ%nh cua x0 %nh ngha 1.3.2 Cho U Rn l mđt má, loi f : U −→ Rn C vi phơi vái điem bat đ®ng hyperbolic x0 Vái ε > ta đ%nh nghĩa đa tap őn đ%nh đ%a phương W s,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ ∞ ||f k (x) − x0 || < ε vái k ≥ 0} đa tap bat őn đ%nh đ%a phương W u,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) −→ x0 k −→ −∞ ||f k (x) − x0 || < ε vái k ≤ 0} De dàng thay rang vói ε > 0, MQI W s (x ) = [ −k s,ε f (W (x0)) k≥0 Chú ý ta có tính chat bat bien f (Ws(x0)) = W s (x ) f (Ws,ε(x0)) ⊂ Ws,ε(x0) 1.4 Tính vEng Tính vung cna phương trình sai phân nói rang ta thêm nhieu nho vo mđt hắ nh% phõn m thỡ ta van thu đưoc h¾ nh% phân mũ Đ%nh lý 1.4.1 (Đ%nh lý ve tính vung) Cho phương trình sai phân uk+1 = Akuk có m®t nh% phân mũ khoang J = [a, b] (và se đưac coi khoang [a, ∞) b = ∞, v.v.) vái hang so K1, K2, so mũ λ1, λ2 phép chieu Pk Gia su β1, β2 so thóa mãn λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi ton tai m®t so dương δ0 = δ0(K1, K2, λ1, λ2, β1, β2) cho neu ||Bk|| ≤ δ ≤ δ0 Ak + Bk kha ngh%ch vái k ∈ J, phương trình sai phân có nhieu uk+1 = (Ak + Bk)uk có m®t nh% phân mũ J vái hang so L1, L2, so mũ β1, β2 phép chieu Qk thóa mãn ||Qk − Pk|| ≤ Nδ, L1, L2 N hang so chs phn thu®c vào K1, K2, λ1, λ2 Q ChÉng minh Xem [5, tr 33-41] T¾p bat bien hyperbolic cna m®t vi phơi có tính vung: ta nhieu mđt vi phụi cho trúc thỡ bat bien hyperbolic cna vi phơi mói nam lân c¾n nho cna t¾p bat bien hyperbolic cna vi phơi ban đau %nh lý 1.4.2 Cho U l mđt loi, S l mđt hyperbolic compact oi vỏi C vi phôi f : U −→ Rn Đ%nh nghĩa 1.1.1 CHQN so β1 , β2 cho λ1 < β1 < λ2 < β2 < Khi ton tai so dương σ0 d0 chs phn thu®c vào S, β1 β2 cho neu O l mđt lõn cắn mỏ cua S vỏi d = maxdist(x, S) thóa mãn d ≤ d0 g : U ¯ Rn C t∈O vi phơi thóa mãn sup ||g(x) − f (x)|| + sup ||Dg(x) − Df (x)|| ≤ σ vái σ ≤ σ0, x∈U x∈U SO = {x ∈ O¯ : g k (x) ∈ O¯ vái MQI k ∈ Z} m®t t¾p hyperbolic compact cua g vái so mũ β1 β2 Ngồi chieu cua t¾p őn đ%nh chieu cua f S, hang so liên hap vái tính hyperbolic ch¾n chuan cua phép chieu có the CHQN đe chs phn thu®c vào f, S, β1 β2 Q ChÉng minh Xem [5, tr 47-48] 1.5 Tính bóng Tính búng l mđt hắ qua quan TRQNG cna tớnh hyperbolic Sau dùng tính bóng đe nghiên cúu đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng hồnh Đ%nh nghĩa 1.5.1 M®t dãy {yk }∞k=−∞ cua điem U đưac GQI m®t δ gia quy đao cua f neu ||yk+1 − f (yk)|| ≤ δ vái k ∈ Z M®t quy đao {xk }∞k=−∞ cua f , túc là, xk+1 = f (xk ) vái gia quy đao {yk }∞k=−∞ neu ||xk − yk|| ≤ ε vái k ∈ Z MQI k, đưac GQi ε bóng δ Đ%nh lý 1.5.2 (Đ%nh lý bóng cho t¾p hyperbolic compact) Cho S t¾p hyperbolic compact cua C vi phơi f : U −→ Rn Khi ton tai hang so dương δ0, σ0 M chs phn thu®c vào f S cho neu g : U −→ Rn C vi phơi thóa mãn ||f (x) − g(x)|| + ||Df (x) − Dg(x)|| ≤ σ vái x ∈ U σ ≤ σ0 , δ gia quy đao cua f S vái δ ≤ δ0 ε bóng bái m®t quy đao th¾t nhat cua g (GQI quy đao bóng) vái ε = M (δ + σ) Q ChÉng minh Xem [5, tr 77-83] 1.6 Tính co giãn Tính co gión cng l mđt hắ qua cna tớnh hyperbolic Ngũi ta thưịng dùng tính co giãn đe chi sn nhat cna quy đao bóng M¾nh đe 1.6.1 Cho S l mđt hyperbolic compact oi vỏi C vi phôi f : U −→ Rn Đ%nh nghĩa 1.1.1 vái M s , M u hang so CHQN so β1 β2 thóa mãn λ1 < β1 < 1, λ2 < β2 < Khi đó, neu d đu nhó chs phn thu®c vào K 1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu, β1, β2 module liên tnc ω(δ) = sup{||Df (y) − Df (x)|| : x ∈ S, ||y − x|| ≤ δ}, ton tai hang so L1, L2 chs phn thu®c vào K1, K2, λ1, λ2, Ms, Mu cho neu {xk} quy đao cua f vái xk ∈ S, a ≤ k ≤ b thóa mãn b k= a {yk}b k= a ||xk − yk|| ≤ d vái a ≤ k ≤ b, bat thúc ||xk − yk|| ≤ L1β k−a||xa − ya|| + L2β b−k||xb − yb|| vái a ≤ k ≤ b ChÉng minh Xem [5, tr 42-43] Q θs(α, µ) = fk(ψ(ξ(α, µ), µ) = f k−N (x0 + φ(ξ(α, µ), µ)) = x0 + yk−N (ξ(α, µ), µ) vói k k≥ N Do đó, µ ∂yk−N ∂yk−N ∂ξ (ξ(α, µ (ξ(α, µ0), µ0) 0), µ0) ∂ξ (α, µ0) ∂µ (α, µ0) ∂µ + ∂θks ξk = = à b% chắn vúi k N (v k ≥ 0) Hơn nua, s s (α, µ), µ), θk+ (α, µ) = f (θ k suy rang = ∂f (fk (ζ(α)), µ )ξ + ∂f (fk (ζ(α)), µ ) = A ξ ξ k+1 µ0 ∂x k µ0 ∂µ +h k k k Tiep theo lưu ý rang φ k+ (f k (ζ(α))) = Df d = f dα µ0 µ0 (fk (ζ(α))) µ0 µ0 d dα fk (ζ(α)) = A φ µ0 kk Bây giị xét ∆k = φk ∧ ξk Ta thay rang ∆k+1 = Akφk ∧ (Akξk + hk) = detAk.∆k + φk+1 ∧ hk Do ∆k+1 = λk∆k + gk, (2.4.2) λk = detAk, gk = φk+1 ∧ hk L¾p lai vi¾c áp dung phương trình (2.4.2), ta tìm đưoc rang vói k ≥ ∆k = λk−1 λ0∆0 + k Σ λk−1 λmgm−1 m=1 Do k−1 ∆ −= λ−1 λ−1 k−1 m=0 m Bây giò φ0 = ζ J (α) ∈ Tζ(α) W s (x0 ), suy tù M¾nh đe 2.3.1 rang φk = Df k (()) J () à0 b% chắn vúi k ≥ Thnc te, ||φk|| ≤ constant.βk1 vói k ≥ 0, Σ − − ∆ − λ g (2.4.3)k λ m0 β1 có the cHQN cho gan giá tr% riêng µ cna Dfµ0 (x0 ) bên đưịng trịn đơn v% ta muon Do v¾y, ||ξk || b% ch¾n, ta có |∆k| = |φk ∧ ξk| ≤ constant.βk1 vói k ≥ Tiep theo lưu ý rang λk = detDfµ (f0 k (ζ(α))) −→ detDfµ 0(x0) = λµ k −→ ∞, µ λ giá tr% riêng cna Dfµ0 (x0) ngồi đưịng trịn đơn v% Khi vói k ≥ | λ−1 λ−1 k−1 | ≤ constant.γk , γ có the cHQN cho gan vói (à)1 nh ta muon Nh vắy vúi k λ−1 λ−1 ∆k| ≤ constant.(γβ1)k, k−1 | γβ1 gan vói λ−1 ta muon Tương tn |λ−0 λm−1 gm−1 | ≤ constant.(γβ1 )m , − vói m ≥ Bây giị, |λ| > 1, ta có the cHQN cho |γβ1 | < Như v¾y ta có the cho k −→ ∞ phương trình (2.4.3) đe thu đưoc Σ ∞ −− ∆ = k−1 k=0 λ λg Hay ∆ =− Σ ∞ ΣdetDf k+1 (ζ(α))Σ−1 d f k+1 (ζ(α)) ∧ ∂f (f k (ζ(α)), µ ) dα µ0 ∂µ µ0 k=0 ∞ Σ d ∂f k =− detDf µ−k−1(fµk+1(ζ(α))) fµk+1(ζ(α)) ∧ (f (ζ(α)),0 µ ) µ d ∂ k= v nh vắy à0 0 ∞ s ∂d Σ d ∂f −k k detDf (f (ζ(α))) µ f k (ζ(α)) ∧ µ (fk−1(ζ(α)), µ ) µ µ ∂ d ∂ k= µ u Tng tn, ton tai mđt hm kha vi liên tuc θ (α, µ) cho θu (α, µ0 ) = ζ(α), cho ta giao cna W u (x(µ)) vói đưịng qua ζ(α) vng góc vói ζj (α) Ta tìm đưoc khoang cách (α, µ0) = − 0 du (α, µ) = ζ j (α) ∧ [θu (α, µ) − ζ(α)] du(α, µ0) = có tính chat ∞ Σ ∂du 0) = − µ (α, µ detDf ∂ µ k= −k µ0(f k (ζ(α))) d α d µ0f k (ζ(α)) ∂∧ µ ∂f µ0(f k−1 µ ) (ζ(α)), Khi đ® đo có dau cna khoang cách giua giao cna W s (x(µ)) W u (x(µ)) vói đưịng qua ζ(α) vng góc vói ζj (α) d(, à) = du(, à) ds(, à) Nh vắy d(, à) l mđt hm C2 vúi d(, à0) = vói MQI α gan α0 Neu ta đ%nh nghĩa   h(α, µ) = neu µ ƒ= µ0 d(α, µ) µ − µ0 ∂d  (α, µ) neu µ = µ , ∂µ h(α, µ) mđt hm C1 vúi d h(, à0) = (, µ0) Bây giò ta đ%nh nghĩa hàm Melnikov ∂d ∆(α) = (α, µ0) ∂µ∞ Σ = detDf k=− ∞ −k µ0 (fk µ(ζ(α))) Suy tù đ%nh lý hàm an rang neu d d α f k µ(ζ(α)) ∧ ∆(α0 ) = 0, ∆j (α0 ) ƒ= phương trình h(α, µ) = ∂f ∂ µ (fàk1(()), 0à ) cú nghiắm nhat = α(µ) vói α gan α0 µ −→ µ0 Hơn nua (à) l mđt hm C v (à0 ) = Nh vắy = à0 , θs(α(µ), µ) = θu(α(µ), µ) ∈ Ws(x(µ)) ∩ Wu(x(µ)) giao hồnh đánh giá sau cho thay: (α , µ ) d ∂θs (α(µ), µ) s θ =∂ (α , µ )α (µ∂2θs ) + J dµ ∂α µ=µ0 0 ∂α2 d ∂θu dµ ∂α ∂α∂µ (α + )αj (µ ) = ζ JJ (α(µ), µ) s = ζ (α0)α (µ0) + tương tn, ∂2θ J JJ ∂α∂µ (α0, µ0) ∂2θu (α , µ ) ∂α∂µ 0 µ=µ Do Σ ∂2 θs JJ J ζ (α0)α (µ0) + (α0, ∂α∂µ µ0) Σ (µ − µ0) + o(µ − µ0) (2.4.4) Σ ∂2 θu JJ J (α(µ), µ) = ζ (α0) ζ (α0)α (µ0) + (α0, ∂α + ∂α∂µ µ0) Σ (µ − µ0) + o(µ − µ0) (2.4.5) ∂θs ∂α + J (α(µ), µ) = ζ (α0) ∂θu J Bây giò lưu ý rang ∆j (α0 ) đưoc cho boi Σ Σ ∂ θu s ∂ θ Σ J ζ∧(α0) µ 0) ∂α∂µ (α0, µ0) − o thay rang ∂α∂µ ∂θu ∂µ = nên JJ (α0, ζ J (α0 ) ∧ Σ ∂θu ∂µ ∂θs Σ ∂θu + ∧ ζ (α0) ∂µ (α0, µ0) − ∂µ (α0, µ0) (2.4.6) ∂θs (α0, µ0) ∂µ (α0, µ0) ∂θs (α0, µ0) − ∂µ (α0, µ0) Σ = ∆(α0) = (2.4.7) Tuy nhiên, ta biet rang vói MQI α µ, (θs (α, µ) − ζ(α), ζ j (α)) = (θu (α, µ) − ζ(α), ζ j (α)) = ∂θu Khi ∂θs ( ∂µ (α0, µ0) − ∂µ J (α0, µ0), ζ (α0)) = Như v¾y (2.4.7) đưoc chúng minh Σ ∂ θu J ζ (α0) ∧ ∂α∂µ µ 0) (α0, µ0) − ∂ θs ∂α∂µ Σ J = ∆ (α0) (α0, Ket hop vói (2.4.4) (2.4.5), bieu thúc sau o tro thành ( ( ∂θ s (α(µ), µ), ζ j (α0 )) ∂ α ∂θ∂ u α (α(µ), µ), ζ (α0 )) J −→ µ −→ µ0 Σ Σ ζ j (α ) ∧ ζ JJ (α )αj (µ ) + ∂ 2θs (α , µ ) ζ j (α0 ) ∧ ∂θs (α(µ), ∂ µ) α 0 0 ∂α∂µ 0 −→ Σ Σ ∂ θ ζ j (α ) ∧ ∂θ∂αu (α(µ), µ) ζ (α0 ) ∧ ζ JJ (α0 )α (µ0 ) +∂α∂µ u 0(α 0, µ ) µ −→ µ0 Khi đó, s/((à), à) v u/((à), à) khụng the phu thuđc tuyen tính vói µ ƒ= µ0, µ đn gan µ0 Như vắy, Ws(x(à)) v Wu(x(à)) honh tai J J s((à), µ) = θu(α(µ), µ) Do v¾y ta chúng minh đ%nh lý sau Đ%nh lý 2.4.1 Gia su U mđt mỏ R2 v f : U ì R −→ R2 m®t hàm C cho vái µ co đ%nh, hàm fµ(x) = f (µ, x) m®t vi phơi cua U lên anh cua Gia su fà0 l mđt iem yờn ngna x0 cho ζ(α) ∈ W s (x 0) ∩ W u(x 0), ζ : I ⊂ R −→ R2 hàm C vái ζ j (α) ƒ= vái MQI α khoang I Chính xác hơn, gia su vái MQI ε > ton tai m®t so nguyên dương N cho f N µ0 (ζ(α)) ∈ Ws,ε(x0) fµ−N (ζ(α)) ∈ W u,ε (x0 ) vái MQI α I Ta đ%nh nghĩa hàm Melnikov Σ ∆(α) = ∞ −k detDf (α))ζ J (α) ∧ (ζ (ζ µ0 k k k=−∞ (α)), µ ), ∂f ∂µ k−1 ζk(α) = fk (ζ(α)) µ0 "∧" ký hi¾u tích cua hai vec tơ R Khi neu µ gan µ0, vi phơi fµ điem n ngna nhat x(µ) gan x0, v neu () cú mđt nghiắm n 0, đa tap őn đ%nh bat őn đ%nh cua x(à) honh tai mđt iem gan (0) = à0 2.5 đng lEc ký hiắu gan điem nghiêng hồnh Cho U t¾p mo nam Rn f : U −→ Rn C vi phơi Gia su rang x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic cna f {yk }∞k=−∞ = {f k (y0 )}∞k=−∞ m®t quy đao nghiêng hồnh Khi ta chúng minh phan 2.3 rang t¾p S = {x0} ∪ {yk : k ∈ Z} l mđt hyperbolic compact oi vúi f Trong đ%nh lý sau đây, ta đ¾c trưng t¾p bat bien cnc đai SO = {x ∈ O¯ : g k (x) ∈ O¯ vói MQI k ∈ Z} lân c¾n mo cna S đưa mđt mụ ta đng lnc ký hiắu cna cỏc t¾p bat bien Trnc quan hình hQc, ta có the thay đ®ng lnc xung quanh S giong vói tình huong cna ánh xa móng ngna t¾p móng ngna xét o Đ%nh lý 2.5.1 Cho x0 m®t điem bat đ®ng hyperbolic cua C vi phôi f : U −→ Rn vái quy đao nghiêng hoành liên ket {yk = f k (y0 )}∞k=−∞ Khi ton tai m®t so ngun dương J cho vái MQI so nguyên dương L đu lán, ton tai lân c¾n má O cua t¾p S = {x0} ∪ {yk : k ∈ Z}, ton tai đong phôi φ : Y −→ φ(Y ) ⊆ SO cho φ ◦ σ = f ◦ φ, σ : Y −→ Y hàm d%ch chuyen (trái) bái σ({ak }∞k=−∞ ) = {ak+1 }∞k=−∞ , Y = {( a−1 a0 a1 ), ak ∈ {0, 1, , J}} t¾p ký hi¾u cua dãy hai chieu {ak }∞k=−∞ vái ak ∈ {0, 1, , J} đưac mơ ta có tính chat sau đây: (i) neu ak = ƒ= ak+1 ak+1 = 1; (ii) neu ak = j ∈ {1, , J − 1} ak+1 = j + 1; (iii) neu ak = J ak+l = vái ≤ l ≤ L Lưoc đo chúng minh sau: • Xác %nh so ký hiắu J + 1; ã Xõy dnng Y nh phỏt bieu %nh lý; ã Xõy dnng O chỳa S; ã Dựng tớnh búng v tính co giãn đe xây dnng đong phơi φ cho φ ◦ σ = f ◦ φ Σ Nhac lai, Smale chúng minh (f, Λ) liên hop vói (σ, 2) Đ%nh lý nói rang (f, SO) liên hop vói (σ, Y ) ChÉng minh Gia su M δ0 hang so tương úng vói t¾p hyperbolic S đ%nh lý 1.5.1 đ¾t ε0 = Mδ0 Ta đieu chinh δ0 đn bé cho t¾p bat bien cnc đai cna f lân c¾n ε0 bóng cna S hyperbolic (xem Đ%nh lý 1.4.2) v cho d l hang so mo rđng cna bat bien cnc đai úng vói m®t lna cHQN bat kỳ đoi vói β1 , β2 (xem M¾nh đe 1.6.1) Khi đ¾t δ1 = min{δ0 , ε0 /4, d/4} cHQN m®t so nguyên dương k+ m®t so nguyên âm k − cho ||yk − x0|| < δ1 neu k ≥ k+ ho¾c k ≤ k− Tiep theo đ¾t J = k+ − k− − đ%nh nghĩa I0 = {x0} ∪ {yk : k ≤ k− ho¾c k ≥ k+} CHQN ε > vói ε ≤ ε0 /2 ε ≤ d/6 cho bao đóng cna t¾p mo V0 = B(I0, ε) = {x : ||x − z|| < ε vói z ∈ I0}, Vj = B(yk−+j, ε) (j = 1, 2, , J) rịi tùng đơi m®t cho f (V0) ∩ Vi rong vói ≤ i ≤ J f (Vj) ∩ Vi rong vói ≤ j ≤ J − 1, i ƒ= j + j = J, i ƒ= Bây giị đ¾t δ = ε/2M cho ε/2 = M δ cHQN m®t so dương k ∗ cho vói MQI k ≥ k∗ ||yk− −k − x0 || ≤ δ, ||yk+ +k − x0 || ≤ δ Khi lay L ≥ 2k∗ + TL thay VJ bang giao cna vói f −k k=1 cna S (V0) Cuoi ta đ%nh nghĩa lân cắn mo O J [ O= Vj j=0 Xột mđt quy đao {wk }∞k=−∞ cna S nam hoàn toàn O Tù tính chat cna t¾p Vj ta thay rang wk ∈ V0 , wk+1 ∈/ V0 =⇒ wk+1 ∈ V1 ; wk ∈ Vj ≤ j ≤ J − =⇒ wk+1 ∈ Vj+1; wk ∈ VJ =⇒ wk+l ∈ V0 vói ≤ l ≤ L Ta đ%nh nghĩa ak = j neu wk ∈ Vj Rõ ràng ta có đưoc m®t dãy hai phía {ak } ∞ {ak } k=−∞ ∞ k=−∞ ∈ Y viet Σ = α {wk }∞k=−∞ Ta chi rang ánh xa α xác đ%nh quy đao O sang Y 1-1 Do cho α {wk }∞k=−∞ = {ak }∞k=−∞ Ta đ%nh nghĩa m®t δ0 gia quy đao {zk }∞k=−∞ cna f Σ S bang cách lay  yk−+j neu ak = j, ≤ j ≤ J,  x neu ak = ak+1 = 0, zk =    yk − neu ak = 0, ak+1 = Ta thay rang f (zk) = zk+1 neu ak = j, ≤ j ≤ J − ho¾c neu ak = 0, ak+1 = ho¾c neu ak = ak+1 = ak+2 = Neu ak = J, ||zk+1 − f (zk)|| = ||x0 − yk+ || < δ1 ≤ δ0 neu ak = ak+1 = ak+2 = ||zk+1 − f (zk )|| = ||yk− − x0 || < δ1 ≤ δ0 Do {zk }∞k=−∞ m®t δ0 gia quy đao Tiep theo ta lưu ý rang wk ∈ Vj ⊂ B(yk− +j , ε) zk = yk−+j neu ak = j ≤ j ≤ J cho ||wk −zk|| ≤ ε < ε0 Neu ak = 0, wk ∈ V0 cho ton tai l vói l ≤ k− ho¾c l ≥ k+ cho ||wk − yl|| < ε Khi đó, zk = x0 ho¾c yk −, ||wk − zk|| ≤ ||wk − yl|| + ||yl − x0|| + ||zk − x0|| < ε + 2δ1 ≤ ε0 Như v¾y {wk }∞k=−∞ ε0 bóng vói δ0 gia quy đao đó, theo Đ%nh lý 1.5.1 cách cHQN ε0 , δ0 nhat Như v¾y α 1-1 Tiep theo ta chi rang α lên cho m®t dãy {ak }k= Y Ta %nh ngha mđt gia quy đao {zk }∞k=−∞ cna f S vói zk ∈ Vak sau Neu ak = j, ≤ j ≤ J, ta lay zk = yk−+j ; tương úng vói m®t đoan cna (ít nhat L) so khơng giua J 1, ta lay m®t so điem yk+ , , yk++k∗−1, x0, , x0, yk−−k∗ , yk−−k∗+1, , yk− tương úng vói vơ so so trưóc 1, ta lay vơ so điem , x0, , x0, yk−−k∗ , yk−−k∗+1, , yk− ; tương úng vói vơ so so sau J, ta lay vô so điem yk+ , , yk++k∗−1, x0, , x0, Neu ak = vói MQI k, ta lay zk = x0 vói cho zk = yk+ +k∗ −1 , zk+1 = x0 MQI k Chi có m®t so k đe zk+1 ƒ= f (zk ) ||zk+1 − f (zk)|| = ||x0 − yk++k∗ || ≤ δ giá tr% mà zk = x0, zk+1 = yk−−k∗ ||zk+1 − f (zk )|| = ||yk− −k∗ − x0 || ≤ δ Như v¾y {zk }∞k=−∞ thnc m®t δ gia quy đao vói zk ∈ Vak Theo Đ%nh lý 1.5.1 cHQN ε, δ, ton tai nhat m®t quy đao {wk }∞k=−∞ cna f tao nên ε/2 bóng đoi vói gia quy đao Neu ak = j vói j = 1, , J − 1, zk = yk−+j v¾y ||wk −yk− +j || ≤ ε/2, suy rang wk ∈ Vj Neu ak = 0, zk ∈ I0 ||wk −zk || ≤ ε/2 < ε, suy rang wk ∈ V0 Neu ak = J, zk = yk−+J v¾y wk ∈ B(yk−+J, ε) Cũng v¾y, ak+l = vói l = 1, , L, suy rang wk+l = f l (w k ) ∈ V0 vói l = 1, , L Như v¾y, neu ak = J, wk ∈ VJ Khi quy đao thnc {wk }∞k=−∞ nam O sinh {ak }∞k=−∞ Như v¾y α ánh xa lên, ta hồn tat chúng minh Σ Neu α {wk }∞k=−∞ = {ak }∞k=−∞ , ta đ%nh nghĩa φ({ak }∞k=−∞ ) = w0 Rõ ràng φ : Y −→ Rn đưoc đ%nh nghĩa v¾y 1-1 Bây giị ta chi φ liên tuc Trưóc het ta lưu ý rang t¾p hop MQI dãy hai phía {ak }∞k=−∞ vói ak ∈ {0, 1, ., J} m®t khơng gian metric compact Rừ rng, Y l mđt úng v m®t khơng gian metric compact Tiep theo cho ε1 > cHQN m®t so nguyên dương N cho [L1βN + L2βN ]d < ε, L1, L2, β1, β2 hang so tù M¾nh đe 1.6.1 đưoc xác đ%nh o đau cna ∞ ∞ chúng minh Gia su {ak(m)}k=− −→ {ak}k=− m −→ ∞, cho {zk(m)}∞k=− ∞ ∞ ∞ {zk }∞k=−∞ tương úng δ gia quy đao đưoc xây dnng chúng minh α lên cho {w(m)}∞ {wk}∞ tương úng ε/2 bóng quy đao cho k k=−∞ k=−∞ ∞ ∞ φ({ak(m)}k=− ) = w(m) , φ({ak}k=− ) = w0 ∞ ∞ Lưu ý rang ||w k − wk || ≤ ε + ||zk − zk || = 2M δ + ||zk(m) − zk || vói MQI k Bây giị se ton tai m®t so ngun dương M0 cho neu m ≥ M0, ka(m) = ak vói −N ≤ k ≤ N z(m) zk nam Vj đoi vói −N ≤ k ≤ N Do neu m ≥ M0, (m) (m) k ||wk (m)− wk|| ≤ 2Mδ + 4Mδ + 2δ1 ≤ d ∞ vói −N ≤ k ≤ N Khi đó, ca hai {wk(m)}∞k=− {wk}k=− quy đao cna f ∞ lna cHQN d cna lân c¾n ε0 bóng cna S, suy tù M¾nh∞ đe 1.6.1 sn rang (m) N N ||w0 − w0|| ≤ [L1β1 + L2β2 ]d Như v¾y, neu m ≥ M0, ||φ({a(m)}∞ k k=− ∞ )− φ({ak}∞ k=− ∞ )|| < ε1 Như v¾y φ liên tuc Bây giị, Y m®t không gian metric compact, suy rang φ : Y −→ φ(Y ) ⊂ Rn m®t vi phơi lên anh cna Cuoi α({wk+1 }∞k=−∞ ) = {ak+1 }∞k=−∞ = suy rang σ({ak }∞k=−∞ ), φ(σ({ak }∞k=−∞ )) = w1 = f (w0 ) Khi = f (φ({ak }∞k=−∞ )) φ◦σ= f ◦φ đ%nh lý đưoc chúng minh Q Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, chúng tơi chúng minh rang đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng hồnh thnc chat m®t loai đng lnc ký hiắu trờn mđt cna khụng gian ký hi¾u Y vói Y = {( a−1a0a1 ), ak ∈ {0, 1, , J}} t¾p ký hi¾u cna dãy {ak }∞k=−∞ vói ak ∈ {0, 1, , J} đưoc mơ ta có tính chat sau đây: (i) neu ak = ƒ= ak+1 ak+1 = 1; (ii) neu ak = j ∈ {1, , J − 1} ak+1 = j + 1; (iii) neu ak = J ak+l = vói ≤ l ≤ L Ket qua cho phép chuyen tính chat đ%nh tính cna vi phơi t¾p bat bien cnc đai ve tính chat tương úng cna hắ đng lnc ký hiắu đng lnc xung quanh điem nghiêng khơng hồnh phúc tap nhieu Chúng tơi dn đ%nh nghiên cúu van đe thịi gian tói Tài li¾u tham khao [1] D.V Anosov and V.V Solodov, (1995), "Hyperbolic sets", Dynamical Systems IX, Springer -Verlag, Berlin, 10-92 [2] D.V Arrowsmith and C,M Place, (1990), An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [3] E Akin, (1993), The General Topology of Dynamical Systems, Amer.Math.Soc, R.I Providence [4] F Botelho and L Chen, (1993), "On the rotation shadowing property for annulus maps", Continuum Thoery and Dynamical Systems, New York, 35-42 [5] Palmer Ken, (2000), Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers [6] N Aoki, (1982), "Homeomorphisms without the pseudo-orbit tracing property", Nagoya J Math, (88), 155-160 [7] N Aoki, (1983), "On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property", Tokyo J Math, (6), 329-334 [8] N Aoki, (1989), "Topological dynamics", Topics in General Topology, North- Holland, Amsterdam, 625-740 [9] N Aoki and N Hiraide, (1994), Topological Theory of Dynamical Systems, Recent Advances, North-Holland, Amsterdam [10] Perko Lawrence, (1991), Differential equation and dynamical systems, Springer Press ... nghĩa điem nghiêng, điem nghiêng hồnh cna vi phơi, xây dnng vi phơi có điem nghiêng hồnh đng lnc ký hiắu gan iem ang nghiờng honh Cỏc đ%nh lý nam phan t¾p hyperbolic ket hop vói quy đao nghiêng. .. u (x0 ) giao tai điem y0 điem đưoc GQI điem nghiêng Điem nghiêng GQI hoành hay khơng hồnh tùy theo hưóng tiep tuyen tai y0 Đ®ng lnc xung quanh điem nghiêng rat phúc tap Bưóc tien khoi đau cna... điem bat đ®ng x0 neu y =ƒ x GQI điem nghiêng tương úng vái y0 ∈ W s (x 0) ∩ W u (x 0) · Hơn nua, neu Rn = Ty 0W s (x ) ⊕ Ty W u (x 0) điem nghiêng e GQI điem nghiêng hoành ∞ [ s,ε W (x ) = f −k